2022年辽宁省沈阳市武警中学高一数学理期末试题含解析

2022年辽宁省沈阳市武警中学高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n×1×3×…×（2n﹣1）（n∈N*）时，从n=k（k∈N*）到n=k+1时左边需增乘的代数式是（）A．2k+1 B．2（2k+1） C． D．参考答案：B【考点】RG：数学归纳法．【分析】分别写出n=k和n=k+1时的式子左边，两式相比即可得出增乘的式子．【解答】解：n=k时，左边=（k+1）（k+2）（k+3）…（k+k），当n=k+1时，左边=（k+2）（k+3）…（k+k）（k+k+1）（k+k+2），∴需要增乘的式子为=2（2k+1）．故选：B．【点评】本题考查了数学归纳法，属于基础题．2.已知a＞0，且10=lg(10x)＋lg，则x的值是(

)．(A)．－1

(B)．0

(C)．1

(D)．2

参考答案：B

解析：10=lg(10x)＋lg=lg(10x·)=lg10=1，所以x=0，故选(B)．3.若，则（

）A．

B．C．

D．参考答案：A4.在已知函数（其中）的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.(1)求f(x)的解析式；(2)当时，求的值域．参考答案：（1）（2）[-1，2]试题分析：根据正弦型函数图象特点，先分析出函数的振幅和周期，最低点为,得,周期，则，又函数图象过，代入得，故，又，从而确定，得到，再求其单调增区间．(2)分析，结合正弦函数图象，可知当,即时,取得最大值；当,即时,取得最小值,故的值域为．试题解析：（1）依题意,由最低点为,得,又周期,∴．由点在图象上,得,∴，,．∵，∴,∴．由,，得．∴函数的单调增区间是．(2),∴．当,即时,取得最大值；当,即时,取得最小值,故的值域为．点睛：本题考查了三角函数的图象和性质，重点对求函数解析式，单调性，最值进行考查，属于中档题．解决正弦型函数解析式的问题，一定要熟练掌握求函数周期，半周期的方法及特殊值的应用，特别是求函数的初相时，要注意特殊点的应用及初相的条件，求函数值域要结合正弦函数图象，不要只求两个端点的函数值．5.已知的等比中项为2，则的最小值为（

）A.3 B.4 C.5 D.4参考答案：C【分析】由等比中项得：，目标式子变形为，再利用基本不等式求最小值.【详解】，等号成立当且仅当，原式的最小值为5.【点睛】利用基本不等式求最小值时，注意验证等号成立的条件.6.已知[x]表示不超过实数x的最大整数，x0是方程的根，则[x0]=（

）（A）1

（B）2

（C）3

（D）4参考答案：B7.从装有2个红球和2个白球的的口袋中任取2个球，那么下列事件中，互斥事件的个数是

（

）①至少有1个白球与都是白球；

②至少有1个白球与至少有1个红球；③恰有1个白球与恰有2个红球；

④至少有1个白球与都是红球。A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：C8.设α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若平面α内的直线l垂直于平面β内的任意直线，则α⊥β；②若平面α内的任一直线都平行于平面β，则α∥β；③若平面α垂直于平面β，直线l在平面α内，则l⊥β；④若平面α平行于平面β，直线l在平面α内，则l∥β.其中正确命题的个数是(

)A．4个

B．3个

C．2个

D．1个解析：①②④正确，③错，故选B.参考答案：B9.已知，那么函数的最小值是

A．

B．

C．

D．参考答案：D略10.如图在正三棱锥A-BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE,且BC=1，则正三棱锥A-BCD的体积是（

）参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.的内角A、B、C的对边分别为，若成等比数列，且，则☆

．参考答案：12.已知圆C的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与圆C相交于两点，且，则圆C的方程为

.参考答案：略13.（3分）已知函数f（x）=（x≥0），记y=f﹣1（x）为其反函数，则f﹣1（2）=

．参考答案：4考点： 反函数．专题： 函数的性质及应用．分析： 求出原函数的反函数，然后直接取x=2求得f﹣1（2）．解答： 由y=f（x）=（x≥0），得x=y2（y≥0），x，y互换得，y=x2（x≥0）．∴f﹣1（x）=x2（x≥0）．则f﹣1（2）=22=4．故答案为：4．点评： 求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交换x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域），是基础题．14.若集合是单元素集，则

▲

。参考答案：略15.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，，，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是

．参考答案：90°连接，由于，所以即为所求，，满足勾股定理，故．

16.若x＞0、y＞0，且x＋y＝1，则x·y的最大值为______．参考答案：17.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a,b,c，外接圆半径为1，且满足，

则△ABC面积的最大值为__________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，an+1=Sn（n=1，2，3，…）．（1）证明：数列{}是等比数列；（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）an+1=Sn+1﹣Sn=Sn，整理为=2．即可证明．（2）由（1）得：=2n，即Sn=n?2n．可得bn====﹣，利用裂项求和方法即可得出．【解答】（1）证明：因为，an+1=Sn+1﹣Sn=Sn，所以=2，又a1=2，故数列{}是等比数列，首项为2，公比为2的等比数列．（2）解：由（1）得：=2n，即Sn=n?2n．所以bn====﹣，故数列{bn}的前n项和Tn=++…+=1﹣=．19.（8分）袋中又大小相同的红球和白球各1个，每次任取1个，有放回地摸三次．（Ⅰ）写出所有基本事件‘（Ⅱ）求三次摸到的球恰有两次颜色相同的概率；（Ⅲ）求三次摸到的球至少有1个白球的概率．参考答案：20.设数列{an}的前n项和为Sn，点均在函数y=﹣x+12的图象上．（Ⅰ）写出Sn关于n的函数表达式；（Ⅱ）求证：数列{an}是等差数列；（Ⅲ）求数列{|an|}的前n项的和．参考答案：解（Ⅰ）由题设得，即Sn=n（﹣n+12）=﹣n2+12n．（Ⅱ）当n=1时，an=a1=S1=11；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（﹣n2+12n）﹣（﹣（n﹣1）2+12（n﹣1））=﹣2n+13；由于此时﹣2×1+13=11=a1，从而数列{an}的通项公式是an=﹣2n+13．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，a1，a2，…a6＞0，数列{an}从第7项起均为负数．设数列{|an|}的前n项的和为Tn．当n≤6时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=﹣n2+12n；当n≥7时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a6﹣a7﹣…﹣an=（a1+a2+…+a6）﹣（a7+…+an）=2（a1+a2+…+a6）﹣（a1+a2+…+a6+a7+…+an）=2S6﹣Sn=n2﹣12n+72．所以数列{|an|}的前n项的和为．略21.已知函数f（x）=9x﹣a?3x+1+a2（x∈[0，1]，a∈R），记f（x）的最大值为g（a）．（Ⅰ）求g（a）解析式；（Ⅱ）若对于任意t∈[﹣2，2]，任意a∈R，不等式g（a）≥﹣m2+tm恒成立，求实数m的范围．参考答案：【考点】二次函数的性质．【分析】（Ⅰ）令u=3x∈[1，3]，得到f（x）=h（u）=u2﹣3au+a2，分类讨论即可求出，（Ⅱ）先求出g（a）min=g（）=﹣，再根据题意可得﹣m2+tm≤﹣，利用函数的单调性即可求出．【解答】解：（Ⅰ）令u=3x∈[1，3]，则f（x）=h（u）=u2﹣3au+a2．当≤2即a≤时，g（a）=h（u）min=h（3）=a2﹣9a+9；当＞2即a＞时，g（a）=h（u）min=h（1）=a2﹣3a+1；故g（a）=（Ⅱ）当a≤时，g（a）=a2﹣9a+9，g（a）min=g（）=﹣；当a时，g（a）=a2﹣3a+1，g（a）min=g（）=﹣；因此g（a）min=g（）=﹣；对于任意任意a∈R，不等式g（a）≥﹣m2+tm恒成立等价于﹣m2+tm≤﹣．令h（t）=mt﹣m2，由于h（t）是关于t的一次函数，故对于任意t∈[﹣2，2]都有h（t）≤﹣等价于，即，解得m≤﹣或m≥．【点评】本题考查了二次函