杨辉三角与二项式系数的性质

关于杨辉三角与二项式系数的性质ppt第1页，课件共23页，创作于2023年2月一般地，对于n∈N*有二项定理:二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共有多少个？45

下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？第2页，课件共23页，创作于2023年2月计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表n(a+b)n展开式的二项式系数12345616152015611510105114641133112111对称性第3页，课件共23页，创作于2023年2月《详解九章算法》中记载的表杨辉杨辉三角第4页，课件共23页，创作于2023年2月(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)61）请看系数有没有明显的规律？2）上下两行有什么关系吗？

3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?第5页，课件共23页，创作于2023年2月①每行两端都是1Cn0=Cnn=1②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+++++++++++++++第6页，课件共23页，创作于2023年2月

展开式的二项式系数依次是：

从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数,其定义域是：

当时，其图象是右图中的7个孤立点．第7页，课件共23页，创作于2023年2月（1）对称性

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．这一性质可直接由公式得到．图象的对称轴：第8页，课件共23页，创作于2023年2月（2）增减性与最大值

由于：所以相对于的增减情况由决定．

由：

可知，当时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。第9页，课件共23页，创作于2023年2月

因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数

取得最大值；

当n为奇数时，中间两项的二项式系数、相等，且同时取得最大值。（2）增减性与最大值

第10页，课件共23页，创作于2023年2月（3）各二项式系数的和

在二项式定理中，令，则：

这就是说，

的展开式的各二项式系数的和等于：第11页，课件共23页，创作于2023年2月

（1）

一般地，展开式的二项式系数有如下基本性质：

（2）（4）

（3）当n为偶数时，最大

当n为奇数时，=且最大

（对称性）第12页，课件共23页，创作于2023年2月第0行

1第1行

11第2行

121第3行

1331第4行

1461第5行

151第6行

161561第n-1行

11

第n行

11……………

……………………

第7行

172121711035++++=3551520104“斜线和”=第13页，课件共23页，创作于2023年2月第14页，课件共23页，创作于2023年2月

125第5行

15101051第6行

1615201561第7行

172135352171第1行

11第0行

1第2行

121第3行

1331第4行

14641……138132134如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？第8行

18285670562881

从第三个数起，任一数都等于前两个数的和，

这就是著名的斐波那契数列，也称为兔子数列。第15页，课件共23页，创作于2023年2月斐波那契数列斐波那契

（11701250）

意大利商人兼数学家,他的著作《算盘书》中,首先引入阿拉伯数字，将“十进制”介绍给欧洲人认识，对欧洲的数学发展有深远的影响。第16页，课件共23页，创作于2023年2月例1

证明：在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。在二项式定理中，令，则：

第17页，课件共23页，创作于2023年2月已知求:(1)

；

(2)；

(3);(4)第18页，课件共23页，创作于2023年2月变式:若将“只有第10项”改为“第10项”呢？解第19页，课件共23页，创作于2023年2月类型：求展开式中系数最大的项方法:利用通项公式建立不等式组第20页，课件共23页，创作于2023年2月变式练习：在(3x-2y)20的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项.解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项.则

即3(r+1)>2(20-r)解得

2(21-r)>3r