单位分解定理及其应用

单位分解定理及其应用卞震20051773摘要:按照参考文献[2]中的脉络,首先不加证明地列举了流形的若干拓扑性质,然后给出了单位分解定理,并补写了书上省略的部分证明,给出了书上作为练习的推论3.6的证明,最后给出了单位分解定理的两个应用推论4.1和推论4.2(这是参考文献[2]中的练习),由此可以看到单位分解定理在分离性问题中所发挥的巨大作用.关键词:光滑流形单位分解开覆盖1.前言单位分解是微分流形理论中的一个重要的技术性工具,流形上积分的定义,Stokes定理和向量丛上度量的存在性定理的证明等都需要用到单位分解存在性定理,因此它是近代数学中的一个重要工具.2.流形的拓扑性质定义2.1局部紧空间:设是拓扑空间.被称为是局部紧的,倘若对的任意一点和包含该点的任意开集,存在这样的开集:的闭包是紧致的,并且满足条件.紧:如果拓扑空间可以表示成可数个紧致集的并集,那么我们就说是紧的.定理2.2流形是局部紧空间.定理2.3设是第二可数的、局部紧的拓扑空间,则存在可数个开集满足以下条件:(1)是紧致集,(2),(3).特别地,流形是紧的.定理2.4设是一个流形.则对于的任何一个开覆盖,存在的可数个局部坐标卡和开集使得并且满足条件:(1)是局部有限族,;(2),;(3)覆盖.特别地,流形是仿紧的.3.单位分解定理引理3.1设是这样定义的实函数:则引理3.2设是这样定义的函数:其中是引理3.1中的那个函数,则且满足以下条件:引理3.3设是光滑流形,是的任意一点,是的局部坐标卡,和是中的开集,并设则存在满足条件:注3.4设是函数(),我们约定记并把它称为函数的支集.若是紧致的,则称为紧支函数.定义于上的全体紧支函数的集合记为.特别地,全体紧支光滑函数的集合记为.定理3.5(单位分解定理)设是光滑流形,是的任意一个开覆盖,则存在可数个适合条件:(1)(2)是局部有限族:(3)并且证明:取如定理2.4中所述.然后取,适合这样的条件:因为是局部有限族,所以.又因为覆盖了,所以.我们定义下面验证这样的满足定理的要求(参考文献中省略):首先,由和是紧致的可知是紧致的,故其次,由定理2.4知是局部有限族,,和覆盖,则再由可知条件(1),(2)也满足.最后,由的构造方式可知满足条件(3).推论3.6若是紧致微分流形,则任意单位分解必定只有有限个光滑函数.证明:所有的记号如定理3.5所示.因为紧致,所以,的任意一个开覆盖存在有限子覆盖,那么相应的有,和也是的开覆盖,那么重复定理3.5的证明就可得到只有有限个光滑函数的单位分解.推论3.7设是光滑流形,是的非空闭子集,是的开集,.则存在使得.若是紧致集,则还可以要求证明:记,则是M的开覆盖.根据定理3.5,存在从属于的单位分解.我们定义则有.若是紧致集,则存在的开集,它的闭包是紧致的,并且满足条件.以代替,重复上面的讨论,可以得到函数满足这样的条件:.因为是紧致的,所以有4.应用推论4.1设和是微分流形的开子集,.则存在,,使得,,且由.证明:在推论3.7的证明中令开覆盖为,即可.推论4.2设是光滑流形,和是的两个不相交的闭子集.则存在,满足以下要求:证明:在推论3.7的证明中令开覆盖为,,则有,条件满足.注4.3这个推论告诉我们,在光滑流形上可以找到一个光滑函数使得其在任意两个不相交的闭子集上取值分别为0和1,即用一个函数把两个不相交的闭集分离.由此可以看到单位分解定理在分离性问题中所发挥的巨大作用.参考文献:[1]熊金城.点集拓扑讲义(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003.[2]张筑生.微分拓扑新讲[M].北京:北京大学出版社,2002.[3]詹汉生.微分流形导引[M].北京:北京大学出版社,1987.[4]YinheWANG,ZhiyuanLI,SiyingZHANG..Approximationpropertyofpartition