弹塑性力学讲义七

第二章应变分析Prof.WangJXOffice：No.1002,Building4,NCUTTel：88802829/3203Mob：CollegeofArchitectureandCivilEngineering,NorthChinaUniversityofTechnology,100041,Beijing,Chinahttp://PLASTICITYANDELASTICITYCHAPTER2STRAINANALYSE点的应变状态应变与位移的关系—几何方程应变张量与应变参量应变协调方程第二章应变分析位移：MM'NN'ss+u线变形：u平均线应变：线应变：MNLM'N'L'角应变（切应变）：§2-1一点的应变状态位移分量：线变形分量：u、v、w(x,y,z)拉伸为正，压缩为负。角应变（切应变）分量：直角减小为正一点的应变状态zxyouvw一点的应变状态：知道一点的六个独立的应变分量：任一方向的应变即可确定，主应变也可确定，一点的应变情况就完全确定了，称这一点的应变情况总体为应变状态。§2-2应变与位移的关系—几何方程xyoPABdxdyuvP'A'B'A''abxy＝a+bxy几何方程平面问题的几何方程：柱坐标下的几何方程：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

xyordq平面问题极坐标下的几何方程：轴对称问题的几何方程：uxyorv=0,u=u(r)球对称问题的几何方程：v/rv/rv§2-3应变张量与应变参量一、应变张量引入符号：exy＝eyxeyz＝

ezyezx＝

exz应变分量

ex、

ey、

ez、e

xy、

e

yz、

e

zx满足张量的性质，构成应变张量。一点的应变状态完全由应变张量确定任一方向上的正应变：主应变：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

二、应变张量的分解用主应变表示应变偏量：当体积不变量：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

三、应变参量及计算公式与三个应变主轴方向具有相同倾角平面上的剪应变1.主剪应变2.八面体剪应变Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

3.应变强度（等效应变）4.应变Lode参数Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

常见应力状态的应变Lode参数单向拉伸：eee2＝e3＝-0.5ee1＝e单向压缩：eee1＝e2＝0.5ee3＝－e纯剪切：e1＝

，s2＝0，e3＝－

0.5e0.5eProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

四、应变率单位时间内应变值的增量。应变率分量：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

五、应变增量在变形过程中，物体内各点都处于运动状态，某一时刻t，速度分量为：这些位移引起的应变称为应变增量。速度分量是x,y,z,t的函数，在无限小时段内各点产生的位移为：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

应变增量张量：应变增量强度（等效应变增量）Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

六、对数应变当应变较大时，考虑一截面积为A0、长为l0

的杆，受力后长为l，截面积为A，当杆伸长dl时，应变增量为：对数应变积分得：工程应变：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

截面收符缩率：由体积夫不可压滚缩得：Pr总of再,客Dr却.任Wa丘ng钉J潜X:爽P刃la鸭st籍ic齐it仓y铜an翅d慨El它as械ti丸ci腥ty§2脊-4克应变模协调终方程独（相到容方孕程）变形前号是连续袖的，变倍形后仍眠然是连绍续的。路不允许波出现裂数纹或发眉生重叠醉现象。为保证成变形前烧后物体件的连续薯性，应铁变之间拔必然存蠢在某种留关系，熔描述这抢种关系芦的数学绝表达式较就是应变协盖调方程绪。ABCDABCD设物体羡中某点P(x喝,y,娘z)，位移分奖量为：u,应v,吊w。应变分悼量为：几何方栽程：Pro堵f,搏Dr.体Wa钢ng昂JX:古Pl营ast箩ici荷ty殃and交El戚ast愧ici虚tyPr吨of仍,君Dr感.拥Wa擦ng法J雅X:夜P乱la会st若ic砌it童y乐an孟d拔El身as挪ti达ci嫂ty应变孔协调佩方程正（相源容方忍程）物理袖意义湖：如将学变形散体分剩解为且许多陶单元承体，锦每个参单元迎体的晕变形衰可用某六个栗应变冒分量闸表示冠，若应询变分稻量不畅满足罢应变杏协调孝方程围，则黑单元壮体不告能组竭成一牧连续影体。若满斗足，挎则可兴保证榴变形哪前后样物体锄是连迷续的序。利用应烤变协调砌方程可丝式检验给悄定的应惧变状态鹿是否为扑可能存刃在的？锯也可确委定应变投分量中祖的待定按系数。Pr斯of语,缠Dr拳.片Wa邀ng哲J灶X:泻P投la劲st零ic冈it相y厕an木d脚El萝as孩ti丽ci奋ty平面栋问题送的应表变协煎调方庄程极坐标恭：轴对称糕平面问厉题的应丝式变协调诵方程Pr糟of痒,股Dr跪.屑Wa踢ng布J蕉X:牧P贤la她st再ic潮it斧y猫an策d笨El凑as辞ti来ci愤ty例1：P702－2解：平河面应变伏问题存在例2：试判羞断下列摆应变状寒态是否压为可能旦存在的肺。解：阻空间明应变杠问题揉，应变筒分量贩均为施坐标自的一丈次函椅数，而应壁变协题调方毅程均线为二永阶导棕数，摧故存罢在。Pr欢of誉,辣Dr隔.料Wa恩ng符J改X:啦P肺la利st康ic别it闸y镇an粥d绍El写as敌ti树ci喊ty例3：P712－4解：（宽1）是团否满足仆应变协腔调方程满足（2）发求位移芳分量的丽表达式慕。Pr衫of找,纯Dr膜.泽Wa来ng厅J皂X:冤P叠la猎st菊ic艺it干y稳an虑d恨El吊as反ti趁ci康ty例3：P712－4（2）姐求位移梢分量的很表达式士。例3：P712－4（2幕）求逼位移坊分量恨的表瞧达式钓。由位移息边界条敲件确定献。例3：P712－4（3）由位匀移边帝界条楚件确坊定待稠定常谢数。无变形帝：刚体欧水平伯位移刚体铅为垂位移刚体转逝动角速喂度刚体墙转动股角速容度xyoxyrauvurawPro忆f,桃Dr.菜Wa博ng柳JX:玩Pl象ast佳ici秩ty版and持El投ast洗ici言ty例4：已知剖位移分悲量求：应雷变张量惧并分解乘、应变低强度。解：Pr狡of菌,让Dr锁.目Wa冤ng阴J道X:查P牙la渔st戏ic您it怪y采an惰d测El称as辣ti谨ci狸ty作业避：2－12－除32－母5Pr找of蓬,卸Dr扫.哥Wa蜻ng煮J悉X:咏P仪la猛st大ic歼it泥y悉an慕d办El汉as似ti黑ci称ty弹塑性供力学习滑题解答2-氧1国解牲：均为x、住y、横z的