2020-2021学年广东省广州市省实、执信、广雅、二中、六中五校联考高一（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2020-2021学年广东省广州市省实、执信、广雅、二中、六中五校联考高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2+x﹣2＜0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0} D．{0，1}2．（5分）已知复数z满足（z﹣1）i＝1+i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（5分）设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（）A． B． C． D．且4．（5分）在△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝120°，若把△ABC绕直线AB旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．11π B．12π C．13π D．14π5．（5分）已知函数y＝xa，y＝bx，y＝logcx的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a6．（5分）甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60kg，方差为200，乙队体重的平均数为70kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1：4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是（）A．65，280 B．68，280 C．65，296 D．68，2967．（5分）函数f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），且f（x+1）为奇函数，当x＞1时，f（x）＝x2﹣6x+8，则函数f（x）的所有零点之和是（）A．2 B．4 C．6 D．88．（5分）将函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间上是单调增函数，则实数ω的最大值为（）A． B．1 C． D．2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）若a＞b＞0，则下列不等式成立的是（）A． B． C．ac2＞bc2 D．（多选）10．（5分）口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球，从中任取2球，事件A＝“取出的两球同色”，B＝“取出的2球中至少有一个黄球”，C＝“取出的2球中至少有一个白球”，D＝“取出的两球不同色”，E＝“取出的2球中至多有一个白球”，下列判断中正确的是（）A．事件A与D为对立事件 B．事件B与C是互斥事件 C．事件C与E为对立事件 D．事件P（C∪E）＝1（多选）11．（5分）△ABC中，A＝，AB＝AC＝2，则下列结论中正确的是（）A．若G为△ABC的重心，则 B．若P为BC边上的一个动点，则为定值4 C．若M、N为BC边上的两个动点，且的最小值为 D．已知Q是△ABC内部（含边界）一点，若AQ＝1，且，则λ+μ的最大值是1（多选）12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的每个顶点都在球O的球面上，AB＝BC＝2，PA＝PC＝，AB⊥BC，过B作平面ABC的垂线BQ，且BQ＝AB，PQ＝3，P与Q都在平面ABC的同侧，则（）A．三棱锥P﹣ABC的体积为 B．PA⊥AB C．PC∥BQ D．球O的表面积为9π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知θ∈（0，π），sinθ+cosθ＝﹣，则tanθ＝．14．（5分）某办公室团建抽奖，已知5张奖券中只有2张是一等奖，甲先抽1张（不放回），乙再抽1张，则甲中一等奖乙中一等奖的概率为．15．（5分）已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣3|，若对∀x∈R，不等式f（x）≤m恒成立，则实数m的取值范围是．16．（5分）已知正数a，b满足，则a+b的最小值是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知，（1）求A的值；（2）若b＝3，求△ABC外接圆的面积．18．（12分）为响应十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，某市旅游局投入若干经费对全市各旅游景区的环境进行综合治理，并且对各旅游景区收益的增加值做了初步的估计，根据旅游局的治理规划方案，针对各旅游景区在治理后收益的增加值绘制出如下频率分布直方图，由于版式设置不当导致打印时图中横轴的数据丢失，但可以确实横轴是从0开始计数的．（1）利用频率分布直方图估算收益增加值的第90百分位数；（2）利用频率分布直方图估算全市旅游景区收益增加值的平均数和方差s2（以各组的区间中点值代表该组的取值）．19．（12分）在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：（1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．20．（12分）已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数图象上的任意两点，且角φ的终边经过点，当|f（x1）﹣f（x2）|＝4时，|x1﹣x2|的最小值为．（1）求函数f（x）的单调减区间；（2）求函数f（x）在内的值域；（3）若方程3[f（x）]2﹣f（x）+m＝0在内有两个不相等的实数解，求实数m的取值范围．21．（12分）如图，矩形ABCD所在的平面与半圆弧所在的平面垂直，AB＝2，AD＝，M是上异于C，D的动点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）设BM和平面ABCD所成角为θ，求sinθ的最大值．22．（12分）已知f（x）＝x2+x+a2+a，g（x）＝x2﹣x+a2﹣a，且函数f（x）和g（x）的定义域均为R，用M（x）表示f（x），g（x）的较大者，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，（1）若a＝1，试写出M（x）的解析式，并求M（x）的最小值；（2）若函数M（x）的最小值为3，试求实数a的值．

2020-2021学年广东省广州市省实、执信、广雅、二中、六中五校联考高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2+x﹣2＜0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0} D．{0，1}【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{﹣1，0}．故选：C．【点评】本题考查了集合的描述法和列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）已知复数z满足（z﹣1）i＝1+i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算，求出z的坐标得答案．【解答】解：由（z﹣1）i＝1+i，得z﹣1＝，∴z＝2﹣i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（2，﹣1），位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．（5分）设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（）A． B． C． D．且【分析】利用向量共线的充要条件，求已知等式的充要条件，进而可利用命题充要条件的定义得其充分条件【解答】解：⇔⇔与共线且同向⇔且λ＞0，故选：C．【点评】本题主要考查了向量共线的充要条件，命题的充分和必要性，属基础题．4．（5分）在△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝120°，若把△ABC绕直线AB旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．11π B．12π C．13π D．14π【分析】△ABC绕直线AB旋转一周，所形成的几何体是两个底面半径均为以C到AB的距离CO为半径，高之差为AB的圆锥的组合体，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：△ABC绕直线AB旋转一周，所形成的几何体是：两个底面半径均为以C到AB的距离CO为半径，高之差为AB的圆锥的组合体，∵BC＝4，∠ABC＝120°，∴CO＝2，∴几何体的体积V＝＝12π，故选：B．【点评】本题考查的知识点是旋转体的体积和表面积，其中分析出几何体的形状及底面半径和高之差等几何量是解答的关键．5．（5分）已知函数y＝xa，y＝bx，y＝logcx的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a【分析】分别利用幂函数、指数函数、对数函数的性质，结合特殊点，即可判断出a，b，c的大小关系．【解答】解：根据幂函数的性质可知：a＞0，又∵幂函数y＝xa，当x＝2时，y＜2，即2a＜2，∴0＜a＜1，根据指数函数的性质可知：b＞1，又∵指数函数y＝bx，当x＝1时，y＜2，即b＜2，∴1＜b＜2，根据对数函数的性质可知：c＞1，又∵对数函数y＝logcx，当x＝2时，y＜1，即logc2＜1，∴c＞2，故：a＜b＜c，故选：A．【点评】本题主要考查了幂函数、指数函数、对数函数的性质，是基础题．6．（5分）甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60kg，方差为200，乙队体重的平均数为70kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1：4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是（）A．65，280 B．68，280 C．65，296 D．68，296【分析】先求出甲、乙两队队员所有队员中所占权重，然后利用平均数与方差的计算公式求解即可．【解答】解：由题意可知甲队的平均数为60，乙队体重的平均数为70，甲队队员在所有队员中所占权重为，乙队队员在所有队员中所占权重为，则甲、乙两队全部队员的平均体重为，甲、乙两队全部队员体重的方差为＝296．故选：D．【点评】本题考查了特征数的求解，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．7．（5分）函数f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），且f（x+1）为奇函数，当x＞1时，f（x）＝x2﹣6x+8，则函数f（x）的所有零点之和是（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根据题意，分析可得函数f（x）的图象关于（1，0）对称，由函数的解析式求出x＞1时函数的零点，分析可得x＜1时f（x）的零点，相加即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x+1）为奇函数，函数f（x+1）的图象关于（0，0）对称，则函数f（x）的图象关于（1，0）对称，当x＞1时，f（x）＝x2﹣6x+8，此时若f（x）＝x2﹣6x+8＝0，解可得x1＝2，x2＝4，又由函数f（x）的图象关于（1，0）对称，则当x＜1时，f（x）＝0有两解，为x3＝0，x4＝﹣2，则函数f（x）的所有零点之和为2+4+0+（﹣2）＝4；故选：B．【点评】本题考查函数与方程的关系，涉及函数的对称性以及函数的零点，属于基础题．8．（5分）将函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间上是单调增函数，则实数ω的最大值为（）A． B．1 C． D．2【分析】直接利用三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用求出结果．【解答】解：函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）＝sin[ω（x﹣）]的图象，由于x，所以，由于函数g（x）在区间上是单调增函数，所以，故，且，解得ω故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）若a＞b＞0，则下列不等式成立的是（）A． B． C．ac2＞bc2 D．【分析】由不等式的性质逐一判断即可．【解答】解：由a＞b＞0，可得，故A正确；由a＞b＞0，可得a2＞b2，所以＜，故B错误；若c＝0，则ac2＝bc2，故C错误；由a＞b＞0，可得＜，所以﹣＞﹣，所以a﹣＞b﹣，故D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查不等式的基本性质，考查逻辑推理能力，属于基础题．（多选）10．（5分）口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球，从中任取2球，事件A＝“取出的两球同色”，B＝“取出的2球中至少有一个黄球”，C＝“取出的2球中至少有一个白球”，D＝“取出的两球不同色”，E＝“取出的2球中至多有一个白球”，下列判断中正确的是（）A．事件A与D为对立事件 B．事件B与C是互斥事件 C．事件C与E为对立事件 D．事件P（C∪E）＝1【分析】由对立事件与互斥事件的定义及事件的运算依次求解判断即可．【解答】解：∵事件A＝“取出的两球同色”，D＝“取出的两球不同色”，∴件A与D为对立事件，故A对，事件BC＝“取出的2球为一个黄球，一个白球”，故事件B与C不是互斥事件，故B错，事件CE＝“取出的2球有且只有一个白球”，故事件C与E不是对立事件，故C错，事件C∪E为必然事件，故P（C∪E）＝1，故D对，故选：AD．【点评】本题考查了事件的运算及对立事件与互斥事件的定义，属于基础题．（多选）11．（5分）△ABC中，A＝，AB＝AC＝2，则下列结论中正确的是（）A．若G为△ABC的重心，则 B．若P为BC边上的一个动点，则为定值4 C．若M、N为BC边上的两个动点，且的最小值为 D．已知Q是△ABC内部（含边界）一点，若AQ＝1，且，则λ+μ的最大值是1【分析】以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，由重心坐标公式结合向量的数乘与坐标运算判断选项A；设＝t（0≤t≤1），把用含有t的代数式表示即可判断选项B；不妨设M靠近B，|BM|＝x，则0≤x≤，求得M与N的坐标，得到•关于x的函数，利用二次函数求最值即可判断选项C；由向量模的运算及基本不等式即可求解λ+μ的最大值，从而判断选项D．【解答】解：如图，以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系．则A（0，0），B（2，0），C（0，2）．＝（2，0），＝（0，2）．对于A，由重心坐标公式，可得G（，），则＝（，），+＝（，），∴≠+，故A错误；对于B，设＝t（0≤t≤1），则＝+＝+t＝+t（﹣）＝t+（1﹣t），则＝[t+（1﹣t）]•（+）＝t•+t||²+（1﹣t）||²+（1﹣t）•＝4t+4（1﹣t）＝4，故B正确；对于C，不妨设M靠近B，|BM|＝x，则0≤x≤，得M（2﹣x，x），N（2﹣（x+），（x+））＝（1﹣x，1+x）．则•＝（2﹣x，x）（1﹣x，1+x）＝（2﹣x）（1﹣x）+x（1+x）＝x²﹣x+2．当x＝时，•取得最小值为，故C正确；对于D，由＝（2λ，2μ），Q是△ABC内部（含边界）一点，由AQ＝1，可得4λ2+4μ2＝1，即λ2+μ2＝，所以（λ+μ）²＝λ2+μ2+2λμ≤λ2+μ2+λ2+μ2＝，当且仅当λ＝μ＝时等号成立，所以λ+μ≤，则λ+μ的最大值为，故D错误．故选：BC．【点评】本题主要考查平面向量的数乘与坐标运算，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属于难题．（多选）12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的每个顶点都在球O的球面上，AB＝BC＝2，PA＝PC＝，AB⊥BC，过B作平面ABC的垂线BQ，且BQ＝AB，PQ＝3，P与Q都在平面ABC的同侧，则（）A．三棱锥P﹣ABC的体积为 B．PA⊥AB C．PC∥BQ D．球O的表面积为9π【分析】把三棱锥放置在长方体中，画出图形，由棱锥体积公式求三棱锥P﹣ABC的体积判断A；利用勾股定理证明PA⊥AB；由反证法思想说明C错误，求出长方体的外接球的表面积判断D．【解答】解：如图，长方体的高为1，底面是边长为2的正方形，满足AB＝BC＝2，PA＝PC＝，AB⊥BC，三棱锥P﹣ABC的体积为，故A正确；PB＝＝，满足PA2+AB2＝PB2，可得PA⊥AB，故B正确；BQ⊥平面ABC，PD⊥平面ABC，则BQ∥PD，假设PC∥BQ，则PC∥PD，与PD与PC相交于P矛盾，故C错误；三棱锥P﹣ABC的外接球即长方体DG的外接球，设其半径为R，则2R＝，即R＝，可得球O的表面积为，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查几何体的结构特征，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知θ∈（0，π），sinθ+cosθ＝﹣，则tanθ＝﹣．【分析】由sinθ+cosθ＝﹣，平方可由此求得sinθ•cosθ的值，由sinθ•cosθ以及sin2θ+cos2θ＝1可得cosθ和sinθ的值，从而求得tanθ的值．【解答】解：∵sinθ+cosθ＝﹣，…（1），∴两边平方得1+2sinθcosθ＝，∴sinθcosθ＝﹣＜0，又0＜θ＜π，可知：sinθ＞0，cosθ＜0，∴sinθ﹣cosθ＞0，∵（sinθ﹣cosθ）2＝1﹣2sinθcosθ＝1+＝，∴sinθ﹣cosθ＝，…（2）由（1），（2）可得sinθ＝，cosθ＝﹣，∴tanθ＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式的应用以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．14．（5分）某办公室团建抽奖，已知5张奖券中只有2张是一等奖，甲先抽1张（不放回），乙再抽1张，则甲中一等奖乙中一等奖的概率为．【分析】求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可．【解答】解：由题意，设2张一等奖分布为A，B，其余3张为1，2，3，甲先抽1张（不放回），乙再抽1张，分别为：AB，BA，A1，1A，A2，2A，A3，3A，B1，1B，B2，2B，B3，3B，12，21，13，31，23，32，共20种，其中甲先抽1张（不放回），乙再抽1张为AB，BA共两种，故甲中一等奖乙中一等奖的概率P＝．故答案为：．【点评】本题考查了古典概型的概率问题，解题的关键是求出总的基本事件数以及满足条件的基本事件数，属于基础题．15．（5分）已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣3|，若对∀x∈R，不等式f（x）≤m恒成立，则实数m的取值范围是[4，+∞）．【分析】去掉绝对值符号，化简函数f（x）的解析式，结合函数的图象，求解函数的最大值，然后求解m的范围即可．【解答】解：（1）函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣3|＝，作出f（x）的图象如图所示，由图象可得函数f（x）的最大值为4，若对∀x∈R，不等式f（x）≤m恒成立，则m≥4，即实数m的取值范围是[4，+∞）．故答案为：[4，+∞）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，函数恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题．16．（5分）已知正数a，b满足，则a+b的最小值是9．【分析】设a+b＝x，则，然后利用基本不等式的结论，构造关于x的一元二次不等式，求解即可得到a+b的最小值．【解答】解：a＞0，b＞0，则a+b＞0，设a+b＝x，则，由基本不等式的结论可得，，即（x﹣8）≥，即x2﹣8x﹣9≥0，所以x≤﹣1（舍）或x≥9，即a+b≥9，当且仅当b＝2a，即a＝3，b＝6时取等号，所以a+b的最小值为9．故答案为：9．【点评】本题考查了利用基本不等式求解最值问题，解题的关键在于构造，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知，（1）求A的值；（2）若b＝3，求△ABC外接圆的面积．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得tanA＝，结合范围A∈（0，π），可得A的值．（2）由题意可求c的值，根据余弦定理可得a的值，利用正弦定理可求△ABC外接圆的半径，进而根据圆的面积公式即可求解．【解答】解：（1）因为，所以由正弦定理可得，即tanA＝，因为A∈（0，π），所以A＝．（2）因为b＝3，c＝＝2，A＝，所以由余弦定理可得a＝＝＝，所以△ABC外接圆的半径R＝＝＝，可得△ABC外接圆的面积S＝πR2＝．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理以及圆的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．（12分）为响应十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，某市旅游局投入若干经费对全市各旅游景区的环境进行综合治理，并且对各旅游景区收益的增加值做了初步的估计，根据旅游局的治理规划方案，针对各旅游景区在治理后收益的增加值绘制出如下频率分布直方图，由于版式设置不当导致打印时图中横轴的数据丢失，但可以确实横轴是从0开始计数的．（1）利用频率分布直方图估算收益增加值的第90百分位数；（2）利用频率分布直方图估算全市旅游景区收益增加值的平均数和方差s2（以各组的区间中点值代表该组的取值）．【分析】（1）设组距为a，利用频率之和为1，建立关于a的等式，求出a，然后得到横轴的数据，然后利用百分位数的计算方法求解即可；（2）利用频率分布直方图中平均数和方差的计算方法求解即可．【解答】解：（1）设组距为a，则有（0.08+0.10+0.14+0.12+0.04+0.02）×a＝1，解得a＝2，所以横轴的数据依次为0，2，4，6，8，10，12，因为10～12所占频率为2×0.02＝0.04，8～10所占频率为2×0.04＝0.08，故8～12所占频率为0.12＞0.10，故第90百分位数在[8，10]之间，即为10﹣；（2）由频率分布直方图可得，＝（1×0.08+3×0.10+5×0.14+7×0.12+9×0.04+11×0.02）×2＝5；s2＝[（1﹣5）2×0.08+（3﹣5）2×0.10+（5﹣5）2×0.14+（7﹣5）2×0.12+（9﹣5）2×0.04+（11﹣5）2×0.02]×2＝7.04．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用，频率之和为1的应用，频率分布直方图中平均数、方差以及百分位数的求解，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．19．（12分）在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：（1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．【分析】（1）设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，则P（A）＝＝，P（B）＝＝，任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：P（A+）＝P（A）P（）+P（）P（B），由此能求出结果．（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为P（）＝P（）P（）．由此能求出结果【解答】解：（1）设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，则P（A）＝＝，P（B）＝＝，∴任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：P（A+）＝P（A）P（）+P（）P（B）＝+（1﹣）×＝．（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为：P（）＝P（）P（）＝（1﹣）（1﹣）＝．【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20．（12分）已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数图象上的任意两点，且角φ的终边经过点，当|f（x1）﹣f（x2）|＝4时，|x1﹣x2|的最小值为．（1）求函数f（x）的单调减区间；（2）求函数f（x）在内的值域；（3）若方程3[f（x）]2﹣f（x）+m＝0在内有两个不相等的实数解，求实数m的取值范围．【分析】（1）利用三角函数的定义求出φ的值，由当|f（x1）﹣f（x2）|＝4时，|x1﹣x2|的最小值为，求出函数的周期，从而求出ω的值，由此得到函数的解析式，利用整体代换以及正弦函数的单调性求解即可；（2）利用x的范围，求出，利用由正弦函数的性质求解即可；（3）令t＝f（x），则t∈（0，2]，将问题转化为y＝﹣m与y＝3t2﹣t的图象在t∈（0，2]上只有一个交点，利用数形结合法求解即可．【解答】解：（1）由题意，角φ的终边经过点，则有，又，则，因为当|f（x1）﹣f（x2）|＝4时，|x1﹣x2|的最小值为，则，所以ω＝3，故f（x）＝2sin（3x﹣），令，解得，所以函数f（x）的单调减区间为；（2）因为，则，所以故f（x）∈（0，2]，所以函数f（x）在内的值域为（0，2]；（3）由（2）可知，函数f（x）在内的值域为（0，2]，令t＝f（x），则t∈（0，2]，问题转化为方程3t2﹣t+m＝0在（0，2]上仅有一个根或两个相等的根，①当t＝2，即m＝﹣10，此时方程f（x）＝只有一解，②当t∈（0，2），﹣m＝3t2﹣t，则y＝﹣m与y＝3t2﹣t的图象在t∈（0，2）只有一个交点，即方程3[f（x）]2﹣f（x）+m＝0在内有两个不相等的实数解，故当﹣m＝或0≤﹣m＜10图象只有一个交点，故实数m的取值范围为．【点评】本题考查了函数与方程的综合应用，三角函数解析式的求解，三角函数性质的应用以及三角函数值域的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21．（12分）如图，矩形ABCD所在的平面与半圆弧所在的平面垂直，AB＝2，AD＝，M是上异于C，D的动点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）设BM和平面ABCD所成角为θ，求sinθ的最大值．【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证明BC⊥平面CMD，进一步证明DM⊥平面BMC，由面面垂直的判定定理证明即可；（2）过点M作MH⊥CD，交CD于点H，连接HB，MC，由面面垂直的性质定理可得MH⊥平面ABCD，则由线面角的定义，∠MBH为MB与平面ABCD所成角，即∠MBH＝θ，设HC＝x，（0＜x＜2），利用边角关系求出，然后利用换元法