湖南省岳阳市临湘第二中学高三数学理上学期期末试卷含解析

湖南省岳阳市临湘第二中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图是正四面体G，H，M，N分别是DE，BE，EF，EC的中点.在这个正四面体中:①DE与MN平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直.以上四个命题中，正确命题的个数是（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：C2.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2010)＋f(2011)的值为（

）A．－2

B．－1

C．2

D．1参考答案：D3.设，则函数的零点所在的区间为

A．

B．

C．

D．参考答案：B略4.有下列数组排成一排：

如果把上述数组中的括号都去掉会形成一个数列：则此数列中的第项是A．

B．

C．

D．参考答案：B略5.祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（）A．①② B．①③ C．①④ D．②④参考答案：C试题分析：设截面与底面的距离为，则①中截面内圆半径为，则截面圆环的面积为；②中截面圆的半径为，则截面圆的面积为；③中截面圆的半径为，则截面圆的面积为；②中截面圆的半径为，则截面圆的面积为，所以①④中截面的面积相等，故选C．考点：1、数学文化；2、空间几何体的体积．【举一反三】处理球的截面问题，主要利用截面圆的半径，球的半径，球心到截面距离为三者之间的勾股关系，即．6.已知复数且．（1）可能为实数

（2）不可能为纯虚数（3）若的共轭复数，则．其中正确的结论个数为（

）Ａ．０Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３参考答案：C略7.对于任意实数a，b，定义max{a，b}=，已知在[﹣2，2]上的偶函数f（x）满足当0≤x≤2时，f（x）=max{2x﹣1，2﹣x}若方程f（x）﹣mx+1=0恰有两个根，则m的取值范围是（）A．[﹣2，﹣eln2）∪（eln2，2] B．[﹣eln2，0）∪（0，eln2]C．[﹣2，0）∪（0，2] D．[﹣e，﹣2）∪（2，e]参考答案：A【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】新定义；数形结合；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据条件先求出当0≤x≤2时，函数f（x）的解析式，然后根据偶函数的性质求出函数在[﹣2，2]上解析式，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的相交问题，结合导数的几何意义求出切线斜率进行求解即可．【解答】解：当1≤x≤2时，2x﹣1＞2﹣x，此时f（x）=2x﹣1，当0≤x≤1时，2x﹣1＜2﹣x，此时f（x）=2﹣x，即f（x）=，若﹣2≤x≤﹣1，则1≤﹣x≤2，此时f（﹣x）=2﹣x﹣1，∵f（x）是偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=2﹣x﹣1，﹣2≤x≤﹣1．若﹣1≤x≤0，则0≤﹣x≤1，此时f（﹣x）=2﹣x，∵f（x）是偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=2﹣x，﹣1≤x≤0．作出函数f（x）的图象如图：由f（x）﹣mx+1=0得f（x）=mx﹣1，设g（x）=mx﹣1，则当m=0时，f（x）与g（x）没有交点，此时不满足条件．当m＞0时，当x=1，f（1）=1，当x=2时，f（2）=3，当直线经过A（1，1）时，此时m﹣1=1，则m=2，此时g（x）=2x﹣1，g（2）=3，即直线g（x）=2x﹣1经过A，C点，此时两个曲线有两个交点，满足条件，当直线y=mx﹣1与f（x）=2x﹣1相切时，设切点为（k，n），则f′（k）=2kln2，且2k﹣1=n，则切线方程为y﹣n=2kln2（x﹣k），即y=（2kln2）x﹣k2kln2+2k﹣1，即2kln2=m，且﹣k2kln2+2k﹣1=﹣1，即2kln2=m，且﹣k2kln2+2k=0，2kln2=m，且﹣kln2+1=0，即kln2=1，解得k==log2e，则m==eln2，此时直线和f（x）只有一个交点，若时两个曲线有两个交点，则eln2＜m≤2，根据偶函数的对称性知当m＜0时，﹣2≤m＜eln2，综上m的取值范围是[﹣2，﹣eln2）∪（eln2，2]，故选：A【点评】本题主要考查函数解析式的求解，利用函数与方程之间的关系转化两个函数的交点问题，借助导数求出切线的斜率是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．8.定积分的值为（

）

(A)－1

(B)1

(C)

(D)参考答案：B略9.设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（

）参考答案：C考点：函数导数与图象.【思路点晴】求导运算、函数的单调性、极值和最值是重点知识，其基础是求导运算，而熟练记忆基本导数公式和函数的求导法则又是正确进行导数运算的基础，在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于.在上为增函数．在上为减函数．导函数图象主要看在轴的上下方的部分.10.各项都是正数的等比数列的公比，且成等差数列，则的值为（

）A． B． C． D．或参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面直角坐标系xOy中，点()()，记的面积为Sn，则

.参考答案：结合题意,得到,所以该三个点组成的三角形面积为,对面积求和设得到,,两式子相减,得到,解得.

12.已知复数z满足（i为虚数单位），则｜z｜＝＿＿＿参考答案：略13.在极坐标系中,过圆的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是

. 参考答案：14.已知向量，且与的夹角为钝角，则的取值范围是

．参考答案：答案：

15.已知△ABC中，AB=，BC=1，sinC=cosC，则△ABC的面积为．参考答案：

【考点】正弦定理；三角形的面积公式．【分析】由已知及tanC=可求tanC，进而可求C，然后由余弦定理可得，可求AC，代入可求【解答】解：∵sinC=cosC，∴tanC==∵C∈（0，π）∴∵AB=，BC=1，由余弦定理可得，=∴∴AC=2，==故答案为：16.在100件产品中有90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品．恰含1件二等品的概率是

．（结果精确到0.01）参考答案：0.3017.已知函数．若命题：“，使”是真命题，则实数的取值范围为

．参考答案：（或）略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f(x)的定义域为R，当x＜0时f(x)＞1，且对任意的实数x，y∈R，有（Ⅰ）求f(0),判断并证明函数f(x)的单调性；（Ⅱ）数列满足,且，数列满足

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

①求数列通项公式。②求数列的前n项和Tn的最小值及相应的n的值.

参考答案：解析：（Ⅰ）时，f（x）＞1令x=－1，y=0则f（－1）=f（－1）f（0）∵f（－1）＞1∴f（0）=1

2分若x＞0，则f（x－x）=f（0）=f（x）f（－x）故故x∈R

f（x）＞0任取x1＜x2

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

故f（x）在R上减函数

7分（Ⅱ）①

由f（x）单调性an+1=an+2

故{an}等差数列

11分②

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

当n=4时，

14分19.（本小题满分12分）已知正方形的边长为2，．将正方形沿对角线折起，，得到三棱锥，如图所示．（1）当时，求证：；（2）当二面角的大小为时，求二面角的正切值．参考答案：解：（1）证明：根据题意，在中，，，所以，所以．因为是正方形的对角线，所以．因为，所以．（2）解法1：由（1）知，，如图，以为原点，，所在的直线分别为轴，轴建立如图的空间直角坐标系，则有，，，．设，则，．又设面的法向量为，则即

所以，令，则．所以．因为平面的一个法向量为，且二面角的大小为，所以，得．因为，所以．解得．所以．设平面的法向量为，因为，则，即令，则．所以．设二面角的平面角为，所以．所以．所以二面角的正切值为．解法2：折叠后在△中，，在△中，．所以是二面角的平面角，即。在△中，，所以．如图，过点作的垂线交延长线于点，因为，，且，所以平面．因为平面，所以．又，且，所以平面．过点作作，垂足为，连接，因为，，所以平面．因为平面，所以．所以为二面角的平面角．在△中，，，则，，所以．在△中，，所以在△中，．所以二面角的正切值为．略20.已知数列{an}中，a1=1，前n项和为Sn，且点(an，an+1)在直线x－y+1=0上．计算+++…+．参考答案：解：∵点(an，an+1)在直线x－y+1=0上，∴

an－an+1+1=0，即an+1=an+1，

3分∴

{an}是等差数列，首项和公差均为1，∴

an=1+(n－1)=n．

6分∴

Sn=1+2+…+n=，8分==2(－)

10分+++…+=2(1－)+2(－)+2(－)+…+2(－)=2(1－)=．

14分21.（本小题满分分）选修4─4：坐标系与参数方程选讲．已知曲线的参数方程为（为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线．（1）求曲线的普通方程；（2）若点在曲线上，点，当点在曲线上运动时，求中点的轨迹方程．参考答案：（1）将代入，得的参数方程为∴曲线的普通方程为．

………5分（2）设，，又，且中点为所以有：又点在曲线上，∴代入的普通方程得∴动点的轨迹方程为．

………10分22.已知函数(1)求函数的单调递减区间；(2)若将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，然后再向右平移()个单位长度，所得函数的图象关于y轴对称．求的最小值参考答案：(1