安徽省宣城市临溪高级职业中学高三数学理期末试卷含解析

安徽省宣城市临溪高级职业中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；②若m?α，n?β，m∥n，则α∥β；③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；④若m、n是异面直线，m?α，m∥β，n?β，n∥α，则α∥β其中真命题是（）A．①和② B．①和③ C．①和④ D．③和④参考答案：C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】①利用面面平行的判定定理即可判断出正误；②利用面面平行的判定定理即可判断出正误；③利用面面平行的判定定理即可判断出正误；④利用面面平行的判定定理与异面直线的性质即可判断出正误．【解答】解：①∵m⊥α，m⊥β，∴α∥β，正确；②若m?α，n?β，m∥n，则α∥β或相交，因此不正确；③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或相交；④若m、n是异面直线，m?α，m∥β，n?β，n∥α，则α∥β，正确．其中真命题是①④．故选：C．2.设全集是实数集.与都是的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为

(

)

≤

≤≤

参考答案：A3.执行如图所示的程序框图，若输入的值为1，则输出（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D4.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】根据由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图，我们可得该三棱柱的底面棱长为2，高为1，进而求出底面外接圆半径r，球心到底面的球心距d，球半径R，代入球的表面积公式．即可求出球的表面积．【解答】解：由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图我们可得该三棱柱的底面棱长为2，高为1则底面外接圆半径r=，球心到底面的球心距d=则球半径R2==则该球的表面积S=4πR2=故选B【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据截面圆半径、球心距、球半径满足勾股定理计算球的半径，是解答本题的关键．5.圆O中，弦AB满足＝（）A．2B．1C．D．4参考答案：A6.设x1，x2，…，x10为1，2，…，10的一个排列，则满足对任意正整数m，n，且1≤m＜n≤10，都有xm+m≤xn+n成立的不同排列的个数为（）A．512 B．256 C．255 D．64参考答案：A【考点】排列、组合的实际应用．【分析】利用归纳推理求出n的最大值分别为2，3，4时的排列个数，然后推出本题的结果．【解答】解：如果n=2时，满足题意的排列个数是2，即1，2或2，1；即21．如果n的最大值为3，则排列个数为4；分别为：1，2，3；

2，1，3；1，3，2；3，2，1；4个．即22．如果n的最大值为4，则满足题意的排列个数为8；分别为：1，2，3，4；2，1，3，4；2，1，4，3；1，3，2，4；1，2，4，3，；3，1，2，4；1，4，3，2；4，3，2，1；共8个，即23．如果n的最大值为5，则满足题意的排列个数为16；分别为：1，2，3，4，5；2，1，3，4，5；2，1，4，3，5；2，1，3，5，4；2，1，5，4，3；1，2，4，3，5；1，2，3，5，4；1，2，5，4，3；1，3，2，4，5；1，3，2，5，4；1，4，3，2，5；1，5，4，3，2；3，2，1，4，5；3，2，1，5，4；4，3，2，1，5；5，4，3，2，1；即24．…所以：设x1，x2，…，x10为1，2，…，10的一个排列，则满足对任意正整数m，n，且1≤m＜n≤10，都有xm+m≤xn+n成立的不同排列的个数为：29=512．故答案为：512．7.关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个x、y都小于1的正实数对(x,y)；再统计x、y两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)的个数m；最后再根据统计数m估计π的值，假如统计结果是，那么可以估计π的值约为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】依题意，、与1能构成钝角三角形，即，即点落在图中在第一象限正方形内的阴影区域，代入计算即可．【详解】解：依题意，、与1能构成钝角三角形，即，即点落在图中在第一象限正方形内的阴影区域，

所以，

当时，有，

得．

故选：D．【点睛】本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，是基础题．8.如图，在网格状小地图中，一机器人从A（0，0）点出发，每秒向上或向右行走1格到相应顶点，已知向上的概率是，向右的概率是，问6秒后到达B（4，2）点的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】根据题意，分析可得机器人从A到B，需要向右走4步，向上走2步，由相互独立事件的概率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，机器人每秒运动一次，6秒共运动6次，若其从A（0，0）点出发，6秒后到达B（4，2），需要向右走4步，向上走2步，则其到达B的概率为C62?（）2（）4==；故选D．9.设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩(?UQ)＝()A．{1,2,3,4,6}

B．{1,2,3,4,5}C．{1,2,5}

D．{1,2}参考答案：D10.已知复数，则=

（

）

A．

B.

C．

D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.，则的值等于

参考答案：812.（几何证明选讲选做题）如图，是⊙的直径，是延长线上的一点，过作⊙的切线，切点为，，若，则⊙的直径__________

参考答案：413.图中阴影部分的面积等于

．参考答案：1【考点】定积分．【分析】根据题意，所求面积为函数3x2在区间[0，1]上的定积分值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．【解答】解：根据题意，该阴影部分的面积为=x3=（13﹣03）=1故答案为：114.如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是线段AA1的中点，M是平面BB1D1D内的点，则|AM|+|ME|的最小值是；若|ME|≤1，则点M在平面BB1D1D内形成的轨迹的面积等于

．参考答案：【考点】向量在几何中的应用．【专题】运动思想；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）由图形可知AC⊥平面BB1D1D，且A到平面BB1D1D的距离与C到平面BB1D1D的距离相等，故MA=MC，所以EC就是|AM|+|ME|的最小值；（2）设点E在平面BB1D1D的射影为O，则EO=AC=，令ME=1，则△EMO是直角三角形，所以点M在平面BB1D1D上的轨迹为圆，有勾股定理求得OM=，即点M的轨迹半径为，代入圆面积公式即可求得面积．【解答】解：连接AC交BD于N，连接MN，MC，则AC⊥BD，∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC，∴AC⊥平面BB1D1D，∴AC⊥MN，∴△AMN≌△CMN，∴MA=MC，连接EC，∴线段EC的长就是|AM|+|ME|的最小值．在Rt△EAC中，AC=，EA=，∴EC==．过E作平面BB1D1D的垂线，垂足为O，则EO=AN=AC=，令EM=1，则M的轨迹是以O为圆心，以OM为半径的圆，∴OM==，∴S=π?（）2=．故答案为，【点评】本题考查了空间几何中的最值问题，找到MA与MC的相等关系是本题的关键．15.投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，第一次出现向上的点数为a，第二次出现向上的点数为b，直线的方程为，直线的方程为x－2y－2＝0，则直线与直线有交点的概率为

.

参考答案：16.将函数的图象上的每一点的纵坐标变为原来的4倍，横坐标变为原来的2倍，然后把所得的图象上的所有点沿x轴向左平移个单位，这样得到的曲线和函数的图象相同，则函数的解析式为

．参考答案：或略17.已知函数，则

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知直线l的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程：)．（Ⅰ）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l和圆C的位置关系．参考答案： 解：（Ⅰ）消去参数t，得直线l的普通方程为y=2x+1，，即ρ=2（sinθ+cosθ），两边同乘以ρ得ρ2=2（ρsinθ+ρcosθ），得⊙C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2；（Ⅱ）圆心C到直线l的距离，所以直线l和⊙C相交．考点： 简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系；直线的参数方程．分析： （Ⅰ）将直线l的参数方程的参数t消去即可求出直线的普通方程，利用极坐标转化成直角坐标的转换公式求出圆的直角坐标方程；（Ⅱ）欲判断直线l和圆C的位置关系，只需求圆心到直线的距离与半径进行比较即可，根据点到线的距离公式求出圆心到直线的距离然后与半径比较．解答： 解：（Ⅰ）消去参数t，得直线l的普通方程为y=2x+1，，即ρ=2（sinθ+cosθ），两边同乘以ρ得ρ2=2（ρsinθ+ρcosθ），得⊙C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2；（Ⅱ）圆心C到直线l的距离，所以直线l和⊙C相交．点评： 本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及直线的参数方程和直线与圆的位置关系的判定，属于基础题19.如图1，已知在菱形ABCD中，∠B=120°，E为AB的中点，现将四边形EBCD沿DE折起至EBHD，如图2．（1）求证：DE⊥面ABE；（2）若二面角A﹣DE﹣H的大小为，求平面ABH与平面ADE所成锐二面角的余弦值．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知可得△ABD为正三角形，再由E为AB的中点，得DE⊥AE，DE⊥BE，利用线面垂直的判定可得DE⊥面ABE；（2）以点E为坐标原点，分别以线段ED，EA所在直线为x，y轴，再以过点E且垂直于平面ADE且向上的直线为z轴，建立空间直角坐标系．由二面角A﹣DE﹣H的平面角为，再设AE=1，可得E，A，B，D的坐标，然后分别求出平面ABH与平面ADE的一个法向量，利用两法向量所成角的余弦值求得平面ABH与平面ADE所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，且∠B=120°，∴△ABD为正三角形，∵E为AB的中点，∴DE⊥AE，DE⊥BE，∴DE⊥面ABE；（2）解：以点E为坐标原点，分别以线段ED，EA所在直线为x，y轴，再以过点E且垂直于平面ADE且向上的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示．∵DE⊥面ABE，∴∠AEB为二面角A﹣DE﹣H的一个平面角，则，设AE=1，则E（0，0，0），A（0，1，0），B（0，，），D（，0，0），由，得H（），∴，，设平面ABH的法向量为，则，令y=，得．而平面ADE的一个法向量为，设平面ABH与平面ADE所成锐二面角的大小为θ，则cosθ=||=||=．∴平面ABH与平面ADE所成锐二面角的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．20.（本小题满分13分）设是椭圆：（）的左右焦点,过作倾斜角为的直线与椭圆交于两点,到直线的距离为3,连接椭圆的四个顶点得到菱形面积为4.（Ⅰ）求椭圆的标准方程;（Ⅱ）过椭圆的左焦点作直线交椭圆于另一点.(1)若点是线段的垂直平分线上的一点，且满足，求实数的值.(2)过作垂直于的直线交椭圆于另一点，当直线的斜率变化时，直线是否过轴上一定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.参考答案：（Ⅱ）(1)设，如何根据斜率存在与否，结合不同的性质联立方程根据根浴系数关系及向量有关指数进行求解即可；(2)由题设的方程为,设如何联立直线与椭圆方程根据韦达定理结合有关条件进行求解即可得m值，然后得到直线方程，求得恒过点坐标.试题解析：（Ⅰ）设焦距为,过右焦点倾斜角为的直线方程为,由题意得，

解得椭圆的方程为.（Ⅱ）(1)设(i)当斜率不存在时，，(2)设的方程为,设消去得则因为,所以解得(舍)或所以的方程为,即,过定点当的斜率不存在时,经计算知也过,故过定点.考点：椭圆的几何性质，直线与圆锥曲线的综合应用，平面向量的坐标运算21.（本小题满分14分）已知函数.

(I)求函数的单调区间；

(Ⅱ)若函数在定义域内存在零点，求a的最大值．

(Ⅲ)若，当时，不等式恒成立，求a的取随范围．参考答案：22.(本小题满分14分)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要