函数与导数压轴题题型与解题方法(高考必备)

11压题型方（择填题一、函与导数1抽象函数与质主要知点：定义域值域（值）、单调、奇偶、周期性、称性、势线（近线）对策与法：赋值法特例法数形结合【例1已知定在f(x)2;2当1，

f

，为常.下列关函数f述：①_x0001_

a时f②当数f③当a0时不等

x

12

在区间；④当-1＜＜0，函数f与线2

数为n

12

.其中描正确的个数（）【答案C（A）4（B）3（C）2（D）1

故④正，【例2定义在

R

上的函

(x

满足

(1)

，且对意xR都有

，则不等式

f(x)

x

的解集_________．【答】

1,1)11()f(1)【解析令，则，

，

1,1)A.B.,122221,1)A.B.,12222所以

f(x

)

x

g(g(1)x

xf()，故不式2的解集为．【例3定义在数f(),则方程fx)

2的解所在区间（）【答案C12

C.

D.【解析根据题意，任意的(0,，都有)，由f（x）是义在(0,上单调函，则(x)为定值2设tf()log，则f，22又由f（t）=3即log

2

t+t=3，可得，；则fx)，f2

1。x2因为(x)

2，所2

11即，xln，x21令)log，xln2111因为(1)1，(2)log2，lnlnln4所以(x)x2

1xln2

的零点区间(1,2)，即方程()f

的解所的区间是例4.（2014湖南理科·Ｔ10已知函1f(x)x(x0)与()xln(x)的图上存关于y轴对称点，2则的取值围是()【答案B1A．()e

B．(e)

1C．,e)e

1D．)e

xx2A．B．C．，D．，xx2A．B．C．，D．，3e3111【解析解法一：由可得存x2x

ex

,当x趋于负无穷小时,

ln趋近于,因为函在定义域内单调递的,所以lnalna解法二由已知设x

即e

1ln，构造数hxe,2

画出两函数的图象如图，

个单位恰好过点到lnaa

，所以。2函数零点、程的根函数图像交对策与法：函数、程、不式三者相互化；数结合【例1已知函()

满足f(x)f)当x时，f()lnx，若在间x内，曲线g()f)与轴三个不的交点，则数的取值围是（）【答】C，0，e2e

1【解析法一：设x，则，fxfx，则xxf如所示，当a，显然合乎意；1当a时，如图所示，x(时，存在一零点，3

（A）（B）（D）20,（A）（B）（D）20,当1时，f可得g，则g

1ax，若g，可得x，gx为减函数；xx若g

得

1a

，g数此时f个点，1()由3

3，解得．e法二：1时，求=ax与f切时的值即可。【例2（2015天高考，8）已知函

x

xx函数，若函数f恰有4零点，的取值围是()【答案D7

（C）

x,x2,【解析法一：由x

得f(2)

xx

，x

x所以yfx)f(2)

4

0

8622x2,x即yf)f)0x

15105

4224

515

x

68f(x)g(ff(2x),所以f

个点等价方程f()(2x有4个同的解，即数与函yf(f(2的图象4个公共点

由图象知.法二：一坐标系下出g，找满足知的条件即可【例3（2014·湖高考理科·）已知函数fx)是定义在上的奇数，当x，f(x)

12

(|x

|x

|

)若，f(()，则实数a的取值围为（）1A.[,]66

B.[

66,]66

C.

11[,]33

D.[

33,]33【答案B解析：

－x，0x2当x≥0，f)＝a，2<x≤2a2x－3a2，>2a2

，又f)为奇数，可f)的图如图所示，利用图平移可得f(x－1)图，又∀x∈R(x－1)≤(x)，可知42

－(－2a2

66)≤1⇒a∈－，。66【例4已知函f（x）周期为，且x∈（﹣1，3]时，f（x）=，其中＞0．若方程f（x）=x恰5个实解，则m的值范围（）【答】BA．（，）B．（，）C．（，）D．，

）【解析∵当x∈（]，将函数为方程x

2

+

=1（y≥0）∴实质为一个半椭，其图如图所示，同时在标系中作出x∈（1，3得图象，再据周性作

B、C、D、，B、C、D、，出函数它部分的图，由图易直线y=与第二个椭圆x﹣4）

+=1=1（y≥0相交，而与第个半椭圆（﹣8）

+=1=1（y≥0）无共点时方程恰有5个实数，将y=代入（x﹣4）2

+=1=1（y≥0）得（9m

2

+1）x2

﹣72m

2

x+135m

2

=0，t=9m

2

（t＞0），则（t+1）x

﹣8tx+15t=0，由△=）2

﹣4×15t（t+1）＞0，t＞15，9m2＞15，且m＞0得

，同样由y=与第三个椭（x﹣8）2

+

=1=1（y≥0）由△＜0计算得m＜，综上可m∈（

）【例5已知函f

e

，若关x

的方程f

恰好有4个相等的实数，则实m的取值围为（）【案】AA、

e2

e1e2【解析当x时f)

x

为减函，f(x)(0)；min当时f)

e

，f

)

1，则时，f2

(x)0，x

12

时，(x，

极大值极大值12e即x在增，在，(x)f)；2e其大致象如图所示令tf()，得tmt，即(tt；当t时，f(x)

有一解若f

(x)(有四解则0

2e，即1m.2ee3单调性、极与最值【例1若对任的正实数t函数fx)x)

3

lnt

3

ax在上都是函数，实数a的取值范是（）【答案】A1A．]2

B．(

]

C．2]

D．【解析由已知得：f)3(x

2

lnt

2

恒立，即x

2

)x

2

2

t对任意实数x立，所以4(tlnt28(t2)0,即tt2t对任意的实数t恒成立，故只a

tt2

2

的最小值．令t)

(ln)2

2

(t0)，t

(ttt)t

，由于0时tlnt；t时，t0,，即t时，t)

(ln)2

2

1取得最，故选A．2注意：求最小值的小值

，求导，求导【例2若对,y[0,不等式4e

x

x

恒成立，则实数a的最大值（）A．

B．1C．2D．

【答案D．【解析∵e

2

22(

由e

ax，可有2a

x

，令g(x)

x

，则

e(x2

，可得g0，且在

，[0,2)上

，故()最小值g(2)，2，即1。a2【例3若曲线：yx1

2

与曲线：yae2

x

存在公线，则a的（）【答案】BA．最值为D．最值为

4B．最值为C．最值为2222【解析设公共切线曲线切于点(xx)

，与曲切于点xe2

，则ae

有解，将

xe

代入

x

x

，可得

代入e

可得

xe2

，设

f

)fe

，可得

f(x)

在

2)

上单调增，

f(x)

在(2

上单调减，所以

fx

f(2)

e

．【例4已知函f

g，对f值为（）【答案A

t1ttt1ttA

lnln2B．12

C．2

D．1lnt【解析由fg可得：2b，令t，则，22b2

，令h(t)=

t

12

,t，所以'(t)，令22t

'

(t)=0得

t，所以当h(t)为减数，当,(t)为增函数，以bln最小值．2【例5直线y别与曲y，yxln交于A，B，则|AB|小值为）

的最A．3B．2C．

2

D．

32【答案D【解析当y，2(，所以x所以tt，

a2

；方程xlnx根为t，则AB

ttlntt，设(t

tlnt1t（t，g'(t22t2t

，令'(得当t(0,1),g

'

t)t(1,

'

(t)所以g(t)

32

，33所以AB，所以|AB最小值为.22练习1.数f

的导函为f都有2

成立，f

，则不式f

x2

的解是）【答案AA.

B.

C.

D.

x11x11【解析设函数

f

，所以g

f

2

x2

，x2

x

2根据已f

2

增函数，且所以不式f

x2

等价于

f

，价于xgln4，x2根据g，所以xln2.义在的函(足：对都有fx2f(x；当时，(x2，给出下结：①对，有)②函f()的域为[；③存在nZ，得f；④函数f(区间(,)单调递减的分条件“存在，使得a,b)(2

，其中所正确结论的号是：．（请将有正确题的序号填上【答案】①④【分析作出f3.（2013·安徽高考理）若数fx)＝3

＋ax2

＋bx＋c有极点x，x，且f(x121＝，则关x的方3(f(x1

2

＋2afx)＋＝0的同实根数是()【答案AA．3B．4C．5D．6【解析因为f′()＝3x2

＋2ax＋b,3f2()＋2af(x＋b＝0且程3x＋2ax＋＝0的根分为，x12所以fx)＝x或fx)＝.12

当是极大点时，极小值点且x>x如图1示1221可知方f()＝x2个实根，f(x＝有1个实根12故方程f2x)＋2(x＋b＝0有3个同实根．当是极小点时，fx＝x为极大值点，且<x，如图2可知111221方程fx)＝x有2个实根，f(x)＝x有个实根故方程3f212

(x＋2af(x)＋b＝0共有3个同实根．综上，知方程3f

(x＋2af()＋b＝0有3个同实根．4.函数f(x)x3ex2mxx，记f，若函gx)至少存在一个零点则实数m的值范围（）【答案AA.(

1]B.e2]C.(eeD.(

1e]ee5.知函数f(x)x(2)x

14a

显然，h(x)(，若存在三个相等的实数x,，使得12

f(fxf(x12成立，则的取值范围是．【xx123答案】

2e2

fx【解析由题意得：程

f(x)

有三个同的解，则

g)f()x

有三个不同零。

g

1(2ax)x

x

，因为

x0,g)(x)因此

g(1)g(

1aa2)[ln(2a)]a(,)2aae26.（2015北京高考，理4）设函数零点，实数的取范围．

若个【解析①若函数(x)2

x

ax1时与x有一个交，则a

0，并且当x1，(1)2a，则0a

2函数()

xa)(a)与x轴有一交点，以a且112

；②若函(x)2a与x轴有无交，则数(x)

xa)(a)与轴有个交点当a0时(x与x轴无交点，()

xa)(a)在x1轴有无点，不合题；当(1)2a0时，a2，(x)x轴有两个交，

a和a由于a2两交点坐标均满足x1综上所a取值范

12

或2.7.函数f()在上存在数f

，R，f()x

，在(0,

1111111111111111上

x若(4mf()8m，则实m的取值范围为）【答案】A[2,2]

B．

C

D．([2,【解析设2

2

，因为任意R,f

，所以，22所以，数函数；2

2

=f又因为在(0,

x所以，当时，

即函数2

2

在(0,上减函，因为函g函数且上存在导数，以函数2g

x

f

x

1x2

2

在R上为减数，所，g2f所以，即实数的取值围为

28.知函数g（x）=a2

（≤x≤e，e为自对数的数）与h（x）=2lnx的象上存关于x轴对的点，实数a的取范围是）【答案BA．[1，+2]B．[1，e2

﹣2]C．[+2，e

﹣2]D．[e

2

﹣2，+∞）【解析由已知得方a2

=﹣a=2lnx﹣x2

在

上有解设f（x）=2lnx﹣x2

，求导：f′（x）=﹣2x=

，∵≤x≤e，∴f′（x）=0x=1有唯的极值，∵f（）=﹣2﹣

，f（e）=2﹣e2

，又f（x）

极大值

=f（1）=﹣1且知f（e）f（），

故方程a=2lnx2在

上有解价于2﹣e2≤﹣a≤从而a取值范为[2﹣29.直角坐标面内A、B两满足①点A、B都函数f(x)的象上；点A、B关原点对称，点对（A，B）是数f(x)的一个“姊妹点对”点对（，B）（B，A）可看作同一个姊妹点对”已知函(0)f()(x0)

，则f(的姊妹点”有（）【案】CA．0B．1个C．D．3个方法：求一部分图关于原对称的图像另部分像交点个数10.知函数（x）的定域为（，+∞），于给定正数K，定函数f（xk）=

．若对函数f（x）=

恒有f（x）=f（x，则k（）【答案BA．K的最大为B．K的最小值C．K的最大值为D．K的最小为2【解析由已知，即≥f(x)恒立。f′（x）=设g（x）=令f′（x）=0即

=，，则g（x）（0，+∞）调递，且g（1）=0=0，得x=1，当0＜x＜1，f′（x＞0，f（x单调增，当＞1时，f′（x＜0，f（x）单递减．故当x=1时，f）取到极大同时也最大f（1）=．故当k时，恒有f）=f（x）k

因此k最小值．11.知函数f(x)

|xex

()，g(x)2a，若A{fxR，则的取值范是．【答】[

0在上有解,即x20在上有解,即x2【解析当时，'()

11，易得x时有大值；ex当x时，f'(x

xe

恒成立，x)是减函数，且(．设g(x)

，由ft)得t即对R恒成，g(x

x

2

2

，当a时，(x)2a而a

不合题；当a时，x)(，∴a得．12.知函数f)=1aa(x)(a)(=，若至少存一个∈[1，e]使得xf(xg(x成立则实数的范围为（）【答案】B0A．[1，+∞）B．，+∞C．[0，+∞D．（1，+∞【解析由题意得

f(x)0[1,e]a),(])

，令

y

2(1)2ln,[1,e]y()x，则x，故，因此a．13.（2015全国高考，理12）函数f()

xax,其中

1，若存在一的整数x，使得f(x)0，则的取范围是）【答00案】D3(A)[-，）(B)[-错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。）(C)[错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）(D)[错误！未找到引用源。，1）

2200022000【解析设g(x)=ex(2，ax，由题存在唯一的数x，使0(x)在直线的下.因为0

x，所当时，

1＜，当时，＞0，21所以当时，[g()]=-2e

12

，直线y恒过（1,0，结合图有：g(0)，且(，解得

32e

≤＜15.(2014·新课标国卷Ⅱ高考科数学T12)设数f(x)=

x

.若存在f(x)的极值点满足x0

20

+则m的值范围()【答】C0A.C.

B.D.

x【解析因为f(x)=的极值为±3即[f(xm

2

=3,|x|≤,所以x+[f(x)]≥0

m22,所44

+3<m2,解得m|>2.16.（2014四川理科Ｔ9）已知(x)))当x，现有下列题：2x①((x)；②f()2(x)③f(x.其中所有确命题12序号是）A.①②③B.②③C.①D.②【答案A【解析选A对于：f(ln(1)ln(1)()，故①正确；对于②(x)ln(1))ln

11

，22122222222222，221222222222222xf()2

11

2x22x2

1ln()2ln()(，故②正确1对于③当时，|f(xx|f(xx令g()f(x)xln(1)x（），因为g

11x2，所以g()[0,1)增，11(xf)xg(0)即f(x)，(与奇函数，所f()|成立，故③确.17.知为常数函数)

ln(1)两个极值点,则12A.2

1ln21ln2B.x4【答案BC.f

2

2ln23lnD.x88【解析fx

ax2有个根x且x,111所以方22别式a,2x1

1a2

axx,则ax2122

1则f(x2)ln(1)(x,令g(2

2

t

2

ln(1)1(0),g2

t[(2t)ln(1)

tt1

2

1]tt,0),2

112ln20,gx(,0)上是增函,g(t)g()2

,所以f()21gx).4

xx．yxxx．yx18.存在实数k，得函数F(x)和x)对其公共义域上任意实数x都满足F(kx和x成立，称此直线ykx为F(x)和G(x的“隔离直线，已知函数f()(x),g()，有下命题：

1x

(0),)elnx①(x)f(x)(xx

2

内单递增；②f()和gx)间存在隔离直”，且的最小为；③f()和gx)间存在隔离直”，且的值范围；④f()和h()之间存在唯一的隔离直”．其中真题的个数有）【答案】A．1个B．个C．3个D．个【解析①∵F()x

2

3(xF'()．由F'()，-

3

x

，故函数单调递增区（-

3

．因此命题正确．②③设数(x)图像上任意一（，），则函数在点处切线方为yxx

．同理，函数g()像上任（m,，函数在点处的切线程为2当两切重合时，可

x0

2

且20

m

，解得故两曲的公切线方为：y

从图像看出，当直绕点（1，0）转动，在x轴公切线之间都满足意．因此-4时，可得-4．所以题②正．命题③错．④由“离直线"的义可做下推：函数(x)与函数(x)之间存唯一的“隔离线”只需两数有唯的公共点（