第三章(3)非周期信号的频谱

1、周期信号的频谱2、周期信号频谱的特点3、周期信号的功率谱3.4非周期信号的频谱

前已指出，当周期趋于无限大时，相邻谱线的间隔趋近于无穷小，从而信号的频谱密集成为连续频谱。同时，各频率分量的幅度也都趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍保持一定的比例关系。

为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。

令称

为频谱密度函数。一、傅里叶变换.当周期

趋近于无限大时，

趋近于无穷小，取其为

，而

将趋近于

，

是变量，当

时，它是离散值，当

趋近于无限小时，它就成为连续变量，取为

，求和符号改为积分。

由式

，

可得如何求频谱密度函数？于是当

时，式成为（1）式称为函数

的傅里叶变换

。（2）式称为函数

的傅里叶逆变换。

称为

的频谱密度函数或频谱函数.

称为

的原函数。

简记为

ℱ

与周期信号的傅里叶级数相类似，在f(t)是实函数时，

F(ω)、φ(ω)与R(ω)、

X(ω)相互之间存在下列关系：

是

的偶函数。是

的奇函数。

在f(t)是实函数时：

(1)若f(t)为t的偶函数，即f(t)=f(-t)，则f(t)的频谱函数F(jω)为ω的实函数，

且为ω的偶函数。

(2)若f(t)为t的奇函数，即f(-t)=-f(t)，则f(t)的频谱函数F(jω)为ω的虚函数，且为ω的奇函数。

与周期信号类似，也可将非周期信号的傅里叶变换表示式改写成三角函数的形式，即

结论：上式表明，非周期信号可看作是由不同频率的余弦“分量”所组成，它包含了频率从零到无限大的一切频率“分量”。由式可见，

相当于各“分量”的振幅，它是无穷小量。

所以信号的频谱不能再用幅度表示，而改用密度函数来表示。类似于物质的密度是单位体积的质量，函数

可看作是单位频率的振幅，称

为频谱密度函数。例3.4-1下图所示为门函数（或称矩形脉冲），用符号

表示，其宽度为

，幅度为

。求其频谱函数。0二、典型信号的傅里叶变换解：

如图所示的门函数可表示为其频谱函数为图

3.4-1门函数及其频谱一般而言，信号的频谱函数需要用幅度谱

和相位谱

两个图形才能将它完全表示出来。但如果频谱函数是实函数或虚函数，那么只用一条曲线即可。

为负代表相位为

，

为正代表相位为

。00实偶实偶由图可见，第一个零值的角频率为

（频率

）。

当脉冲宽度减小时，第一个零值频率也相应增高。对于矩形脉冲，常取从零频率到第一个零值频率

之间的频段为信号的频带宽度。

这样，门函数的带宽

，脉冲宽度越窄，其占有的频带越宽。0(时域越窄,频域越宽)例3.4-2求下图所示的单边指数函数的频谱函数.0t图

3.4-2单边指数函数解:将单边指数函数的表示式

代入到式

中得：这是一复函数,将它分为模和相角两部分：幅度谱和相位谱分别为：频谱图如下图所示：()0-/2/2(b)相位频谱图

3.4-3单边指数函数01/(a)振幅频谱例

3.4-3求下图所示双边指数信号的频谱函数。

et10tf1(t)e-t解：上图所示的信号可表示为：或者写为将

代入到式

，可得其频谱函数为：其频谱图如下所示

：F1(j)02/实偶实偶et10tf1(t)e-t例3.4-4求下图所示信号的频谱函数。-et10tf2(t)e-t-1解:上图所示的信号可写为

：（其中

)-et10tf2(t)e-t-1其频谱图如下图所示：X2()01/-1/实奇虚奇-et10tf2(t)e-t-1例3.4-5求冲激函数的频谱

ℱ即单位冲激函数的频谱是常数

，如下图所示。其频谱密度在区间

处处相等，常称为“均匀谱”或“白色频谱”。

0t

(t)01F(j)(a)(b)图

3.4-6单位冲激函数的频谱冲激函数一阶导数的频谱函数为

：ℱ按冲激函数导数的定义

：可知即

ℱ同理可得ℱ例3.4-6求单位直流信号的频谱显然，该信号不满足绝对可积条件，但其傅里叶变换却存在。它可以看作是函数

当

时的极限

。则直流信号的频谱函数也应是

的频谱函数

当

时的极限。

0et1tf1(t)e-t所以

即

ℱ当

趋近于零时我们已经知道

的频谱函数为：f1(t)0t1234(a)432102

()(b)图3.4-7求

[1]的极限过程ℱ02

()(b)0t1(a)图

3.4-8直流信号的频谱例3.4-7

求符号函数的频谱符号函数定义为显然,该函数也不满足绝对可积条件。函数可看作函数：当时的极限。则它的频谱函数也是

的频谱函数

，当

时的极限。

我们已知

的频谱函数为：它是

的奇函数，在

处

。

因此，当

趋近于零时，有

：于是得ℱ它在

处的值等于零。0tSgn(t)1-1(a)X()0(b)

图

3.4-9sgn(t)及其频谱例3.4-8求阶跃函数的频谱

对上式两边进行傅里叶变换，得

:ℱℱℱℱ

图

3.5-11(t)及其频谱0

()R()X()0R()

()-1/X()0-1/1/20t10t1/20t-1/