第八章理想流体有旋流动和无旋流动演示文稿

第八章理想流体有旋流动和无旋流动演示文稿目前一页\总数一百四十六页\编于十八点（优选）第八章理想流体有旋流动和无旋流动目前二页\总数一百四十六页\编于十八点在许多工程实际问题中，流动参数不仅在流动方向上发生变化，而且在垂直于流动方向的横截面上也要发生变化。要研究此类问题，就要用多维流动的分析方法。本章主要讨论理想流体多维流动的基本规律，为解决工程实际中类似的问题提供理论依据，也为进一步研究粘性流体多维流动奠定必要的基础。

目前三页\总数一百四十六页\编于十八点本章内容微分形式的连续方程

流体微团运动分解

理想流体运动方程定解条件

理想流体运动微分方程的积分

涡线涡管涡束涡通量速度环量斯托克斯定理汤姆孙定理亥姆霍兹定理

平面涡流

速度势流函数流网几种简单的平面势流

简单平面势流的叠加

均匀等速流绕过圆柱体的平面流动均匀等速流绕过圆柱体有环流的平面流动目前四页\总数一百四十六页\编于十八点第一节微分形式的连续方程目前五页\总数一百四十六页\编于十八点

当把流体的流动看作是连续介质的流动，它必然遵守质量守恒定律。对于一定的控制体，必须满足它表示在控制体内由于流体密度变化所引起的流体质量随时间的变化率等于单位时间内通过控制体的流体质量的净通量。

目前六页\总数一百四十六页\编于十八点直角坐标系中微分形式的连续性方程在流场中取出微元六面体ABCDEFG微元六面体中心点上流体质点的速度为vx、vy、vz密度为ρ和x轴垂直的两个平面上的速度和密度目前七页\总数一百四十六页\编于十八点在x方向上，dt时间内通过左面流入的流体质量为：dt时间通过右面流出的流体质量为：则dt时间内沿x轴通过微元体表面的质量净通量为目前八页\总数一百四十六页\编于十八点在dt时间内沿y轴和z轴方向流体质量的净通量分别为：在dt时间内经过微元六面体的流体质量总变化为开始瞬时流体的密度为ρ，经过dt时间后的密度为在dt时间内，六面体内因密度的变化而引起的质量变化为目前九页\总数一百四十六页\编于十八点连续性方程表示了单位时间控制体内流体质量的增量等于流体在控制体表面上的净通量。它适用于理想流体和粘性流体、定常流动和非定常流动。

——可压缩流体非定常三维流动的连续性方程目前十页\总数一百四十六页\编于十八点定常不可压缩定常物理意义：在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于零，也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相等。目前十一页\总数一百四十六页\编于十八点

柱坐标系中微分形式的连续性方程定常不可压缩定常目前十二页\总数一百四十六页\编于十八点

球坐标系中微分形式的连续性方程定常不可压缩定常目前十三页\总数一百四十六页\编于十八点【例】已知不可压缩流体运动速度v在x，y两个轴方向的分量为vx=2x2+y，vy=2y2+z。且在z=0处，有vz=0。试求z轴方向的速度分量vz。

目前十四页\总数一百四十六页\编于十八点第二节流体微团运动分解

目前十五页\总数一百四十六页\编于十八点

流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变形。流体微团在运动过程中不但象刚体那样可以有移动和转动，而且还会发生变形运动。一般情况下，流体微团的运动可以分解为移动，转动和变形运动。

目前十六页\总数一百四十六页\编于十八点在流场中任取一微元平行六面体边长分别为dx、dy、dz。t瞬时A点的速度为顶点M速度为目前十七页\总数一百四十六页\编于十八点目前十八页\总数一百四十六页\编于十八点线速度线变形速率剪切变形速率旋转角速度目前十九页\总数一百四十六页\编于十八点在一般情况下，流体微团的运动可分解为三部分：以流体微团中某点的速度作整体平移运动——线速度绕通过该点轴的旋转运动——旋转角速度微团本身的变形运动——线变形速率、剪切变形速率目前二十页\总数一百四十六页\编于十八点oxy坐标面内，t时刻矩形ABCD的运动目前二十一页\总数一百四十六页\编于十八点平移运动矩形ABCD各角点具有相同的速度分量vx、vy。导致矩形ABCD平移vxδt,上移vyδt,ABCD的形状不变。目前二十二页\总数一百四十六页\编于十八点线变形运动x方向的速度差y方向的速度差AB、DC在δt时间内伸长AD、BC在δt时间内缩短目前二十三页\总数一百四十六页\编于十八点定义：单位时间内单位长度流体线段的伸长或缩短量为流体微团的线变形速率。沿x轴方向的线变形速率为沿y轴、z轴方向的线变形速率为目前二十四页\总数一百四十六页\编于十八点对于不可压缩流体，上式等于零，是不可压缩流体的连续性方程，表明流体微团在运动中体积不变。三个方向的线变形速率之和所反映的实质是流体微团体积在单位时间的相对变化，称为流体微团的体积膨胀速率。不可压缩流体的连续性方程也是流体不可压缩的条件。目前二十五页\总数一百四十六页\编于十八点角变形运动目前二十六页\总数一百四十六页\编于十八点角变形速度：两正交微元流体边的夹角在单位时间内的变化量剪切变形速率该夹角变化的平均值在单位时间内的变化角变形速度的平均值目前二十七页\总数一百四十六页\编于十八点旋转运动

流体微团只发生角变形流体微团只发生旋转，不发生角变形流体微团在发生角变形的同时，还要发生旋转运动目前二十八页\总数一百四十六页\编于十八点旋转角速度：单位时间角平分线的旋转量角平分线的旋转量旋转角速度单位时间二直角边旋转角速度代数和的平均值目前二十九页\总数一百四十六页\编于十八点目前三十页\总数一百四十六页\编于十八点目前三十一页\总数一百四十六页\编于十八点亥姆霍兹速度分解定理

在一般情况下微小流体质团的运动可以分解为三部分：（1）随质团中某点（基点）一起前进的平移运动；（2）绕该点的旋转运动；（3）含有线变形和角变形的变形运动。微小流体质团的维长趋于零的极限是流体微团流体微团的运动分解定理目前三十二页\总数一百四十六页\编于十八点亥姆霍兹速度分解定理对于流体力学的发展有深远的影响：由于把旋转运动从一般运动中分离出来，才使我们有可能把运动分成无旋运动和有旋运动；正是由于把流体的变形运动从一般运动中分离出来，才使我们有可能将流体变形速度与流体应力联系起来，这对于粘性流体运动规律的研究有重大的影响。目前三十三页\总数一百四十六页\编于十八点根据流体微团是否旋转可将流体的流动分为两大类有旋流动流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动。流体微团的旋转角速度不等于零（数学条件）无旋流动

如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。流体微团的旋转角速度等于零（数学条件）目前三十四页\总数一百四十六页\编于十八点无旋流动需要指出的是，有旋流动和无旋流动仅由流体微团本身是否发生旋转来决定，而与流体微团本身的运动轨迹无关。

目前三十五页\总数一百四十六页\编于十八点【例】给定直角坐标系中速度场vx=x2y+y2，vy=x2-xy2，vz=0。求各变形速度，并判断流场是否为不可压缩流场。目前三十六页\总数一百四十六页\编于十八点【例】给定两个流场：

（1）vx=-y，vy=x；vz=0；（2）vx=-y/(x2+y2)，vy=x/(x2+y2)，vz=0。求这两个流场的迹线和旋转角速度。目前三十七页\总数一百四十六页\编于十八点第三节理想流体运动微分方程定解条件

目前三十八页\总数一百四十六页\编于十八点一、理想流体运动方程在流场中取一平行六面体边长分别为δx，δy，δz

中心点为(x,y,z)中心点的压强为p=p(x,y,z)密度为ρ=ρ(x,y,z)因研究的对象为理想流体，作用于六个面上的表面力只有压力作用于微元体上的单位质量力沿三个坐标轴的分量分别为fx，fy，fz

以该六面体为控制体，应用动量方程目前三十九页\总数一百四十六页\编于十八点沿x方向从左面单位时间流入控制体的动量为从右面流出的动量为沿x方向单位时间流出与流入控制体的动量差y方向、z方向经过控制面单位时间流体动量的净通量为目前四十页\总数一百四十六页\编于十八点控制体内单位时间流体动量的变化作用在控制体内流体上的质量力沿x方向压强的合力y方向、z方向作用在控制面上压强的合力为目前四十一页\总数一百四十六页\编于十八点目前四十二页\总数一百四十六页\编于十八点

理想流体微分形式的运动方程，又称流体运动的欧拉方程。表示了作用在单位质量流体上的质量力、表面力和惯性力相平衡：在流场的某点，单位质量流体的当地加速度与迁移加速度之和等于作用在它上面的重力与压力之和。该式推导过程中对流体的压缩性没加限制，故可适用于理想的可压流体和不可压缩流体，适用于有旋流动和无旋流动。vx=vy=vz=0，方程变为流体平衡的欧拉方程。目前四十三页\总数一百四十六页\编于十八点柱坐标系中的欧拉运动微分方程式球坐标系中的欧拉运动微分方程式目前四十四页\总数一百四十六页\编于十八点兰姆方程（可直接从微分方程中判定流动是否有旋）——兰姆方程目前四十五页\总数一百四十六页\编于十八点质量力有势正压流场——压强函数目前四十六页\总数一百四十六页\编于十八点理想正压性流体在有势的质量力作用下的运动微分关系目前四十七页\总数一百四十六页\编于十八点二、定解条件对于不可压缩理想流体，未知量有vx、vy、vz、p四个，除三个运动微分方程外，还有连续方程，联立可以求解；对于正压的理想流体，密度随压强变化，多了未知量ρ，需补充物态方程，方可求解；对于非正压的理想流体，密度随压强和温度变化，又多了未知量T，还需补充能量方程，才能求解；满足基本方程的解有无穷多，要得到给定流动的确定解，必须给出它的定解条件，包括起始条件和边界条件。目前四十八页\总数一百四十六页\编于十八点1.起始条件方程组的解在起始瞬时（t=0）应满足的条件，是起始瞬时流动参数在流场中的分布规律，即起始条件是研究非定常流动必不可少的定解条件，但在研究定常流动时，可以不必给出。目前四十九页\总数一百四十六页\编于十八点2.边界条件方程组的解在流场边界上应满足的条件。边界条件可以是固体的，也可以是流体的；可以是运动学的、动力学的，也可以是热力学的。目前五十页\总数一百四十六页\编于十八点固体壁面理想流体沿固体壁面流动时，既不能穿过它，也不能脱离它形成空隙，壁面上流体质点的法向速度vln应等于对应点上壁面的法向速度vbn，即vln=vbn。如果壁面静止不动，则vln=0。流体与固壁的相互作用力也必沿壁面的法线方向。目前五十一页\总数一百四十六页\编于十八点流体交界面若在交界面上两种流体互不渗透，它们在同一点上的法向速度应相等，通常两侧的温度也是连续的，即v1n=v2n，T1=T2若交界面是曲面，曲面两侧的压强应满足p1-p2=σ(1/R1+1/R2)若交界面是平面，R1=R2→∞，则p1=p2若交界面是自由表面，则p=pamb若自由表面上是大气，则p=pa目前五十二页\总数一百四十六页\编于十八点无穷远处一般给定该处流体的流速v∞、压强p

∞和密度ρ∞

。流道进出口处此处的条件需视具体情况而定，一般给出该处截面上的速度分布。目前五十三页\总数一百四十六页\编于十八点第四节理想流体运动方程的积分目前五十四页\总数一百四十六页\编于十八点一、欧拉积分正压的理想流体在有势的质量力作用下作定常无旋流动在流场中任取一有向微元线段目前五十五页\总数一百四十六页\编于十八点

正压的理想流体在有势的质量力作用下作定常无旋流动时，单位质量流体的动能v2/2、质量力位势能π、压强势能PF之和在流场中保持不变。目前五十六页\总数一百四十六页\编于十八点二、伯努利积分正压的理想流体在有势的质量力作用下作定常有旋流动。流线与迹线重合在流场中沿流线取一有向微元线段在三个坐标轴上的投影分别为目前五十七页\总数一百四十六页\编于十八点

正压的理想流体在有势的质量力作用下作定常有旋流动时，单位质量流体的动能v2/2、质量力位势能π、压强势能PF之和沿同一流线保持不变。一般情况下，沿不同流线，积分常数值不一样。目前五十八页\总数一百四十六页\编于十八点

不可压缩重力流体，若取坐标轴z方向向上：

π=gzPF=p/ρv2/2+gz+p/ρ=C如果流动无旋，单位质量流体的动能、位势能、压强势能之和在流场中保持不变；如果流动有旋，这三项之和沿同一流线保持不变。目前五十九页\总数一百四十六页\编于十八点

对于完全气体的绝热流动，质量力的作用可忽略不计：非粘性完全气体一维定常绝热流动的能量方程。如果流动无旋，单位质量气体的动能、压强势能之和在流场中保持不变；如果流动有旋，这二项之和沿同一流线保持不变。目前六十页\总数一百四十六页\编于十八点【例】如图所示为水平放置、间隙为δ、半径为r2的二圆盘，水由上圆盘中央半径为r1的小管以速度v1定常地流入，若不计水流入的动量，试求圆盘间水的压强沿径向的分布规律。目前六十一页\总数一百四十六页\编于十八点第五节涡线涡管涡束涡通量

目前六十二页\总数一百四十六页\编于十八点自然界中流体的流动绝大多数是有旋的大气中的旋风、龙卷风，桥墩后的涡旋区；行进中的船舶后的尾涡区；充满微小涡旋的紊流流动；物体表面充满微小涡旋的边界层流动；叶轮机械内流体的涡旋运动。目前六十三页\总数一百四十六页\编于十八点流体微团旋转角速度的矢量表示更普遍地用涡量来描述流体微团的旋转运动涡量的定义充满涡量的流场称为涡量场目前六十四页\总数一百四十六页\编于十八点一、涡线涡管涡束涡线在给定瞬时处处与涡量矢量相切的曲线。沿该线各流体微团的瞬时转动轴线。涡线方程

非定常流动，涡线的形状和位置是随时间变化的，积分涡线微分方程时，t作为参变量；定常流动，涡线的形状和位置保持不变，涡线微分方程中没有时间变量t。目前六十五页\总数一百四十六页\编于十八点涡管涡束给定瞬时在涡量场中取一不是涡线的封闭曲线，通过封闭曲线的每一点作涡线，这些涡线形成的管状表面称为涡管；截面无限小的涡管称为微元涡管；涡管中充满着的作旋转运动的流体称为涡束；微元涡管中的涡束称为微元涡束或涡丝。目前六十六页\总数一百四十六页\编于十八点二、涡通量

旋转角速度ω的值与垂直于角速度方向的微元涡管横截面积dA的乘积的两倍称为微元涡管的涡通量（也称涡管强度）dJ有限截面涡管的涡通量可表示为沿涡管横截面的积分ωn是微元涡管的旋转角速度沿涡管横截面法线方向的分量目前六十七页\总数一百四十六页\编于十八点第六节速度环量斯托克斯定理

目前六十八页\总数一百四十六页\编于十八点一、速度环量在流场的某封闭周线上，流体的速度矢量与该线微元有向线段的标积沿周线的线积分，定义为速度环量，用符号Γ表示速度环量是代数量，它的正负不仅与速度的方向有关，还与线积分的绕行方向有关；规定：绕行的正方向为逆时针方向，即封闭周线所包围的面积总在绕行前进方向的左侧；封闭周线所围曲面的法线正方向与绕行的正方向形成右手螺旋系统。目前六十九页\总数一百四十六页\编于十八点二、斯托克斯定理在涡量场中，沿任意封闭周线的速度环量等于通过该周线所张曲面的涡通量目前七十页\总数一百四十六页\编于十八点微元封闭周线目前七十一页\总数一百四十六页\编于十八点任意有限封闭周线K用互相正交的两组直线将平面和曲面划分成无数个微元封闭周线微元面积视为平面微元封闭周线所有微元周线K内各微元线段速度的线积分都要计算两次，绕行方向相反目前七十二页\总数一百四十六页\编于十八点斯托克斯定理的应用区域限制条件区域内任意封闭周线都能连续地收缩成一点而不越出流体的边界——单连通域多连通域目前七十三页\总数一百四十六页\编于十八点多连通域斯托克斯定理目前七十四页\总数一百四十六页\编于十八点【例】已知二维流场的速度分布为vx=-6y，vy=8x，试求绕圆x2+y2=R2的速度环量。目前七十五页\总数一百四十六页\编于十八点【例】在二元涡量场中，已知圆心在坐标原点、半径r=0.2m的圆区域内流体的涡通量J=0.8πm2/s。若流体微团在半径r处的速度分量vθ为常数，它的值是多少？目前七十六页\总数一百四十六页\编于十八点【例】已知理想流体的速度分布为，试求涡线方程以及沿封闭周线的速度环量，其中a、b为常数。目前七十七页\总数一百四十六页\编于十八点第七节汤姆孙定理亥姆霍兹定理

目前七十八页\总数一百四十六页\编于十八点一、汤姆孙定理正压的理想流体在有势的质量力作用下沿任何由流体质点组成的封闭周线的速度环量不随时间变化；在流动过程中，上述流体质点线可以移动、变形，但组成该线的流体质点不变。所以速度环量随时间的变化率目前七十九页\总数一百四十六页\编于十八点目前八十页\总数一百四十六页\编于十八点汤姆孙定理和斯托克斯定理说明：正压的理想流体在有势的质量力作用下，速度环量和涡旋不能自行产生，也不能自行消失。理想流体无粘性，不存在切应力，不能传递旋转运动；既不能使不旋转的流体微团旋转，也不能使旋转的流体微团停止旋转；流场中原来有涡旋和速度环量的，将保持有涡旋和速度环量；原来没有涡旋和速度环量的，就永远没有涡旋和速度环量；流场中也会出现没有速度环量但有涡旋的情况，此时涡旋是成对出现的，每对涡旋的强度相等而旋转方向相反。目前八十一页\总数一百四十六页\编于十八点二、亥姆霍兹定理亥姆霍兹第一定理：在同一瞬时涡管各截面上的涡通量相同。沿包围涡管任一截面封闭周线的速度环量相等目前八十二页\总数一百四十六页\编于十八点沿包围涡管任一截面封闭周线的速度环量相等斯托克斯定理：速度环量等于穿过封闭周线所包围截面的涡通量涡管各截面上涡通量相等涡管在流体中既不能开始，也不能终止，只能是自成封闭的管圈，或在边界上开始、终止。目前八十三页\总数一百四十六页\编于十八点亥姆霍兹第二定理（涡管守恒定理）在有势的质量力作用下的正压理想流体中，涡管始终由相同的流体质点组成。涡管表面上任意由流体质点组成的封闭周线K开始时没有涡线穿过周线K所包围的面积沿周线K的速度环量等于零速度环量不能自生自灭，沿周线K的速度环量永远为零涡管表面上任何封闭周线所包围的面积中永远没有涡线通过在某一时刻构成涡管的流体质点永远在涡管上涡管永远为涡管，但涡管的现状随时间可能有变化目前八十四页\总数一百四十六页\编于十八点亥姆霍兹第三定理（涡管强度守恒定理）在有势的质量力作用下的正压理想流体中，涡管强度不随时间变化。围绕涡管表面A取一封闭的流体质点周线K涡管始终由相同的流体质点组成沿涡管表面周线K的速度环量保持不变通过涡管的涡通量也保持不变涡管强度不随时间变化目前八十五页\总数一百四十六页\编于十八点第八节平面涡流

目前八十六页\总数一百四十六页\编于十八点设在重力作用下的不可压缩理想流体中，有一无限长的涡通量为J的垂直涡束，像刚体一样以等角速度ω绕自身轴旋转；涡束周围的流体受涡束的诱导将绕涡束轴作对应的等速圆周运动；由于直线涡束无限长，与涡束轴垂直的所有平面上的流动情况都一样，可只研究其中一个平面的流动。目前八十七页\总数一百四十六页\编于十八点涡束内的流动区域，称为涡核区。有旋流动，其半径为rb。涡束外的流动区域称为环流区。由于速度环量和旋涡都不能自行产生，故为无旋流动。目前八十八页\总数一百四十六页\编于十八点环流区

沿任何圆周线的速度环量

环流区速度分布环流区内随半径的减小，流速升高。目前八十九页\总数一百四十六页\编于十八点环流区的压强分布环流区内随半径的减小，压强降低。在与涡核交界处，流速达到该区的最高值，而压强则是该区的最低值。目前九十页\总数一百四十六页\编于十八点涡核区

涡核区的速度分布目前九十一页\总数一百四十六页\编于十八点涡核区的压强分布

涡核区为有旋流动，伯努利方程的积分常数随流线而变，其压强分布由欧拉运动微分方程推出：目前九十二页\总数一百四十六页\编于十八点目前九十三页\总数一百四十六页\编于十八点涡核中心的流速为零，压强最低涡核区边缘至涡核中心的压强降涡核区和环流区的压强降相等，都等于以它们交界处的速度计算的动压头；由于涡核区的压强比环流区的低，而涡核区又很小，径向压强梯度很大，故有向涡核中心的抽吸作用，涡旋越强，这种作用越大，如龙卷风，具有极强的涡旋，有很大的破坏力；在工程实际中，也有许多与涡流有关的装置。目前九十四页\总数一百四十六页\编于十八点第九节速度势流函数流网

目前九十五页\总数一百四十六页\编于十八点

自然界中无旋流动是很少的有许多有旋流动可以近似地视为无旋流动可以使繁琐的数学计算得到简化，解决工程实际问题；此类分析、计算方法已经很成熟。目前九十六页\总数一百四十六页\编于十八点一、速度势无旋流动是vxdx+vydy+vzdz成为某函数φ(x,y,z)的全微分的充要条件

dφ=vxdx+vydy+vzdz流场的速度等于势函数φ的梯度，φ为速度势函数，简称速度势；称无旋流动为有势流动，简称势流。目前九十七页\总数一百四十六页\编于十八点速度势对任意方向s的偏导数

速度势函数对任意方向s的偏导数等于速度矢量在该方向上的投影在柱坐标系中的速度分量目前九十八页\总数一百四十六页\编于十八点在势流中任取一曲线AB，沿AB切向速度的线积分为沿任意曲线切向速度的线积分等于曲线两端的速度势之差；若曲线为封闭周线，速度势又是单值连续函数，则沿该周线的速度环量等于零。目前九十九页\总数一百四十六页\编于十八点不可压缩流体满足拉普拉斯方程的函数为调和函数，速度势是调和函数。柱坐标系中

——拉普拉斯方程——拉普拉斯算子目前一百页\总数一百四十六页\编于十八点二、流函数不可压缩流体的平面流动连续方程流线方程是-vydx+vxdy成为某函数ψ(x,y)全微分的充要条件

目前一百零一页\总数一百四十六页\编于十八点流线上dψ=-vydx+vxdy=0ψ=const每条流线都有各自的常数值，故称ψ(x,y)为流函数。流函数总满足连续方程。不可压缩流体的二维流动，必然存在流函数，不管它是理想流体还是粘性流体，是有旋流动还是无旋流动。极坐标系中目前一百零二页\总数一百四十六页\编于十八点等流函数线为流线目前一百零三页\总数一百四十六页\编于十八点流体通过两流线间单位高度的体积流量等于两条流线的流函数之差——流函数的物理意义目前一百零四页\总数一百四十六页\编于十八点不可压缩流体平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程，是调和函数。目前一百零五页\总数一百四十六页\编于十八点三、流网在不可压缩流体的平面无旋流动中，同时存在速度势和流函数。流函数和势函数的关系：等势线族和流线族互相正交。在平面上等势线和流线构成处处正交的网格，称为流网。——两簇曲线正交的条件目前一百零六页\总数一百四十六页\编于十八点【例】已知不可压缩流体平面势流的速度势φ=xy，试求速度投影和流函数。目前一百零七页\总数一百四十六页\编于十八点【例】已知平面流动的流函数Ψ=3x2y-y3。求势函数；若在流场中A(1m,1m)处的绝对压强为1.5×105Pa，流体的密度为1.2kg/m3，则B(3m,5m)处的压强是多少？目前一百零八页\总数一百四十六页\编于十八点第十节几种简单的平面势流

目前一百零九页\总数一百四十六页\编于十八点一、均匀等速流流速的大小和方向沿流线不变的流动为均匀流；若流线平行且流速相等，则称为均匀等速流。势函数等势线流函数流线流线与等势线垂直目前一百一十页\总数一百四十六页\编于十八点流场中各点的流速相同，流动无旋，所以流场中流体的总势能不变水平面上的均匀等速流压强在流场中处处相等目前一百一十一页\总数一百四十六页\编于十八点二、源流和汇流在无限平面上，若流体从一点沿径向直线均匀地向各方流出，称为源流，这个点称为源点；若流体沿径向直线均匀地从各方流入一点，称为汇流，这个点称为汇点。流动只有径向速度vr通过任一单位高度圆柱面的体积流量qV目前一百一十二页\总数一百四十六页\编于十八点势函数源点和汇点是奇点等势线不同半径的同心圆流函数流线不同极角的径线流线与等势线正交目前一百一十三页\总数一百四十六页\编于十八点水平面内流动的压强分布对半径r处和无穷远列伯努利方程压强随半径的减小而降低零压强处绝对压强不能等于零，上述各式适用范围：r>r0目前一百一十四页\总数一百四十六页\编于十八点三、势涡若二维涡流的涡束半径rb→0，则涡束变为一条涡线，平面上的涡核区缩为一点，称为涡点，这样的流动称为势涡或自由涡流。涡点以外势流区的速度分布r→0v→∞涡点为奇点目前一百一十五页\总数一百四十六页\编于十八点势函数等势线不同极角的径线流函数流线不同半径的同心圆Γ>0，环流逆时针方向；Γ<0，环流顺时针方向。流线与等势线正交目前一百一十六页\总数一百四十六页\编于十八点涡点以外势流区的压强分布

零压强处

目前一百一十七页\总数一百四十六页\编于十八点对于以上几种简单的平面势流，重要的不是它们能代表怎样的实际流动，而在它们是势流的基本单元；把几种基本单元组合在一起，可以形成许多有重要意义的复杂流动。目前一百一十八页\总数一百四十六页\编于十八点第十一节简单平面势流的叠加

目前一百一十九页\总数一百四十六页\编于十八点若φ1,φ2,φ3,……,φn是调和函数，将它们相加组成的新函数也必是满足拉普拉斯方程的调和函数：调和函数可以叠加，叠加成的新函数仍是调和函数，流动仍然无旋；它们的速度矢量可以叠加。目前一百二十页\总数一百四十六页\编于十八点一、汇流与势涡叠加——螺旋流汇流势涡螺旋流等势线流线流线和等势线是两组相互正交的螺旋线目前一百二十一页\总数一百四十六页\编于十八点汇流和势流叠加的流动为螺旋流速度分布

压强分布上述各式的实际的适用范围应为目前一百二十二页\总数一百四十六页\编于十八点旋风燃烧室、离心式除尘器、离心式喷油嘴流体沿圆周切向流入，从中心流出——汇流和势涡的叠加。离心泵、风机外壳中的流体由叶轮螺旋流入，沿外壳切向流出——源流和势涡的叠加。目前一百二十三页\总数一百四十六页\编于十八点二、源流和汇流叠加——偶极子流两个流量相等的位于A(-a,0)的源流和位于B(a,0)的汇流叠加目前一百二十四页\总数一百四十六页\编于十八点流线流线是经过源点和汇点的圆线族当源点和汇点无限接近，a→0时，流量必须同时无限增大，使趋于有限值，这样流动才能形成——偶极子流。M为偶极子矩，也称偶极子流强度，方向由源点指向汇点。目前一百二十五页\总数一百四十六页\编于十八点偶极子流势函数等势线目前一百二十六页\总数一百四十六页\编于十八点流函数流线速度分布目前一百二十七页\总数一百四十六页\编于十八点第十二节均匀等速流绕过圆柱体的平面流动

目前一百二十八页\总数一百四十六页\编于十八点速度为v∞沿x轴正向的均匀等速流与强度为M沿x轴正向的偶极子流势函数流函数目前一百二十九页\总数一百四十六页\编于十八点速度为v∞沿x轴正向的均匀等速流与强度为M沿x轴正向的偶极子流叠加势函数流函数流线零流线目前一百三