工程力学资料-工程力学教案

方程力奖

教案

授课专业：汽车工程

授课教师：

授课教师：2011年10月

授课教案

课程名称：工程力学基础宵品制日期：

授课日期第周星期第周星期第周星期第周星期

班级

章节及课题：

§0绪论

§1.1共点力系的合成

§1.2共点力系作用下质点的平衡

§1.3平衡问题的解法

教学目的：

1、掌握力的基本性质和表示方法；

2、掌握共点力系的合成、平衡条件等的图解法和解析法

装3、掌握静力学中集中常见约束的特征。

重点与难点：

静力学中集中常见约束的特征

教具准备：

订教学内容及教学过程

学习静力学和材料力学的意义

二、注意讲清几个概念：

1、力学：研究机械运动的科学；

机械运动:物体在空间的位置随时间的变化，包括变形和流动；

静力学:研究物体平衡的一般规律；

线

平衡:物体对惯性参考系保持静止，或作匀速直线运动；

静力学的研究对象:质点、质点系、刚体（实际物体经过抽象或理想化后的物理模型）。

2、力的性质

1）力的概念：相互机械作用，其结果为：运动状态发生改变（外效应）或变形（内

效应）。

b）力的三要素（大小、方向、作用点）：用力矢表示巨。力的表示方法：

‘固定矢量:需要作用点

*滑移矢量:需要作用线

自由矢量:作用线和作用点都不需要

教师:专业主任:

I

a）力系的概念：（耳，艮，……，耳）

b）等效力系：作用在同一刚体而效应相同的力系

c）平衡力系：保持平衡状态的力系

d）力的合成与分解

合力：一个力与某力系等效

分力：某力系与一个力等效

§1质点的平衡

☆共点力系的合成

☆共点力系的平衡条件

☆平衡问题的解决方法

§1.1共点力系的合成

一、共点力系合成的几何法（矢量法）

1、力的平行四边形法则

2、力的三角形法则

3、力的多变形法则

从力的平行四边形法则入手，演化为理三角形，演化为力多边形。

结论:共点力系可合成为一个力，其作用点为公共作用点，合力的力矢由力的多变形的封闭

边表示。

%=耳+居+……+F”=£F,

为书写方便，可简写为

上式为矢量式，也可以使用代数式，注意+、一的意义。前者表示与假设的正方向一致，后

者表示与假设的正方向相反，而不是错误。

二、共点力系合成的解析法（投影法）

几何法的缺陷是什么？

一般按照两个（X、Y）方向或三个方向（X、Y、Z）投影。

质点A上作用有一共点力系（E，E，……，及），并设如图所示的坐标系，有：

FRX=EFX

FR'H-

F

FRZ=EZ.

合力的大小和方向为：

222

FR阜+琨=7（ZFx）+（^Fy）+（^Fz）

第一节共点力系作用下质点的平衡

一、共点力系作用下质点平衡的几何条件

卫田=。

共点力系作用下质点平衡的几何条件：力多变形自行封闭是共点力系作用下平衡的几何条

件。

注意用图示的方法给于说明。

二、共点力系作用下质点平衡的解析条件

共点力系作用下质点平衡的充要条件：FR=0

解析式的表示方法：

FR=&EF,y+（£F'）"£Fj2=0

工=。

K=。

£=0

以上为三个这个正交轴方向的投影的解析式，如果为两个正交轴的投影则去掉Z即可。

第二节平衡问题的解法

一、约束与约束力

1、几个概念

自由体

非自由体（受约束体）

约束：限制条件

约束力：与约束相关f约束与非自由体接触，相互作用产生作用力。

主动力

2、几种常见的约束

a）柔绳

只能承受拉力，注意约束力的特点

b）光滑支承面

约束力的方向：沿接触点的公法线而指向被约束的物体，如图1-5。

c）光滑圆柱较链

（1）固定较链支座（图1-6）

（2）连接较链（中间较）（图1-7）

（3）径向轴承（图1-8）

（4）活动被链支座（图1-9）

d）光滑球较链

（1）球被（图1-10）

（2）止推轴承（图1-11）

e）二力构件

二力构件（二力杆）的概念；

二力构件平衡的条件:刚体在二力作用下平衡的必要充分条件是此而力等值、反向、

共线。

二力构件约束力的特点：必定共线，方向可以任意假定.

二力构件的实际约束形势是多种多样的，注意区分。

例题1、教材P10;

例题2、如下图，构件AC为二力杆吗？

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章节及课题：

续§1.3平衡问题的解法

教学目的：

1、学会受力分析图的正确画法；

2、熟练运用掌握平衡问题解法中的图解法和解析法。

重点与难点：

受力分析图的绘制

教具准备：

教学内容及教学过程

§1.3平衡问题的解法

一、约束与约束力

二、受力图

1、分离体、受力图

•分离体：把研究对象从与他们联系的周围物体中分离出来，得到解除了

约束的物体。

•受力图：表示分离体及其上所受的全部主动力和约束力的图形。

2、受力分析是解决静力学和动力学问题的关键。绘制受力图的步骤：

a）选定研究对象，并单独画出其分离体图；

b）在分离体上画出所有作用于其上的主动力（一般为已知力）；

C）在分离体的每一处约束处，根据约束的特征画出其约束力。

3、注意事项：a）必须明确研究对象。根据求解需要，可以取单个物体为

研究对象，夜可以取由儿个物体组成的系统为研究对象。不同的研究对

象的受力图是不同的。

教师:专业主任:

b）争取确定研究对象的受力数目。由于力是物体之间相互的机械作用，

因此，对每一个力都应明确它是哪一个施力物体施加给研究对象的，绝

不能凭空产生。同时，也不可漏掉一个力。一般可先画出已知的主动力，

再画约束力；凡是研究对象与外界接触的地方，都一定存在约束力。

c）正确画出约束力力。一个物体住往同时受到儿个约束的作用，这时应

分别根指每个约束本身的特性来确定其约束力的方向.而不能凭主观臆

测。

d）当分析两物体间相互的作用力时，应遵循作用、反作用关系。若作用

力的方向一经假定，则反作用力的方向应与之相反。当画某个系统的受

力图时由于内力成对出现，组成平衡力系。因此不必画出.只需画出全

部外力。

4、受力图应用举例

1）、如下左图所示，画出AB杆的受力分析，结果如下右图。

A

2）、P12、例题1~2

受力分析图的绘制

（l）^先画出整体的构件的受力图；

（2）、分别画出个构件的受力图

——备注：在画整体和局部构件的受力图时，要注意局部和整体之间约束力

的协调，即作用力和反作用力（大小相等，方向相反）问题。

三、平衡问题的解法

一•般步骤:

1、根据问题的需要，选定研究对象并画出其分离体;

2、划出分离体的受力图；

3、根据分离体受力的类型，列出分离体的平衡方程;

4、解出未知量，用有效方法检验结果。

举例：

例题1、如入所示的机构，求绳索AC和BC的拉力。

A一____________B_\

□

V

备注：请同学们认真看

解：一下教材中的解题思

1、选取结点c为研究对象，画出其分离体图；路，在课堂上着重解决

2、画出结点C的受力图；思路及解法问题。

3、立方程及求解

「1、几何法

’2、解析法

4、验证（验证的重要性，特别是在工程上的实际意义）

例题2、如图所示的构件，已知P=1000N,求

（1）、保持如图所示位置平衡所需的力F的大小；

（2）、保持图示位置所需要的作用于C点的最小力的大小和方向。

解：

1、解决第个问题的关键在于分析题意

为简化解题，可将杆件DC、CB、BA视为二力杆，为什么？在什么条件下可以这样做?

B、C点为汇交力系，这两个汇交力系通过二力杆BC联系，故有

销钉B销车TC

取+%+户=0

矢量方程FDRDR+FARD+P=0

大小XXVJxx

方向JJJVVV

借助上面的分析，利用销钉B求出瓦；，利用销钉C求出晨，由于跖+口=0,故可以

求出F。

可以使用解析法和图解法，此处使用图解法求解，如图所示，可以非常方便求出结果。

2、求最小力F的大小和方向

思考：在什么情况下，力F才能够为最小？

思路：

1、保持二力杆的受力大小和方向保持不变；

2、保持CD杆的受力方向保持不变？

矢量方程区+鼠+巨=0

大小VXX

方向VVX

从上表中可以看到，该方程是不能够得出解的。根据巨要保持最小，则只有口，瓦，故可

山矢量图直接得出F的方向，故可以求出F。

课堂作业：P16广4

作业：7、8、11

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章节及课题：

§2刚体的平衡

§2.1力偶系

§2.2力偶系作用下刚体的平衡

教学目的：

1、熟练地计算力对点的矩，理解合力矩定理的意义，并能在计算中应用；

2、掌握力偶的基本性质；

3、理解力矩的基本性质，弄清力矩和力偶矩的区别。

装重点与难点：

1、力对点之矩矢的基本性质

教具准备：

订教学内容及教学过程

§2刚体的平衡

§2.1力偶系

几个概念：通过举例的办法引入力偶在实际生产和生活中的应用，1、工厂的钳工套丝、攻

丝；2、汽车驾驶时方向盘的操控……

力偶

力偶作用面

力偶臂

线力偶系

-、力对点的矩矢

1、概念

•（如右图所示）转动效应取决于：1、转动的效应的强度取决于力的大小F和力臂

h的乘积Fh；2、转轴的方位由右手定则确定；3、转向

•上述要素可以使用一个矢量来表示，即力对点的矩矢，Mo（F）

2、力对点的矩矢的矢量积表示式和解析式

（1）力对点的矩矢的矢量积表示式

•矢量积的模

|rxF|=rFcosa-Fh请同学们复习一下有关矢量代数的知识。

•矢量表示式Mo(F)=rxF

教师:专业主任:

（2）力对点的矩矢的解析表示式

F=Fj+FJ+Ek

r-xi+yj+zk

力对点O的矩矢为

Mo(F)=rxF=(xi+yi+zi)x(Fj+F)+FA)

ijk

Z

xyz=(yF:-FV)7+(ZFx-xF:)'j+(xFy-yFx)k

FxxFyAFz

力对点的矩矢在坐标轴的投影式:

［而。（7）］=优-

［Mo（F）^=zFx-xFy>

［而。3）］=*.-）%

3、对点的矩矢的基本性

•基本性质：作用于物体上的二力对物体产生任一点的转动

效应，应用该点的一个矩矢来度量，这个矩矢等于二力分

别对该点的矩矢的矢量和。

即Mo=MO（F\）+MO（F\）

——几何意义见右图

•对于力系（元，凡了3……瓦），则有

M”=M"W）+M“（K）+……（工）=Z〃“（F）

4、力矩定理

・■■■>一-一-........

FR为力系(F\,F2,F3……尸")的合力，则有(尸R)=M°(H)+M°(")+……M°(F“)

/.讥（耳）=工而。优）即力系合力对任一点的矩矢，等于诸力对同一点力的矩矢的

矢量和,称之为合力矩定理。

上一述问题如果为平面问题，则可以转化为代数问题，即力系中各力的作用线在同一平面内

而“（耳）=z而。（可。

二、力对轴的矩

1、概念

在研究力对刚体所产生的绕某轴转动的

效应，则涉及到此方面的问题，如开门

和关门等。

如P27图2—7的转动曲轴，可以将空间

任意力7分解为百、立2,其中前者平行于Z轴，后者垂直于Z,只有后者才能产生转动

效应，前者是不会产生转动效应的。这个转动效应可以有了2对点A的矩而^齐2)来度量,

并称之为力F对轴Oz之矩，记作而z(7),即MZ(F)=MA(E)—|力对轴之矩等于加

垂直于该轴平面上的投影对该轴与平面交点之蛔。[为代数式，不是矢量式，注意与力对点

子矩的区别]

2、力对坐标轴之矩

如图所示，根据力对坐标的矩矢，可以得出以下表达式：

M,(不)=M。(R*,)=M0(F.v)+M0(Fv)=-yFx+xFy

3、力对点之矩与力对轴之矩的关系

—.―.、

Mx(a=yB-ZF,

[MO(F)]X=MX(F)

[MO(F)]V=MV(F).o<My(F)=zFx-x^

[M。行)[=M：厅)

Mz(F)=xFy-yR

大家注意，将此式与力对点

之矩在坐标轴上的投影式的

比较，二者完全一致。

三、力偶矩矢

如图所示，有

M=Mo(F)+Mo(F')

,——•■■—•■>—*■»—•■■—•—♦■■—•■■

M-TAXF+rexF'-TAXF-TBxF-(rA-F-TBAXF

从上述式子中可以看出，力偶矩矢与。点的位置无关，因此力偶矩矢是自由矢量。

•矢量式：|M|=|J-xF|=Fd

•解析式M=Mxi+Myj+Mzk

四、力偶的等效条件和性质

1、力偶的等效条件

条件：力偶矩矢相等。

2力偶的性质

性质一力偶不能与一个力等效（即力偶无合力，|力偶对刚体只产生转动效应，而力对刚

体产生平移或移动效应，显然二者作用效应不同，不能互相平衡，即力偶只能由力偶来平

窗|）,因此也不能与一个力平衡。Mi

性质二力偶可在作用面内任意转

动，或平移到另一平行平面，而不改

变对刚体的作用效应。.

性质三保持力偶的转向和力偶矩的\

大小不变，力偶中的力和力臂的大小落

可以改变，而不会改变对刚体的作用|

效应。|\

五、力偶系的合成'

如图所示，讲清力偶合成的思路,

］拓一（元］；）.（八,广3）

［而2—（无尸、）一（瓦，取*＞）

其作用效果完全等效，根据力偶矩的定义,有

M=「BAXF

=rBAx(Fi+/4)

=fBAx/3+rBAxFi,

-Mi+M2

可见，两个力偶合成的结果得到一个合力偶，合力偶的力偶矩矢的等于此二力偶的力偶矩

矢的矢量和。

同样可将上述结论推而广之，可以得到力偶系的合成结论，即

矢量式：而=而|+而2+……+而而

222

MR=7（ZMx）+（XMy）+（^Mz）

解析式：

—TYMXVMv--VMk

cos（MR,i）=i-,cos（MR,j）=——-~-,cos（MR,k）——

lMRMRMR

§2.1力偶系作用下刚体的平衡

z展0

1、矢量式-

M

M

EX

M==0

2、解析式6y

M

Z=(

3、应用举例P28~30例题2-1、2-2

解决此类问题的关键在于利用力偶的性质：力偶只能由力偶平衡，从而简化受力分析

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章节及课题：

§2.3空间任意力系的简化

教学目的：

掌握力系简化的方法及其意义。

装重点与难点：

力系简化的方法

教具准备：

订教学内容及教学过程

§2.3空间任意力系的简化

[[空间任意力系

空间力系”间汇交力系

,‘空间平行力系

力系《

平面汇交力系

平面力系p面平行力系

线|平面任意力系

一、力的平移

1、力沿作用线的移动

•力的可传性：作用于刚体上某一点的力，可沿作用线移至刚体上任一点，而

不改变对刚体的作用效应。

•增减平衡力系原理：在刚体上增减一组平衡力系，不会改变原力系对刚体的

作用效应。

根据增减平衡力系原理，可以直接推导出力的可传性。（见下页）

•滑移矢量：作用于刚体上的力的三要素是力的大小、方向和作用线。这种力

是滑移矢量。

教师：专业主任:

如左图所示，在力巨作用线上取一点B,使干=-巧=巨，则在刚体上

加上评P’后对其作用效果是等效的。由于巨=-巧，故可以将二力去

掉，只剩下百，巨=#，故相当于把巨从A点移到了B点，而并未改变

作用效果。.......如果不是刚体，能够传递吗？

2、力的平移

作用于刚体上的力如果平移到作为线以外怎么办？如何保持对刚体的作用效果不变

呢？

附加力偶：M^rABxF

力的平移原理：作用于刚体上任一点的力可以平移到刚体上任一点而不改变对刚体的作用

效应，但需增加一附加力偶，附加力偶的力偶矩矢等于原力对新作用点之矩矢。

二、空间任意力系向一点简化

空间汇交力系一了二

力对点之矩fMo

通过简化中心0的合力F'R

空间任意力系可以合成为

力偶系可以合成为一个合力偶M

।主矢户R=Z户=疔

［主矩而。=。国）

主矢

PRUEITT

'F'=£F,

・卜一=ZG尸R=J（"）2+（XK）2+（Z号A

小心=卜

方位角：此处从略

•主矩

沅,=z而=工沅,（乃

此,=［2而“（斤）1、=Z％"）

"M”=0而。（乃】,.二Z/（R）M.=J（ZM"））2+（Z%（7））2+（-/5））2

此"0沅"）］:=!>"）

方位角：此处从略

结论：空间任意力系向一点简化可得一个合力和一个力偶。这个力通过简化中心，其力矢

称为力系的主矢，它等于力系诸力的矢量和，并与简化中心的选择无关；这个力偶的力偶

矩矢称为力系对简化中心的主矩，它等于力系诸力对简化中心之矩的矢量和，并与简化中

心的选取有关。

三、空间任意力系简化的最后结果

1、力系简化为合力偶

当力系的简化出现了r=0,而。*0,空间力系最后简化为•合力偶，合力偶矩矢

等于对简化中心的主矢。由于力偶矩矢为自由矢量，故在此种情况下，力系的简化与简

化中心的选择无关。

2、力系简化为合力

1）当*0,而。=0时，力系简化为通过简化中心O的合力，合力矢等于力系

的主矢。

2）当了［WO,而owO,且77,而。时，力系可进一步简化—简化为离原简

化中心一定距离（d=i）的合力FR,简化过程见下图：

F'.

3、力系简化为力螺旋

当户RHO,而。工0,小R不垂直于防。时，力系可进一步简化。

简化过程见下图：

路，可以得出：而“1和斤’R共线一称之为力螺旋。

决定力螺旋的三要素：而“、立二和中心轴位置矢径石

—FRMFRcos(pFR(耘/3)FR

Mo\=Mncos6?——=——----------

FRF；~FF

Msin(pFRXM,FRXM0

00'=o

推导过程的理解参见高等数学有关知识。

4、力系平衡

%=0空间任意力系作用下刚体处于平衡的充要条件。

Mo=0

例题：教材P35例2-3水坝问题，如右图

所示。

［解］选定单位长度的坝体为研究对象。

选图示坐标系，以O为简化中心，将此分

布的平面平行力系向O点简化。

dF=pgydy

主矢巨R的投影为：

力系对O点的主矩近的三个投影为

M”=0

«M°y=0

M°Z=fypgydy=!pgh'

I£3

由于主矢户R=£与而°=M>z相垂直，可知力系进一步简化为合力巨R,合力矢巨R为

FR=FR=FRX

0点至合力作用线的距离为00,为

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章节及课题：

§2.4各类力作用下刚体的平衡

教学目的：

掌握刚体平衡解析的步骤和方法。

装重点与难点：

根据研究对象，灵活利用平衡方程的不同形式。

教具准备：

订教学内容及教学过程

§2.4各类力作用下刚体的平衡

•二力平衡定理：刚体在二力作用下平衡的必要充分条件是二力等值、反向、共线。

•三力平衡汇交定理：当刚体在同一平面内作用线互不平行的三个力作用下平衡时，这

三个力的作用线必汇交于一点.

线

三力平衡汇交定理的证明：如上图所示，即可比较方便地证明此定理，证明过程略。

教师:专业主任:

一、空间任意力系作用下刚体的平衡条件

立=0

匕=。

力=。

£MV（F）=O

X〃"）=o

二、其他力系作用下刚体的平衡条件

•平工面…汇交力系作用下刚体的平衡条件

XFy=°.

•空间力偶系作用下刚体的平衡条件

IX"）=0'

X〃、"）=o>

X%行）=0

•平面力偶系作用下刚体的平衡条件

£M=o

•空间平行力系作用下刚体的平衡条件

2>，行）=°

£MV（F）=O>

》=。,

•平面平行力系作用下刚体的

平衡条件

y

■基本式

1>。（乃=0

加=。.

■二力矩式

X

0

>

£例〃）=0.

•平面任意力系作用下刚体的平衡条件

z基

z=0

SF.=0

=0

■二力矩式

Z工=0'

（A、B连线不垂直于Ox轴）

Z储行）=0.

■三力矩式

Z也行）=0'

IX行）=0>（A、B、C不共线）

1X（7）=0

三、应用举例

例题1、P42例2-5

此题的关键在于AB杆为三力平衡构建，则三力作用线必然汇交于一点，再利用几何法,

即可求出结果；

例题2、P43例2-6

如图所示，则不会出于平衡状态，三力不能汇交

于一点。如果三力汇交于一点，根据约束的特点，可

以分析出其平衡图，如图b）所示。（此题的关键在

于分析杆件处于平衡状态时，其位置应该是怎样

的？）

例题3、

如图所示，求A、B的约束力。

此题的关键在于正确画出受理分析，根据各种利的特点，合理选择平衡方程，使问题简

化，从而求解。

例题4、固定端约束

关于分布力的问题

1、力矩问题

dM。-xF{x)dx

Mo=卜尸(x)dx

2、用集中力代替分布力的问题

设集中力在坐标轴上的位置为司，集中

力为F,则

/=1F(x)dx

3、常见的分布力系

集中力

分布状况图形

大小位置M,

q112

平均分布qa—a泮

2

q1212

三角形分布—a泮

3

11

J%+3%

1、11

梯形分布02-((z7i+%)。-j-------a22

qi"241a+g%a

](%+%)

作业:242-9、2-1k2-12(a、d)、2-18、2-29、2-35(摩擦问题稍候再作)

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课程名称：工程力学基础宵品制日期：

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班级

章节及课题：

§2.5考虑摩擦时物体的平衡

教学目的：

1、理解滑动摩擦和滚动摩擦的基本概念；

2、掌握考虑摩擦时平衡问题的解法。

装

重点与难点：

考虑滑动摩擦时的平衡问题的求解

教具准备：

订教学内容及教学过程

§2.5考虑摩擦时物体的平衡

'摩擦

〈滑动摩擦

滚动摩擦

-、滑动摩擦

1、静摩擦力

线概念：当物体相对另一与之接触的物体有相对滑动趋势时，接触面间将产生磨擦力一

一静摩擦力。

库仑定律：F1mx=%・FN

常见的静摩擦系数见教材P49表2-1

2、动摩擦力

F'=，・FN'

一般情况下，静摩擦系数与动摩擦系数相差不大，一般认为二者相等。

教师:专业主任:

FR=FN+F

FR=《F；+F2

F

tan(p=——

FN

•摩擦自锁：主动力系的合力司的作用线在摩擦角内使物体保持

平衡的现象。

•自锁条件：a<(pf

•摩擦锥：略

应用举例:

例题1、如图所示，求。=?

解：

£工=0Ffl-F^=O

<£F,=0FN-P=U

3)=0Pasin。-7^R(1-sinO)=O

补充方程：Fmax=fsFN

三、滚动摩擦

根据滚动摩阻较小的实际现象，讲清滚动摩擦的机理。

%=汨

常见滚动摩擦系数见下表:

表2-2

材料钢质车轮与钢轨钢质车轮与木面轮胎对路面木材对木材

滚动摩擦系数

0.51.5~2.52TQ0.5-0.8

“mm

下面来比较一下滚动为什么会比滑动省力？

在滚子中心作用一拉力FH

•滑动时

FHS=fsFN

•滚动时

FHr=SFN

•区=4，由于於-，因此乙，FH

FH£r

r

假设：取轮胎对路面b=0.3cm,轮子半径为30cm,X=0.7,上式结果为70。

应用举例

例题1

(a)(b)

Z工=0-Psin^-F=o

2工=0FN-PCOS^=0

Z%")=0Psin夕一七•r+〃,a=。

M/a=SFN

例题2、如图所示的人字梯，A、B两处的摩擦系数为f.

求：重量为P的人爬到2/3处，梯子不至于滑倒时，梯子与地面的夹角C的极值。

解：

此题的关键在于判断出，A、B两处是

哪处率先达到临界状态，即此处可以使用

库仑定理作为补充方程。

判断依据：

NB>NA人

AB

于人>

fB

由于、两处的摩擦系数相同，显然处

ABANA

首先达到临界状态，而A处并没有达到临界

状态。

IX=。

FAlsina-NAlcosa=0

\FA=/NA

1

a=arctan—

f

例题3

如图所示，圆柱。的重量为Q,半径为R,摩擦系数为f。

求：圆柱平衡时P力的大小。（设AB=1,

ZABC=la）

解:

思路:

Q

当P大于一定值时，圆柱有向上滑动的趋势;

当P小于一定值时，圆柱有向下滑动的趋势。

因此，力P有一定的范围。（解题具体步骤从略）C

例题4在倾角a大于摩擦角（Pm的斜面上放有重为G的物块。为维持静止，在物块上作用

有水平力Q。试求Q=?

解:

分析：注意解摩擦问题的趋势问题：可能有二个趋势。

1、解析法

（1）Q=Qmin,重物有向下滑动的趋势。受力分析如b）图所示，有

Qcosa+F-Gsina=0

-Qsina—Gcosa+N=0

解得

F=Gsina-Qcosa

N=Gcosa+Qsina

在平衡条件下，有OWFWfN,其中/=tanp”，故有

Gsina-Qcosa<f(Gcosa+Qsina)

QN,G-,)

（2）Q=Qmin,重物有向上滑动的趋势。同理可得

Q<„+£G=Gtan（a+（p,“）

1-/tan

综上有

Gtan（a-（pm）<Q<Gtan（a+（pm）

2,几何法

（1）Q=Qmin，重物有向下滑动的趋势。受力分析如d）图所示。

以下从瞳。

（2）Q=Qmin,重物有向上滑动的趋势。受力分析如f）图所示。

以下从略。

——可见，使用几何法问题求解要简单的多。

授课教案

课程名称：工程力学基础编制日期:

授课日期第周星期第周星期第周星期第周星期

班级

章节及课题：

第二章习题课

教学目的：

进一步掌握平面刚体平衡问题的解法，学会平衡方程的灵活应用。

重点与难点：

教具准备:

教学内容及教学过程

第二章习题课

例题一、如图所示的构件，B为中间较，受载荷如图所示。

1、在解题前，先回顾一下固定端约束的情形。分别以旗杆、墙上钉的铁钉等，介绍其约

束情况（反力的个数）。

2、需要求解的未知数为4个，只选取一次研究对象不能解决问题，需要补充方程。故可

以考虑先选取BC为研究对象，在以整体为对象，即可求解。

（解）

1、先研究BC段，受力图如下图所示，有

^mB=0Yc2a-aq-1-M=0

YC=4丝

c42a

2、再以整体为研究对象，受力图如右下图所示。根

据静力学条件有

MA

力=0XA=0

工丫=0YA+Yc-2qa=0丫4=等-2

3a5a2

^mA=0MA+YC2a-(qay+qay)-M=0MA=3qa-M

3、解方程

4、验算

注意：

B处的分布载荷的处理：

1、在以整体为研究对象时，可以将分布载荷进行集中处理（即2qa的集中载荷集中于

B处；

2、如果以局部微研究对象，则此处的分布载荷就不能进行集中化处理，为什么？请大

家仔细思考一下。

例题二、已知：ABCD重P=50KN,

f=0.4,AB=CD=10cm,AD=BC=50cm

求：维持系统平衡时物体m的重量

的最小值。

［解］m

思路：可能有两种情况

1，向下滑动

’2、绕直翻倒

1、维持不下滑的重量Q1

力=0F+Q,cos30-Psin30-0(1)

ZY=ON-QJsin30-Pcos30=0⑵

库伦定理：F=fN(3)

解方程可得：Q,=4.12KN

2、维持不绕C点翻倒的重量

——注意，此时的F、N均集中于C点。

ZMe=0Pcos30XgAB-Psin30X；AD+Q2cos30xAD+Q2sin30xAB=0

则Q2=4.12KN

??物体有向上滑动或绕D点翻转的可能性吗？请同学们思考。

例题三、已知4根等长、等重的均质杆相较接，且两端钱链于一水平线上。

求：a、力之间的关系

［解］:此题的关键在于根据结构、受力的对称性，进行解题，从而简化解题过程。

1、以ABC为研究对象，由于结构和受力均对称，可见C处的约束必在水平方向(垂直方

向的约束力为0,为什么，请大家思考……)，受力图如图所示

ZX=OXa=-Xc工丫=0Ya=2P=0

「Leosa_Leos#、.小八

P----------FP(/TLcosa+------)-XcL(sina+sin夕)=0

P

一(3cosa+cos£)

Xc=^--------------------

sina+sin°

2、以AB为研究对象，有

ZMB=0YaLcosa+XaLsina-P-coser=0

“3Pcosa

Xa=------；-----

2sina

PL

(2PLcosa+XaLsina---coscif=0)

综上，有

P

3Pcosa”c°sa+c°s0

2sinasina+sin/3

tan尸=3tana

注意思考：系统儿何对称，且载荷也对称，则约束和内力也必然对称。利用此结论，可对计

算过程进行简化。

例题四、已知：F,a,M=Fa,各杆自重不计。求：支座A,D处的约束力。

解：1、取BC为研究对象，受力图如c）所示，有

Z〃c=O-FBv-2a+Fa-M=0

得以=°

2、取AB为研究对象，受力图如b）所示，有

%=oFAy-F-FBy=0FAy=F

-FAy-2a+F-a-F^-2a=0FAx=F/2

X工=0几+%=0金=-F/2

3、取整体为研究对象，有

此处从略（着重讲清解题思路）

授课教案

课程名称：工程力学基础编制日期:

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班级II

章节及课题：

§3.3重心

教学目的：

1、了解重心的一般公式和变形公式的意义;

2、掌握组合形体重心的计算方法。

重点与难点：

组合形体重心的计算方法

教具准备:

教学内容及教学过程

§3.3重心

一、重心坐标的一般公式

如右图所示，设一物体固连一坐标系oxyz,物体微元体Mi的坐标为

（xPyZj）,其重量为Pi,则

p=EpiF

根据合力矩定理，有,

对ox轴：

=-EPiYi

对oy轴

教师:专业主任:

同理，可得

Z西刍（坐标旋转可得）

cP

jpxdv

x-------

cbdv

Jpydv

n积分式

j>dv

jpzdv

7