2021-2022学年上海市徐汇区位育中学高二（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2021-2022学年上海市徐汇区位育中学高二（上）期中数学试卷一.填空题1．（3分）分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是．2．（3分）已知△ABC所在平面外一点P到△ABC三顶点的距离都相等，则P在平面△ABC内的射影是△ABC的．3．（3分）边长为12的正三角形直观图的面积为．4．（3分）平面α外有两点A、B，若A、B到平面α的距离相等，则直线AB与平面α的关系是．5．（3分）已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的表面积之比是．6．（3分）在30°二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是10cm，则这个点到二面角的棱的距离为．7．（3分）已知长方体的表面积是24cm2，过同一顶点的三条棱长之和是6cm，则它的对角线长是．8．（3分）圆锥的高为1，底面半径为，则过圆锥顶点的截面面积的最大值为．9．（3分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝，点E为AB上的动点，则D1E+CE的最小值为．10．（3分）如图所示，空间几何体ADE﹣BCF中，四边形ABCD是直角梯形，AD⊥DC，四边形CDEF是矩形，且AD⊥平面CDEF，AB＝AD＝DE＝2，AB＝AD＝DE＝2，则空间几何体ADE﹣BCF的体积为．11．（3分）正三棱锥P﹣ABC中，PA＝AB＝4，点E在棱PA上，且PE＝3EA．正三棱锥P﹣ABC的外接球为球O，过E点作球O的截面α，α截球O所得截面面积的最小值为．12．（3分）已知四边形ABCD为矩形，AB＝2AD＝4，M为AB的中点，将△ADM沿DM折起，得到四棱锥A1﹣DMBC，设A1C的中点为N，在翻折过程中，得到如下有三个命题：①BN∥平面A1DM，且BN的长度为定值；②三棱锥N﹣DMC的最大体积为；③在翻折过程中，存在某个位置，使得DM⊥A1C．其中正确命题的序号为．（写出所有正确结论的序号）二.选择题13．（3分）“直线α与平面M没有公共点”是“直线α与平面M平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14．（3分）已知a、b为异面直线，则下列命题正确的是（）A．过直线a、b外一点P一定可以作一条与a、b都平行的直线 B．过直线a、b外一点一定可以作一个与a、b都平行的平面 C．过直线a一定可以作一个与直线b平行的平面 D．过直线a一定可以作一个与直线b垂直的平面15．（3分）给定一个正方体形状的土豆块，只切一刀，除了可以得到四面体、四棱柱等类型的多面体以外，还能得到的多面体的类型可以含有（）A．五棱柱、七面体 B．五棱柱、六棱锥 C．六棱锥、七面体 D．以上答案都不正确16．（3分）正方体中ABCD﹣A1B1C1D1，过D1作直线l，若直线l与平面ABCD中的直线所成角的最小值为，且直线l与直线BC1所成角为，则满足条件的直线l的条数为（）A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题17．（10分）在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，矩形ABCD绕AB旋转形成一个圆柱．如图，矩形ABCD绕AB顺时针旋转至ABC1D1，线段DD1的中点为M．（1）求证：AM⊥CD1；（2）求异面直线CM与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（10分）早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球体积时，就创造性地提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的几何体，若在任意给定的等高处的截面积相等，则体积相等，在推导半径为R的球的体积公式时，可以先构造如图所示的圆柱体，圆柱体的底面半径和高都为R，其底面和半球体的底面同在平面α内，然后挖去一个圆锥后运用祖暅原理来推导，请你把右图补充完整并写出球的体积公式的证明．19．（10分）在立体几何讲授圆锥之前，为了让同学们对圆锥有直观的认识，善于动手的老师准备用铁皮自制一个无盖的圆锥形密封容器．（1）如果老师希望得到的容器的尺寸如图1所示，请问老师事先至少需要购买的铁皮的面积（假设购买的铁皮能没有损失地利用）；（2）当老师聚精会神做好该密封容器后，发现正在下雨，猛然想起气象学上用24小时内的降水在平地上的积水厚度（mm）来判断降雨程度，其中小雨（＜10mm）、中雨（10mm～25mm）、大雨（25mm～50mm）、暴雨（50mm～100mm），勤于思考的老师用刚刚做好的这个圆锥形容器接了24小时的雨水，得到雨水数据如图2所示，请你帮他判断一下这天降雨属于哪个等级？并请说明你的理由．20．（10分）在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是C1D1与AB的中点（1）求A1B1与截面A1ECF所成角的大小；（2）求点B到截面A1ECF的距离．21．（12分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，D为AB的中点，D1为A1B1的中点，平面ABC⊥平面ABB1A1，异面直线BC1与AB1互相垂直．（1）求证：平面A1DC∥平面BD1C1；（2）已知A1C＝AB1＝6，设CC1到平面ABB1A1的距离为x，试问x取何值时，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积最大？并求出最大值．

2021-2022学年上海市徐汇区位育中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是平行或异面．【分析】分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是可以平行，可以异面，但不能相交．【解答】解：分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是可以平行，可以异面，但不能相交，∴分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是平行或异面．故答案为：平行或异面．【点评】本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是基础题．2．（3分）已知△ABC所在平面外一点P到△ABC三顶点的距离都相等，则P在平面△ABC内的射影是△ABC的外心．【分析】如图P是△ABC所在平面外一点，O是P点在平面a上的射影．若P到△ABC三个顶点的距离相等，由三角形全等可以得到三线段OA＝OB＝OC，则O是△ABC的外心．【解答】解：如图P是△ABC所在平面外一点，O是P点在平面a上的射影．若P到△ABC三个顶点的距离相等，故△POA≌△POB≌△POC故OA＝OB＝OC，由三角形外心的定义知此时点O是三角形的外心，故答案为：外心；【点评】本题考查三角形内的特殊点内心，外心，垂心，此是三角形常考的一种题型．3．（3分）边长为12的正三角形直观图的面积为．【分析】先求出原图形的面积，然后利用直观图与原图面积之间的关系求解即可．【解答】解：因为边长为12的正三角形的面积为，所以边长为12的正三角形直观图的面积为．故答案为：．【点评】本题考查了平面图形的直观图的理解与应用，解题的关键是掌握直观图与原图面积之间的关系，考查了逻辑推理能力，属于基础题．4．（3分）平面α外有两点A、B，若A、B到平面α的距离相等，则直线AB与平面α的关系是平行或相交．【分析】根据题意可得①当两点A、B在平面α的同侧时，直线AB与平面α平行；②当线段AB的中点C在平面α内时，A、B到α的距离相等，此时直线AB与平面α相交．由此可得正确答案．【解答】解：分两种情况①当A、B两点在平面α的同侧时，由于A、B到α的距离相等，所以直线AB与平面α平行；②当A、B两点在平面α的两侧时，并且AB的中点C在平面α内时，A、B到α的距离相等，此时直线AB与平面α相交．综上所述，可得：直线与平面平行或直线与平面相交故答案为：平行或相交．【点评】本题给出直线上存在两点到平面距离相等，判断直线与平面的位置关系，考查了空间直线与平面之间的位置关系，属于基础题．5．（3分）已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的表面积之比是2：3．【分析】设球的半径为r，则S圆柱：S球＝[2πr2+（2r）•2πr]：4πr2，可得结论．【解答】解：设球的半径为r，则S圆柱：S球＝[2πr2+（2r）•2πr]：4πr2＝3：2．∴球的表面积与圆柱的表面积之比是2：3．故答案为：2：3．【点评】本题考查几何体的表面积，考查计算能力，是基础题．6．（3分）在30°二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是10cm，则这个点到二面角的棱的距离为20cm．【分析】画出简图，结合三角函数关系即可求解．【解答】解：如简图所示，两平面相交于l，PA⊥1，PA⊂α，MA⊥l，MA⊂β，PM⊥β，PM＝10．则∠PAM为二面角的平面角，且∠PAM＝30°，AP＝20，即点P到二面角的棱l的距离为PA＝20cm．故答案为：20cm．【点评】本题考查二面角的平面角的求法，属于中档题．7．（3分）已知长方体的表面积是24cm2，过同一顶点的三条棱长之和是6cm，则它的对角线长是．【分析】设出长方体的长、宽、高，利用已知条件，容易得到解答．【解答】解：设长方体的长、宽、高分别为：a、b、c，由题意可知：a+b+c＝6…①2（ab+bc+ca）＝24…②①的平方﹣②得a2+b2+c2＝12所以长方体的对角线是：故答案为：【点评】本题考查长方体的有关计算问题，是基础题．8．（3分）圆锥的高为1，底面半径为，则过圆锥顶点的截面面积的最大值为2．【分析】法一、由题意画出图形，OC＝x，把截面面积化为关于x的函数求解；法二、由已知求出圆锥的母线长及两母线所成夹角θ的最大值，代入三角形面积公式S＝求得截面面积的最大值．【解答】解：法一、如图，PO＝1，，设OC＝x，则BC＝，PC＝，∴＝．∴当x2＝1，即x＝1时，截面面积的最大值为2；法二、由高PO＝1，底面半径r＝，可知母线长l＝，两母线夹角的最大值等于，设过圆锥顶点的截面的两母线得夹角为θ（0＜θ≤）．则截面面积S＝，当时，S有最大值为2．故答案为：2．【点评】本题考查圆锥截面面积最值的求法，考查函数与方程思想的应用，是中档题．9．（3分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝，点E为AB上的动点，则D1E+CE的最小值为．【分析】将正方形ABCD沿AB向下旋转到对角面ABC1D1内，记为正方形ABC2D2，在矩形C1D1D2C2中，连结D1C2，与AB的交点为E，利用两条线段共线共线时取得最值进行分析，即可得到答案．【解答】解：如图，将正方形ABCD沿AB向下旋转到对角面ABC1D1内，记为正方形ABC2D2，此时D1E+CE取得最小值，最小值为D1C2，因为，所以C1C2＝3，故＝．故D1E+CE的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了多面体和旋转体表面上的最短距离问题，解决此类问题的方法是：折线或曲线的最值问题，通常沿着多面体的棱或旋转体的母线展开成平面图形或曲面，结合平面图形求解，属于中档题．10．（3分）如图所示，空间几何体ADE﹣BCF中，四边形ABCD是直角梯形，AD⊥DC，四边形CDEF是矩形，且AD⊥平面CDEF，AB＝AD＝DE＝2，AB＝AD＝DE＝2，则空间几何体ADE﹣BCF的体积为．【分析】可作BM⊥CD于M，MN∥FC与直线EF交于点N，连接BN，将几何体切割成两部分，再结合柱体和锥体体积公式求解即可．【解答】解：如图，作BM⊥CD于M，MN∥FC与直线EF交于点N，连接BN，由题设条件可知，DM＝2，三棱柱AED﹣BNM为直三棱柱，体积为，锥体B﹣MCFN底面MCFN为正方形，高为BM，则锥体体积为，故几何体ADE﹣BCF的体积为．故答案为：．【点评】本题主要考查几何体体积的计算，割补思想的应用，空间想象能力的培养等知识，属于基础题．11．（3分）正三棱锥P﹣ABC中，PA＝AB＝4，点E在棱PA上，且PE＝3EA．正三棱锥P﹣ABC的外接球为球O，过E点作球O的截面α，α截球O所得截面面积的最小值为3π．【分析】利用直角三角形的三边，利用勾股定理求出球的半径，再求出球心到点E的距离，当截面圆面积最小时，球心到点E的距离最远（即OE），即可求出最小的截面圆面积．【解答】解：设Q为正三棱锥底面ABC的中心，球的半径为r，则CQ＝×AC×sin60°＝＝，三角形PQC为直角三角形，∴PQ＝＝＝，设球心为O，连接OP，OE，OA，则在直角三角形OQC中，OC＝r，QC＝r﹣，由r2＝QC2+QO2得：，解得：r＝2．取PA中点F，连接OF，因为OP＝OA＝r，所以OF⊥PA，又因为PA＝4，E为PA的四等分点，所以EF＝1，PF＝2，所以OF＝＝，OE＝＝，当OE垂直于过E的截面时，此截面面积最小，设此时截面圆的半径为R，则R＝＝，故此时截面圆的面积为πR2＝3π．故填：3π．【点评】本题考查了球的截面圆问题，对计算能力和空间想象能力都有较高的要求，属于难题．12．（3分）已知四边形ABCD为矩形，AB＝2AD＝4，M为AB的中点，将△ADM沿DM折起，得到四棱锥A1﹣DMBC，设A1C的中点为N，在翻折过程中，得到如下有三个命题：①BN∥平面A1DM，且BN的长度为定值；②三棱锥N﹣DMC的最大体积为；③在翻折过程中，存在某个位置，使得DM⊥A1C．其中正确命题的序号为①②．（写出所有正确结论的序号）【分析】分别延长DM，CB交于H，连接A1H，由中位线定理和线面平行的判定定理，以及余弦定理可判断①；当平面A1DM⊥平面DMBC时，A1到平面DMBC的距离最大，结合棱锥的体积公式，计算可得所求最大值，可判断②；由线面垂直的判断和性质可判断③．【解答】解：分别延长DM，CB交于H，连接A1H，由M为中点，BM＝CD，可得B为CH的中点，可得BN为△A1CH的中位线，可得BN∥A1H，BN⊄平面A1DM，A1H⊂平面A1DM，可得BN∥平面A1DM，且BN＝A1H，在△A1DH中，A1M＝2，MH＝2，∠A1MH＝135°，则A1H＝＝2，即有BN＝，故①正确；当平面A1DM⊥平面DMBC时，A1到平面DMBC的距离最大，且为，此时N到平面DMBC的距离最大，且为，△DMC的面积为×2×4＝4，可得三棱锥N﹣DMC的最大体积为×4×＝，故②正确；若DM⊥A1C，又DM＝CM＝2，CD＝4，可得DM⊥MC，则DM⊥平面A1CM，即有DM⊥A1M，这与DM为斜边矛盾，故③错误．故答案为：①②．【点评】本题考查空间线线、线面的位置关系，主要是平行和垂直的判断和性质，考查棱锥的体积的计算，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题．二.选择题13．（3分）“直线α与平面M没有公共点”是“直线α与平面M平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据直线与平面平行的定义，由于定义是充要条件得到选项．【解答】解：根据直线与平面平行的定义：直线与平面没有公共点时，直线与平面平行所以“直线α与平面M没有公共点”是“直线α与平面M平行”的充要条件故选：C．【点评】直线与平面的位置关系是利用直线与平面交点的个数来定义的，而定义是充要条件．14．（3分）已知a、b为异面直线，则下列命题正确的是（）A．过直线a、b外一点P一定可以作一条与a、b都平行的直线 B．过直线a、b外一点一定可以作一个与a、b都平行的平面 C．过直线a一定可以作一个与直线b平行的平面 D．过直线a一定可以作一个与直线b垂直的平面【分析】A用反证法说明a，b为异面直线时，过a，b外一点P引一条直线l与a，b不能都平行；B当a、b为异面直线时，过两直线外一点p作平面，该平面可能与a、b都平行，这样的平面也可能不存在；C当a、b为异面直线时，过a作与b平行的平面有且只有一个；D当a、b为异面直线时，过a作一个平面可能与b垂直，也可能与b不垂直．【解答】解：对于A，当a，b为异面直线，假设过a，b外一点P引一条直线与a，b都平行，即l∥a，l∥b，∴a∥b，这与a、b是异面直线矛盾，∴假设不成立，即A错误；对于B，∵a、b为异面直线，∴a、b不平行，∴过p做a的平行线有且只有一条，设为c，过p做b的平行线有且只有一条设为d，则a、b的平行线只能组成一个平面，设为平面A；①如果c恰好和b相交或者d与a相交，即当a或者b正好在A平面内时，过P且与a、b都平行的平面不存在；②如果c不与b相交或者d不与a相交，过P且与a、b都平行的平面有且只有一个；故B错误；对于C，∵a、b为异面直线，∴a、b不平行，在a上任取一点P，过点P作直线c∥b，c是唯一的，又a∩c＝P，∴由a、c确定的平面c也是唯一的，∴b∥a，∴C正确；对于D，∵a、b为异面直线，但a与b不一定垂直，∴过a作一个平面可能与b垂直，也可能与b平行，∴D错误，故选：C．【点评】本题考查了空间中的位置关系的应用问题．考查了异面直线的概念与应用问题，也考查了空间中的平行与垂直的判断问题，是综合题目．15．（3分）给定一个正方体形状的土豆块，只切一刀，除了可以得到四面体、四棱柱等类型的多面体以外，还能得到的多面体的类型可以含有（）A．五棱柱、七面体 B．五棱柱、六棱锥 C．六棱锥、七面体 D．以上答案都不正确【分析】直接利用平面的性质的应用求出结果．【解答】解：根据切的平面如图所示：或：故切去一个平面后得到的几何体为五棱柱和七面体；故选：A．【点评】本题考查的知识要点：平面的性质，主要考查学生的空间想象能力，属于基础题．16．（3分）正方体中ABCD﹣A1B1C1D1，过D1作直线l，若直线l与平面ABCD中的直线所成角的最小值为，且直线l与直线BC1所成角为，则满足条件的直线l的条数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】设立方体的棱长为1，过D1作直线l，直线l与平面ABCD中的直线所成角的最小值为，l与平面ABCD所成角为，DD1为轴的圆锥母线（母线与DD1成60°）是直线l的运动轨迹，连接D1A，由题意得D1A∥BC1，直线l与直线BC1所成角为，由此能求出两个圆锥相交得到两条交线．【解答】解：设立方体的棱长为1，过D1作直线l，若直线l与平面ABCD中的直线所成角的最小值为，即l与平面ABCD所成角为，DD1为轴的圆锥母线（母线与DD1成60°）是直线l的运动轨迹，连接D1A，由题意得D1A∥BC1，直线l与直线BC1所成角为，直线l与直线D1A所成角为．此时D1A为轴的圆锥母线（母线与D1A成45°）是直线l的运动轨迹，两个圆锥相交得到两条交线，故选：B．【点评】本题考查满足条件的直线的条数的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算南求解能力，是中档题．三、解答题17．（10分）在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，矩形ABCD绕AB旋转形成一个圆柱．如图，矩形ABCD绕AB顺时针旋转至ABC1D1，线段DD1的中点为M．（1）求证：AM⊥CD1；（2）求异面直线CM与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．【分析】（1）根据线面垂直，线线垂直的判定定理证明即可；（2）根据余弦定理求出异面直线CM与AD所成的角的大小即可．【解答】解：（1）证明：由题意知，AM⊥DD1，∵CD是圆柱的一条母线，∴CD垂直于圆柱的底面，则CD⊥AM，即AM⊥CD，又DD1∩CD＝D，且DD1，CD⫋平面CDD1，∴AM⊥平面CDD1，∵CD1⊆平面CDD1，∴AM⊥CD1；（2）连结BM，如图示：由题意知，BC∥AD，∴异面直线CM与AD所成的角等于直线CM与直线BC所成的角，在△BCM中，BC＝1，CM＝＝＝＝，BM＝＝＝＝，由余弦定理，得cos∠BCM＝＝＝，∴∠BCM＝arccos，故异面直线CM与AD所成的角的大小是arccos．【点评】本题考查了线面垂直，线线垂直的判定定理，余弦定理，考查转化思想，是中档题．18．（10分）早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球体积时，就创造性地提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的几何体，若在任意给定的等高处的截面积相等，则体积相等，在推导半径为R的球的体积公式时，可以先构造如图所示的圆柱体，圆柱体的底面半径和高都为R，其底面和半球体的底面同在平面α内，然后挖去一个圆锥后运用祖暅原理来推导，请你把右图补充完整并写出球的体积公式的证明．【分析】半球截面面积可以看成是在半径为R的圆面上挖去一个半径为l的同心圆所得的圆环的面积，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，利用祖暅原理可求解．【解答】如图所示，证明：如图（1）设平行于大圆且与大圆的距离为l的平面截半球所得圆面的半径为，于是截面面积，则S1可以看成是在半径为R的圆面上挖去一个半径为l的同心圆所得的圆环的面积，所以，取一个底面半径和高均为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与半球放在同一水平面α上，如图（2），用同一水平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面，可知圆环大圆半径为R，小圆半径为l，圆环面积，所以S1＝S2，则根据祖暅原理可得这两个几何体的体积相等，即，所以可得球的体积为．【点评】本题考查了用祖暅原理推导球的体积公式，属于中档题，读懂题意是解题关键．19．（10分）在立体几何讲授圆锥之前，为了让同学们对圆锥有直观的认识，善于动手的老师准备用铁皮自制一个无盖的圆锥形密封容器．（1）如果老师希望得到的容器的尺寸如图1所示，请问老师事先至少需要购买的铁皮的面积（假设购买的铁皮能没有损失地利用）；（2）当老师聚精会神做好该密封容器后，发现正在下雨，猛然想起气象学上用24小时内的降水在平地上的积水厚度（mm）来判断降雨程度，其中小雨（＜10mm）、中雨（10mm～25mm）、大雨（25mm～50mm）、暴雨（50mm～100mm），勤于思考的老师用刚刚做好的这个圆锥形容器接了24小时的雨水，得到雨水数据如图2所示，请你帮他判断一下这天降雨属于哪个等级？并请说明你的理由．【分析】（1）计算出圆锥的侧面积即为铁皮的面积，（2）计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解．【解答】解：（1）200mm＝2dm，300mm＝3dm，圆锥的半径为1dm，则圆锥的母线长为dm，则圆锥的侧面积为，所以老师事先至少需要购买的铁皮．（2）一个半径为1dm的圆面内的降雨充满一个底面半径为0.5dm，高为1.5dm的圆锥，所以积水厚度d＝，所以是中雨．【点评】本题考查圆锥的表面积和体积，属于中档题．20．（10分）在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是C1D1与AB的中点（1）求A1B1与截面A1ECF所成角的大小；（2）求点B到截面A1ECF的距离．【分析】（1）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，求得平面A1ECF的一个法向量为＝（1，2，1），又＝（0，a，0），利用向量法可求得线面角的正弦值；（2）由（1）知平面A1ECF的一个法向量为＝（1，2，1），又＝（0，，0），利用向量法可求得点B到平面的距离．【解答】解：（1）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则F（a，，0），B（a，a，0），C（0，a，0），A1（a，0，a），E（0，，0），B1（a，a，a），则＝（﹣a，，0），＝（0，，﹣a），＝（0，a，0），设平面A1ECF的一个法向量为＝（x，y，z），则，即，令x＝1，则y＝2，z＝1，所以平面A1ECF的一个法向量为＝（1，2，1），设A1B1与截面A1ECF所成角为θ，则sinθ＝＝＝＝，所以A1B1与截面A1ECF所成角