这款数学知识点：数的整除

这款数学知识点：数的整除

这款数学学问点：数的整除1

一、基本概念和符号：

1、整除：假如一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。

2、常用符号：整除符号"|'，不能整除符号"'；由于符号"∵'，所以的符号"'；

二、整除推断方法：

1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

三、整除的性质：

1.假如a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。

2.假如a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。

3.假如a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4.假如a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

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1.把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除，始终除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。

2.求几个数的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数连续去除，始终除到所得的商只有公约数1为止，然后把全部的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公约数。

3.求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数(或其中的部分数)的公约数去除，始终除到互质(或两两互质)为止，然后把全部的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。

4.成为互质关系的两个数：1和任何自然数互质;相邻的两个自然数互质;当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质;两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质。

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1.定义：假如一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式，并且余式是零，则称这个整式被另一个整式整除。

2.依据被除式=除式商式+余式，设f(x),p(x),q(x)都是含x的整式，

那么式的整除的意义可以表示为：

若f(x)=p(x)q(x)，则称f(x)能被p(x)和q(x)整除

例如∵x2-3x-4=(x-4)(x+1),

x2-3x-4能被(x-4)和(x+1)整除。

明显当x=4或x=-1时x2-3x-4=0，

3.一般地，若整式f(x)含有xa的因式，则f(a)=0

反过来也成立，若f(a)=0,则x-a能整除f(x)。

4.在二次三项式中

若x2+px+q=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab则p=a+b,q=ab

在恒等式中，左右两边同类项的系数相等。这可以推广到任意多项式。

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数的整除

1．整除：整数a除以整数b（b0），除得的商正好是整数而且没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。

2．约数、倍数：假如数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

3．一个数倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

一个数约数的个数是有限的，最小的约数是1，最大的约数是它本身。

4．按能否被2整除，非0的自然数分成偶数和奇数两类，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。

5．按一个数约数的个数，非0自然数可分为1、质数、合数三类。

质数：一个数，假如只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数。质数都有2个约数。

合数：一个数，假如除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。合数至少有3个约数。

最小的质数是2，最小的合数是4

1~20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19

1~20以内的合数有"4、6、8、9、10、12、14、15、16、18

6．能被2整除的数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。

能被5整除的数的特征：个位上是0或者5的数，都能被5整除。

能被3整除的数的特征：一个数的各位上数的和能被3整除，这个数就能被3整除。

7．质因数：假如一个自然数的因数是质数，这个因数就叫做这个自然数的质因数。

8．分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

9．公约数、公倍数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

10．一般关系的两个数的最大公约数、最小公倍数用短除法来求；互质关系的两个数最大公约数是1，最小公倍数是两数之积；倍数关系的两个数的最大公约数是小数，最小公倍数是大数。

11．互质数：公约数只有1的两个数叫做互质数。

12．两数之积等于最小公倍数和最大公约数的积。

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数的整除

整除的意义

整数a除以整数b（b0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a）

除尽的意义甲数除以乙数，所得的商是整数或有限小数而余数也为0时，我们就说甲数能被乙数除尽，（或者说乙数能除尽甲数）这里的甲数、乙数可以是自然数，也可以是小数（乙数不能为0）。

因数和倍数

1、假如整数a乘整数b整除等于整数C，a和b就是C的因数，C就是a和b的倍数。（a.b.c都为非0整数）

2、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

3、一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的是它本身，它没有最大的倍数。

奇数和偶数

1、能被2整除的数叫偶数。例如：0、2、4、6、8、10注：0也是偶数2、不能被2整除的数叫奇数。例如：1、3、5、7、9

整除的特征

1、能被2整除的数的特征：个位上是0、2、4、6、8。

2、能被5整除的数的特征：个位上是0或5。

3、能被3整除的数的特征：一个数的各个数位上的数之和能被3整除，这个数就能被3整除。

质数和合数

1、一个数只有1和它本身两个约数，这个数叫做质数（素数）。

2、一个数除了1和它本身外，还有别的约数，这个数叫做合数。

3、1和0既不是质数，也不是合数。

4、自然数按约数的个数可分为：质数、合数.0和1

5、自然数按能否被2整除分为：奇数、偶数

分解质因数

1、每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数的质因数。例如：18=332，3和2叫做18的质因数。

2、把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法来分解质因数。

3、几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。其中最大的一个叫这几个数的最大公因数。公因数只有1的两个数，叫做互质数。几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。其中最大的一个叫这几个数的最大公倍数。

4、特别状况下几个数的最大公因数和最小公倍数。

（1）假如几个数中，较大数是较小数的倍数，较小数是较大数的因数，则较大数是它们的最小公倍数，较小数是它们的最大公因数。

（2）假如几个数两两互质，则它们的最大公因数是1，小公倍数是这几个数连乘的积。

奇数和偶数的运算性质：

1、相邻两个自然数之和是奇数，之积是偶数。

2、奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数，偶数+偶数=偶数；奇数-奇数=偶数，

奇数-偶数=奇数，偶数-奇数=奇数，偶数-偶数