上海市市东中学高三数学理期末试卷含解析

上海市市东中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，若是的导函数，则函数在原点附近的图象大致是（

）

A

B

C

D参考答案：A2.已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为，这两条曲线在第一象限的交点为,是以为底边的等腰三角形。若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：知识点：椭圆双曲线H5H6B解析：设椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，则，所以，又由三角形性质知2c+2c＞10，由已知2c＜10,c＜5,所以5＞,1＜，，所以，则选B.【思路点拨】遇到圆锥曲线上的点与其焦点关系时通常利用其定义进行转化求解.3.已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A． B． C． D．参考答案：A考点：球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：压轴题．分析：先确定点S到面ABC的距离，再求棱锥的体积即可．解答：解：∵△ABC是边长为1的正三角形，∴△ABC的外接圆的半径∵点O到面ABC的距离，SC为球O的直径∴点S到面ABC的距离为∴棱锥的体积为故选A．点评：本题考查棱锥的体积，考查球内角多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．4.设集合，则M∩N的所有子集个数为（

）A．3

B．4

C．7

D．8参考答案：B5.已知为正实数,则A.

B.

C.

D.参考答案：D略6.已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数y=f′（x）．当x≠0时，f′（x）+＞0．若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a、b、c的大小关系是(

)A．a＜b＜C B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b参考答案：D【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】根据式子得出F（x）=xf（x）为R上的偶函数，利用f′（x）+＞0．当x＞0时，x?f′（x）+f（x）＞0，当x＜0时，x?f′（x）+f（x）＜0，判断单调性即可证明a，b，c的大小．【解答】解：∵定义域为R的奇函数y=f（x），∴F（x）=xf（x）为R上的偶函数，F′（x）=f（x）+xf′（x）∵当x≠0时，f′（x）+＞0．∴当x＞0时，x?f′（x）+f（x）＞0，当x＜0时，x?f′（x）+f（x）＜0，即F（x）在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减．F（）=a=f（）=F（ln），F（﹣2）=b=﹣2f（﹣2）=F（2），F（ln）=c=（ln）f（ln）=F（ln2），∵ln＜ln2＜2，∴F（ln）＜F（ln2）＜F（2）．即a＜c＜b故选：D【点评】本题考查了导数在函数单调性的运用，根据给出的式子，得出需要的函数，运用导数判断即可，属于中档题．7.在等差数列{an}中，a1+3a8+a15=60，则2a﹣a10的值为（）A．6 B．8 C．12 D．13参考答案：C【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知条件利用等差数列的通项公式求解．【解答】解：在等差数列{an}中，∵a1+3a8+a15=60，∴a1+3（a1+7d）+a1+14d=5（a1+7d）=60，∴a1+7d=12，2a﹣a10=2（a1+8d）﹣（a1+9d）=a1+7d=12．故选：C．8.焦点在x轴上的椭圆方程为+=1（a＞b＞0），短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的性质AB=2c，AC=AB=a，OC=b，根据三角形面积相等求得a和c的关系，由e=，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：由椭圆的性质可知：AB=2c，AC=AB=a，OC=b，SABC=AB?OC=?2c?b=bc，SABC=（a+a+2c）?r=?（2a+2c）×=，∴=bc，a=2c，由e==，故答案选：C．9.已知集合，，则(

)A、{｜0＜＜}B、{｜＜＜1}C、{｜0＜＜1}D、{｜1＜＜2}参考答案：【知识点】集合A1【答案解析】B解析：解：由题意可求出，所以B正确.【思路点拨】分别求出集合的取值，再求交集.10.若全集U=｛x∈R|x2≤4}

A=｛x∈R||x+1|≤1}的补集CuA为A|x∈R|0＜x＜2|

B

|x∈R|0≤x＜2|C|x∈R|0＜x≤2|

D

|x∈R|0≤x≤2|

参考答案：C全集,，所以,选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则________.参考答案：【命题意图】本小题主要考查三角函数的定义、三角恒等变等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等；考查逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算等．【试题简析】解法一：由已知可得，所以.解法二：由已知可得，所以.【变式题源】（2015全国卷Ⅰ·理5）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=（A）

（B）

（C）

（D）12.如图，在梯形ABCD，，，，，且，则的值为______.参考答案：【分析】将转化为用来表示，解方程求得的值.【详解】依题意,，解得.

13.函数f（x）=lg（x2﹣ax﹣1）在区间（1，+∞）上为单调增函数，则a的取值范围是

．参考答案：a≤0【考点】复合函数的单调性．【专题】计算题．【分析】利用复合函数的单调性遵循的规律：同增异减判断出t的单调性；对数的真数大于0得到不等式恒成立；利用二次函数的单调性与对称轴有关及不等式恒成立转化为最值问题．【解答】解：令t=x2﹣ax﹣1则y=lgt∵y=lgt在（0，+∞）递增又∵函数f（x）=lg（x2﹣ax﹣1）在区间（1，+∞）上为单调增函数，∴t=x2﹣ax﹣1在区间（1，+∞）上为单调增函数，且

x2﹣ax﹣1＞0在（1，+∞）恒成立所以≤1且1﹣a﹣1≥0解得a≤0故答案为a≤0【点评】本题考查复合函数的单调性遵循的规律：同增异减、考查二次函数的单调性与对称轴有关、考查不等式恒成立转化为函数最值的范围．14.函数的单调递减区间是________．参考答案：略15.设A=37+C7235+C7433+C763，B=C7136+C7334+C7532+1，则A﹣B=．参考答案：128【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题；二项式定理．【分析】作差，利用二项式定理，即可得出结论．【解答】解：∵A=37+C7235+C7433+C763，B=C7136+C7334+C7532+1，∴A﹣B=37﹣C7136+C7235﹣C7334+C7433﹣C7532+C763﹣1=（3﹣1）7=128．故答案为：128．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．16.函数f（x）=sinxcosx+cos2x的减区间是．参考答案：

【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x+）+．结合正弦函数图象的性质来求其单调减区间．【解答】解：f（x）=sinxcosx+cos2x=sin2x+（1+cos2x）=sin（2x+）+．所以2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z．所以函数f（x）=sinxcosx+cos2x的减区间是kπ+≤x≤kπ+，k∈Z．故答案是：．【点评】本题考查二倍角公式，涉及三角函数的单调性，属基础题．17.从一堆苹果中任取了20只，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下：分组频数12310

1则这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的

％．参考答案：答案：70解析：由表中可知这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数为:故约占苹果总数的.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.[选修4-4：坐标系与参数方程]已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|?|PB|=1，求实数m的值．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，利用可得直角坐标方程．直线L的参数方程是（t为参数），把t=2y代入+m消去参数t即可得出．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为：+m2﹣2m=0，由△＞0，得﹣1＜m＜3．利用|PA|?|PB|=t1t2，即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x．直线L的参数方程是（t为参数），消去参数t可得．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为：+m2﹣2m=0，由△＞0，解得﹣1＜m＜3．∴t1t2=m2﹣2m．∵|PA|?|PB|=1=|t1t2|，∴m2﹣2m=±1，解得，1．又满足△＞0．∴实数m=1，1．19.(14分)

已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、(，0)．

(1)若，求的值；(2)若，求sin∠A的值．参考答案：解析：(1),由

，即-3(c-3)+(-4)2=0。有c=(2)当c=5时，进而20.已知函数，。

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数在[1，+∞）上单调递增，求实数的取值范围；

（3）记函数，若的最小值是－6，求函数的解析式。参考答案：（1）若，则函数（），所以（）令，得，解得，令，得，解得，所以当时，函数的单调递增区间为（，），单调递减区间为（0，）。（2）若在[1，+∞）上单调递增，则，，

即，，也即，。

令（），则，

所以在[1，+∞）上单调递减，从而，因此。（3）因为，所以（）。

当时，，在（0，+∞）上单调递增，无最小值；

当时，令，得，

令，得，令，得。

所以在（0，）单调递减，在（，+）单调递增。

所以。

由已知，的最小值是-6，所以，，两边平方得，，即，解得。因此函数=。21.（本题满分14分）（原创题）已知数列、满足：，，

（Ⅰ）求（Ⅱ）求使成立的正整数的集合.参考答案：解：（1）---------，------------------------

0.70（2），由得即-----------------------------------------当为奇数时，，即得-------当为偶数时，，即得-------所以正整数的集合为-------------------------

0.6022.已知函数（I）求f（x）的单调区间；（II）对任意的，恒有，求正实数λ的取值范围．参考答案：考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（I）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），再对字母a分类讨论，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间．（II）根据第一问的单调性，知f（x）在[1，2]上为减函数．若x1=x2，则原不等式恒成立；若x1≠x2，不妨设1≤x1＜x2≤2，则f（x1）＞f（x2），，所以原不等式进行化简整理得f（x1）﹣≤f（x2）﹣对任意的，恒成立，令g（x）=f（x）﹣，转化成研究g（x）在[1，2]的单调性，再利用导数即可求出正实数λ的取值范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x﹣（2a+2）+=（x＞0）令f′（x）=0，得x1=2a+1，x2=1

…（1分）①a=0时，f′（x）=，所以f（x）增区间是（0，+∞）；②a＞0时，2a+1＞1，所以f（x）增区间是（0，1）与（2a+1，+∞），减区间是（1，2a+1）③﹣＜a＜0时，0＜2a+1＜1，所以f（x）增区间是