材料力学课件之能量方法三

第8章能量方法8-1外力功与杆件的变形能一、外力功与弹性应变能1.外力功W——在弹性体受力变形过程中，外力在沿其作用方向的位移上做的功。2.弹性应变能（Dlasticstrainenergy）或弹性变形能（Dlasticdeformationenergy）U——弹性体伴随弹性变形积蓄了能量，从而具有对外界作功的潜在能力，通常把这种形式的能量称为弹性应变能。三、能量方法利用上述功和能的概念来求解变形固体的位移、变形和内力等的方法，统称为能量法。能量法的应用很广泛，它不仅适用于线性弹件问题，而且还适用于非线性弹性体。它也是用有限元法求解固体力学问题的重要基础。二、功能原理（Principleforworkandenergy）在弹性体受力变形过程中，不考虑动力效应，能量损耗，则外力所作的功，就全部转换为弹性体内部积蓄的应变能，其表达式如下：U=W四、杆件的应变能1.比能2.应变能(1)微应变能du=udV(2)应变能（一）、拉压杆的应变能应变能是一种体积分布能量。全杆的应变能，等于所有杆段应变能之和或者等于所有微段应变能之和。(3)等截面且轴力为常数的杆段的应变能(4)分段等截面且各段轴力为常数的杆的应变能例求u，U。注：应变能(比能)的计算一般不能用叠加原理。(二)、剪切变形应变能和比能如图示的纯剪切单元体，其应变能和比能是：单元体微元功等于微变形能微比能剪切比能剪切应变能(三)、圆轴扭转应变能例：求图示扭转圆轴的应变能。解：轴的两段扭矩均为常量，易于求出该扭转圆轴的应变能如下：(四)、平面弯曲时的应变能推导广义胡克定律时已指出：正应力不会引起剪应变；剪应力也不会引起线应变。可知，正应力不会在剪应变上做功；剪应力不会在线应变上做功。故，梁内任意一点的比能等于正应力对应的比能与剪应力对应的比能之和。梁的应变能k——与截面形状有关的剪应力不均匀分布修正系数。如截面为矩形k=1.2，圆形k=10/9，薄壁圆环形k=2，共字型k=A/AW。梁的应变能实践和记算表明：对于高跨比较小的梁，剪应力影响项较小，一般可以略去。梁弯曲变形时的应变能可用下式计算。(五)、组合变形时的应变能根据实际情况，求出横截面上任一点的正应力及剪应力。比能：应变能：组合变形时的应变能最后一项是关于z的对称积分，结果为零。组合变形时的应变能当不考虑弯曲剪切影响时，有可见，当轴y为对称轴,即组合变形中的弯曲变形为对称弯曲时，组合变形时的应变能等于与截面上各独立内力对应的基本变形应变能的总和。注：(1)杆件应变能的取值与加载次序无关；(2)应变能都是内力(荷载)的二次函数，因此，一般不能用力的独立作用原理进行叠加计算。(3)在荷载产生的内力或位移属于不同类型时，可以叠加。例：试用下述三种方式，计算图示简支梁的应变能。(1)同时由零开始逐渐加载至P、M；(2)先加载至P，再加载至M；(3)先加载至M，再加载至P。应变能只与荷载的最终值有关，而与加载的中间过程或加载的先后次序无关。

利用功能原理计算位移U=W由功能原理当结构上只作用一个作功的广义荷载P时，利用功能原理，可方便地求得与P对应的广义位移d。d=2U/P例：8—2、卡氏定理若弹性体上作用有n个已知的广义力P1、P2、P3、…、Pn，在其共同作用下，每个广义力作用点沿各自广义力方向上的广义位移分别为D1、D2、D3、…、Dn。则弹性体由广义力表示的变形能U

对某个广义力Pi的偏导数，等于与Pi相应的广义位移

Di

。证明弹性体的应变能只与荷载的最终值有关，而与加载的中间过程或加载的先后次序无关。于是，总变形能为略去高阶微量，得卡氏定理的应用由得1.拉压杆件系统的位移计算对于拉压杆件系统，能够写出如下公式：2.圆轴扭转时的位移计算3.平面弯曲梁的位移计算4.组合变形时的位移计算卡氏定该理的应局用说明（1）力浴和位吉移均百有广帆义性伸；（2）注意款所求位胁移有无艰相应的磁广义力芝，有则罢直接对正它求偏导，无种则需要挤虚设一状个相应余的广义萌力；（3）要浮注意袋所求套位移辽相应臂的广狗义力段，是川否与兽所求汁位移思不对应的笛其它亡荷载撇，具补有相绒同的拿名称扶。如需果是糊，需指要先召将与所求践位移相惩应的广夺义力换中个名称掏，以避肚免求偏酒导发生概念皆上的错隙误；(4）在运功算时，怕一般不油要将体峰系的应政变能求满出来后品再求偏导数，兽应当先悦求偏导令数再进网行积分广运算（户简称“象先求导后积分做”）；（5）区分丘不同的次荷载类氏型，分锁别应用乞有关公吃式，还指需要弄清汪楚，漂写内丙力方粒程需忍要将馅杆件孟（或厉简单阿结构华）分钉为几段，继来进行子正确的照描述（简应变能姥的计算位同样需始要分为几阵段来按计算作）。(6识)广跌义力粉与广爪义位弟移间轮的相翠应关荣系：一个肃力相应趋的位残移为绩该力过作用技点沿精力矢绵正向邻的线截位移惠；一个力毫偶相应的磁位移为增作用有妨该力偶辱的平面篮沿力偶汇转向的柄角位移衫；一对力相应耽的位坑移为绕该对郑力两半作用势点沿柔力矢乘正向怀的相恩对线肢位移肃；一对力金偶相应织的位伍移为栋作用伤有该冰对力纳偶的纪两平萌面间忠沿力累偶转皇向的夏相对蒙角位山移。分别为如图拖a、慨b、穿c、河d所覆示。例：8-4功的互叼等定理练和位移号互等定伐理一、贷功的阶互等卖定理灯——咱贝蒂贺—瑞隐利互刘等定障理由意析大利茫的E.舞Be拼tt绞i于18兵72戚年和尽英国拉的Ra喇yl港ei馆gh于1馒87有3年码分别赏独立宫提出棋。同一哥根梁曲，分秧别处言于图a和图b的荷运载作牙用状扔态，润图中久所示犬的位碑移有章广义办力引苗起自斩己作穿用点蜂的位稀移，筛也有厚一个拆另一漫力作躬用点董的位覆移。功的互摩等定理功的互抖等定理栗：如果洞将上义述两食种荷晚载同哥时作汉用在摩该梁食上，济如图住示，缺两种求荷载焰不同加的施瞧加次插序，数都将继得出疼相同薯的应嫩变能呜，于止是有祝：功的周互等洞定理如在外某线闻弹性暗体上具作用艳两组尿广义护力，挥则第殊一组悉力在膛第二般组力冈引起增的广供义位蚊移上呜所做雅的功咽等于脸第二缺组力细在第微一组验力引目起的博广义锹位移袜上所毙做的吃功。侧或i状态昌的力耐在k状态林的位树移上市所做朴的功泛等于k状态的阻力在i状态咳的位逆移上条所做匹的功阵。Wik=Wki或Pi.Dik=Pk.Dki二、位相移互等付定理企——瓶麦克册斯韦春位移矮互等狐定理由英推国于18腾64年共提出。由功的煮互等牛定理絮知：如果讽广义挂力数始值上耕相等筋，Pi=Pk则Dik=Dki如在某滤线弹性眠体上作钩用两个镇数值相兼等的广次义力Pi和Pk，则Pi单独作赴用下引起Pk作用点霜沿Pk方向说的广著义位阁移在勉数值经上等蓬于Pk单独作故用下引起Pi作用皱点沿Pi方向的副广义位脏移。8-5滥余能宵与余能探原理一、陷余能虽概念考察图舍示非线镜性弹性厘材料的倡轴向拉宝杆，荷脚载伸长叼关系曲输线和应漏力应变绕关系曲像线。显崇然，荷寻载与位谁移、应搜力与应占变之间贵不再服叉从线性侨弹性关屯系。由于与具有相同的量纲。且余能概伯念注意：杆件的是余能或域余比能善没有明爷确的物魄理意义商，但有灾明确的旧几何意碎义，就朝是曲线叙上方的采面积。即在和妹数PD下，W*为W的余导数。素因此仆习惯翅上称W*为余功。类似地毛有称为余(应变)能称为余比能余能概猜念应变能通常表示为广义位移的函数。余能通常表示为广义力的函数。特殊厦情形秀：线弹闸性材顾料，P-D和s-e曲线为激一斜直牙线，是疫矩形PD和se的对角谅线，故船：即线弹举性体氧的余畏能（揉或一拐点处腥的余灶比能甩）与旁应变有能（变或一妖点处技的比定能）呢相等。三、卡遥氏第二宏定理1.克己罗蒂-娱恩盖塞援定理—妖—适用割于线弹高性体与析非线弹蚀性体由意旁大利朗工程剧师F味.C吵ro腊tt琴i于瓦18胞78售年、失德国璃工程吗师F撇.E滚ng沿es强se续r于识18佳89盛年分锐别提帆出。若弹性茫体上作密用有n个已套知的绢广义咳力P1、P2、P3、…乓、Pn，在其兽共同作雕用下，陷每个广惰义力作证用点沿饼各自广捡义力方扁向上的榨广义位普移分别酸为D1、D2、D3、…匆、Dn。则弹性蝴体由眯广义途力表央示的别余能斑U*对某个竹广义力陷Pi的偏隙导数群，等暂于与舅Pi相应的弱广义位挖移Di。证明仿诉前。2、卡极氏第一像定理由意大畜利工程荷师A.慨Cas真til奔ian筛o于1备873纳年提出僻。若弹性饰体上作凤用有n个已桌知的姻广义晒力P1、P2、P3、…捆、Pn，在涉其共碍同作找用下呼，每涌个广示义力慌作用保点沿抖各自阔广义膨力方认向上少的广揪义位蚕移分献别为D1、D2、D3、…、Dn。则弹性药体由谱广义消位移偶表示馒的应之变能辟U对纹某个牢广义妈位移Di的偏抢导数同，等杨于与Di相应拼的广胁义力矿Pi。证明括：——栽适用浮于线美弹性初体与别非线塞弹性蜘体，应求弹调性体攻的位俯移。例：2.卡拉氏第二令定理由意大涂利工程塞师A.至Cas耻til竖ian羡o于1拳873悟年提出