北京沙岭中学高三数学理模拟试题含解析

北京沙岭中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）（2013?长宁区一模）函数y=，x∈（﹣π，0）∪（0，π）的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．参考答案：考点：函数的图象．专题：数形结合．分析：根据三角函数图象及其性质，利用排除法即可．解答：∵是偶函数，排除A，当x=2时，，排除C，当时，，排除B、C，故选D．点评：本题考查了三角函数的图象问题，注意利用函数图象的寄偶性及特殊点来判断．2.已知，若是的充分不必要条件，则正实数的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：D3.若x，y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值是（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2参考答案：B【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化z=3x﹣y为y=3x﹣z，由图可知，当直线y=3x﹣z过A（0，4）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值．∴zmax=3×0﹣4=﹣4．故选：B．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．4.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当时，（m为常数），则的值为（

）A．4

B．－4

C．6

D．－6参考答案：B5.已知集合M=|x|2x﹣3＜1|，集合N=|x|﹣1＜x＜3|，则M∩N=(

) A．M B．N C．|x|﹣1＜x＜2| D．|x|x＜3|参考答案：C考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出M中不等式的解集确定出M，找出M与N的交集即可．解答： 解：由M中不等式解得：x＜2，即M={x|x＜2}，∵N={x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N={x|﹣1＜x＜2}，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．6.在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于()．A．4

B．8

C．16

D．32参考答案：C7.已知某几何体的三视图如图（正视图的弧线是半圆），根据图中标出数据，这个几何体的体积是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A

8.已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C9.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝-2x上，则sin2θ＝()A．－

B．

C．－或

D．参考答案：A10.等比数列中，，则数列的前8项和等于

（

）A．6

B．5

C．4

D．3参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图所示：正方体中，异面直线与所成角的大小等于．参考答案：12.抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于A、B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝

.参考答案：试题分析:抛物线的准线方程为,设两点的纵坐标为,由双曲线方程可知,焦点到准线的距离为.由等边三角形的特征可知,即,可得.故答案应填.考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.双曲线的标准方程与几何性质.【思路点晴】本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质,双曲性的标准方程与几何性质.本题的关键是找出关于的方程.将抛物线的准线与双曲线结合,又转化为直线与双曲线的位置关系的问题.(对于直线与双曲线(圆锥曲线)的位置关系.常用到设而不求的数学思想方法,即假设直线与双曲线(圆锥曲线)的交点坐标,利用韦达定理,弦长公式来构造等式).再运用数形结合,利用等边三角形的牲征得出关于的方程.13.已知为虚数单位），则＝

．参考答案：14.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1=﹣2016，，则S2017=．参考答案：0【考点】等差数列的前n项和．【分析】推导出{}是首项为﹣2016，公差为1的等差数列，由此能求出结果．【解答】解：∵设等差数列前n项和为Sn=An2+Bn，则=An+B，∴{}成等差数列．∵a1=﹣2016，，∴{}是首项为﹣2016，公差为1的等差数列，∴=﹣2016+2016×1=0，∴S2017=0．故答案为：0．15.已知实数x，y满足，则x2+y2的最大值为．参考答案：13【考点】简单线性规划的应用；简单线性规划．【专题】计算题．【分析】先根据条件画出可行域，z=x2+y2，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内的点到原点距离的最值，从而得到z最大值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，而z=x2+y2，表示可行域内点到原点距离OP的平方，点P在黄色区域里运动时，点P跑到点C时OP最大当在点C（2，3）时，z最大，最大值为22+32=13，故答案为：13【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．解决时，首先要解决的问题是明白题目中目标函数的意义．16.已知tanα=2，则=

．参考答案：【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：∵tanα=2，则==，故答案为：．17.已知首项与公比相等的等比数列{an}中，若m，n∈N*，满足，则的最小值为______．参考答案：1【分析】将写成等比数列基本量和的形式，由可得；从而利用，根据基本不等式求得结果.【详解】设等比数列公比为，则首项由得：则：

则（当且仅当，即时取等号）本题正确结果：1

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分13分)设为数列的前项和，且有(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)若数列是单调递增数列，求的取值范围.参考答案：(Ⅰ)当时，由已知

…①于是

…②由②－①得

……③于是

……④由④－③得

……⑤上式表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列.

4分又由①有，所以,由③有，，所以，．所以，.

8分(Ⅱ)数列是单调递增数列且对任意的成立．且．所以的取值范围是

13分19.（13分）已知a∈R，函数f（x）=xln（﹣x）+（a﹣1）x．（Ⅰ）若f（x）在x=﹣e处取得极值，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值g（a）．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．【专题】综合题．【分析】（I）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．（II）先研究f（x）在区间上的单调性，再利用导数求解f（x）在区间上的最大值问题即可，故只要先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值即得．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=ln（﹣x）+a，由题意知x=﹣e时，f'（x）=0，即：f'（﹣e）=1+a=0，∴a=﹣1∴f（x）=xln（﹣x）﹣2x，f'（x）=ln（﹣x）﹣1令f'（x）=ln（﹣x）﹣1=0，可得x=﹣e令f'（x）=ln（﹣x）﹣1＞0，可得x＜﹣e令f'（x）=ln（﹣x）﹣1＜0，可得﹣e＜x＜0∴f（x）在（﹣∞，﹣e）上是增函数，在（﹣e，0）上是减函数，（Ⅱ）f'（x）=ln（﹣x）+a，∵x∈，∴﹣x∈，∴ln（﹣x）∈，①若a≥1，则f'（x）=ln（﹣x）+a≥0恒成立，此时f（x）在上是增函数，fmax（x）=f（﹣e﹣1）=（2﹣a）e﹣1②若a≤﹣2，则f'（x）=ln（﹣x）+a≤0恒成立，此时f（x）在上是减函数，fmax（x）=f（﹣e2）=﹣（a+1）e2③若﹣2＜a＜1，则令f'（x）=ln（﹣x）+a=0可得x=﹣e﹣a∵f'（x）=ln（﹣x）+a是减函数，∴当x＜﹣e﹣a时f'（x）＞0，当x＞﹣e﹣a时f'（x）＜0∴f（x）在（﹣∞，﹣e）上左增右减，∴fmax（x）=f（﹣e﹣a）=e﹣a，（13分）综上：（14分）【点评】本小题主要考查函数的导数，单调性，利用导数求闭区间上函数的最值等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力，中档题．20.已知函数．（I）判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若y=xf（x）+的图象总在直线y=a的上方，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）与的图象有公共点，且在公共点处的切线相同，求实数m的值．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；综合题．【分析】（1）先对函数进行求导运算，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减，可求得单调区间．（2）将将函数f（x）的解析式代入，可将问题转化为不等式对于x＞0恒成立，然后g（x）=lnx+后进行求导，根据导函数的正负情况判断函数的单调性进而可得到函数g（x）的最小值，从而得到答案．（3）将函数f（x）与的图象有公共点转化为有解，再由y=lnx与在公共点（x0，y0）处的切线相同可得到同时成立，进而可求出x0的值，从而得到m的值．【解答】解：（Ⅰ）可得．当0＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；当e＜x时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．（Ⅱ）依题意，转化为不等式对于x＞0恒成立令g（x）=lnx+，则g'（x）=当x＞1时，因为g'（x）=＞0，g（x）是（1，+∞）上的增函数，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）是（0，1）上的减函数，所以g（x）的最小值是g（1）=1，从而a的取值范围是（﹣∞，1）．（Ⅲ）转化为，y=lnx与在公共点（x0，y0）处的切线相同由题意知∴解得：x0=1，或x0=﹣3（舍去），代入第一式，即有．【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减．21.（12分）如图所示，在△ABC，已知,，AC边上的中线,求：（1）BC的长度；

（2）的值。参考答案：22.已知几何体A—BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求此几何体的体积V的大小;（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQBQ并说明理由（一、二、五中必做，其它学校选做）.

参考答案：解析：（1）由该几何体的三视图知面,且EC=BC=AC=4，BD=1，∴∴．即该几何体的体积V为16．

-----------3分（2）解法1:过点B作BF//ED交EC于F，连结AF，则∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．-------5分在△BAF中，∵AB=，BF=AF=．∴．即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．------------------------------------------7分解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）∴，∴

∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．（3）解法1:在DE上存在点Q，使得AQBQ.--------------------------------------------------8分取BC中点O，过点O作OQ⊥DE于点Q，则点Q满足题设.连结EO、OD，在Rt△ECO和Rt△OBD中∵

∴∽

∴∵

∴

∴．-----------------10分∵,∴