三角形的中位线修改

三角形的中位线

ABCDE美丽校园

在一次数学活动课上，需要测量出BC的距离，只有一个小于BC长的带刻度的皮尺，你有什么好的办法？初二某位同学给出了如下方案：若D,E分别是AB,AC的中点,则测出DE的长,就可以求出池塘边两点BC的长.你知道为什么吗?出谋划策温馨提示连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线三角形有三条中位线

∵D、E分别为AB、AC的中点∴DE为△

ABC的中位线三角形的中位线和三角形的中线不同EDFACB获取新知你还能画出几条三角形的中位线？三角形中位线的两端点都是三角形边的中点。三角形中线只有一个端点是边的中点，另一端点是三角形的一个顶点。ABCDEF···中位线与中线的区别如图：

DE为△ABC的中位线，DE与BC具有怎样的数量关系和位置关系呢？BACDE观察猜想

1、任意画一个三角形并画出它的一条中位线2、量出中位线和第三边的长度3、量出所画图形中一组同位角的度数4、你发现了什么？动手做一做方法一测量法CEDBA55°55°FDE∥BCDE=BC方法二

1、剪一个三角形，记作△

ABC2、找到AB和AC的中点D、

E，连结DE3

、沿DE把△ABC分割成两部分4

、把分割开的两部分重新拼接5、新拼接的四边形是什么特殊的四边形？裁剪拼接法思考：你能发现ＤＥ与ＢＣ之间的位置关系和数量关系？拼接的过程如图所示：实际上是将△ADE绕点E旋转180度后得到△CEF,于是拼接成四边形BCFD,那么四边形BCFD是什么特殊的四边形呢？试着说明理由解：四边形BCFD是平行四边形探索推证FABCDEBFDACE猜一猜：△ABC的中位线DE与BC的关系怎样？（从位置和数量关系猜想）获取新知DE∥BC,即：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。BFDACE

已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点.求证：DE∥BC，

三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.

证明：如图，以E为旋转中心，把△ADE绕点E按顺时针方向旋转1800，得到△CEF,则D、E、F同在一直线上，DE=EF,且△ADE≌△CFE又∵BD=AD=CF∴四边形BCFD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)∴DE∥BC且DE=1/2BC∴∠ADE=∠F,AD=CF∴AD∥CF三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半ABCDEF已知：在△ABC中，DE是△ABC的中位线求证：DE∥BC，且DE=1/2BC。

证法2：如图，延长DE到F，使EF=DE，连结CF.∵DE=EF、∠AED=∠CEF、AE=EC∴△ADE≌△CFE∴AD=FC、∠A=∠ECF∴AB∥FC又AD=DB∴BD∥CF且BD=CF∴四边形BCFD是平行四边形∴DE∥BC且DE=1/2BC证法3：过点C作AB的平行线交DE的延长线于F∵CF∥AB，∴∠A=∠ECF又AE=EC，∠AED=∠CEF

∴△ADE≌△CFE∴AD=FC又DB=AD，∴DB∥FC且DB=FC∴四边形BCFD是平行四边形∴DE∥BC且DE=1/2BC证法4：如图，延长DE到F，使EF=DE，连结CF.AF、DC∵AE=EC,EF=DE∴四边形ADCF是平行四边形∴AD∥FC且AD=FC又D为AB中点，∴DB=FC∴BD=CF且DB∥FC∴四边形BCFD是平行四边形∴DE∥BC且DE=1/2BC

ABCEDFABCEDF三角形中位线定理

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.几何语言：∵DE是△ABC的中位线（或AD=BD,AE=CE)∴DE∥BC,且DE=1/2BC(三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半)CEDBA①证明平行问题②证明一条线段是另一条线段的两倍或一半用途ABCDE初三某位同学给出了如下方案：若D,E分别是AB,AC的中点,则测出DE的长,就可以求出池塘边两点BC的长.你知道为什么吗?问题解决ACBEDF初试身手练习1.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点若∠ADE=65°，则∠B=

度，为什么？若BC=8cm，则DE=

cm，为什么？654若AC=4cm,BC=6cm，AB=8cm，则△DEF的周长=______练习1.如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点9cm若△ABC的周长为24，△DEF的周长是_____121、三角形三条中位线围成的三角形的周长与原三角形的周长的关系？探究活动二2、三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角形的面积的关系？图中有_____个平行四边形若△ABC的面积为24，△DEF的面积是_____36ABCDEF(1)△DEF的周长与△ABC的周长有什么关系?(2)面积呢?△DEF的周长是

△ABC周长的一半四分之一在三角形ＡＢＣ中，Ｄ、E、F为ＡＢ、ＡＣ、ＢＣ的中点，则探索研究：

已知：△ABC的周长为a，面积为s，连接各边中点得△A1B1C1，再连接△A1B1C1各边中点得△A2B2C2……，则（１）第３次连接所得△A3B3C3的周长＝＿＿＿＿,面积＝＿＿＿＿（２）第n次连接所得△AnBnCn的周长＝＿＿＿＿，面积＝＿＿＿＿

ABC次序123……n所得三角形周长……所得三角形面积……A１B１C１A２B２C２分析填表：

通过刚才的学习，我们探索并发现连接任意三角形三边中点所得的三角形的部分规律，对于任意四边形，连接四边中点所得到的四边形又有何规律呢？请你动手画一画！ABCDEFGHCEDBA探究活动三已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.ABCDEFGH证明：如图，连接AC∵EF是△ABC的中位线同理得：

∴四边形EFGH是平行四边形①有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形②有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线探究活动三在四边形ABCD中，AB=CD，M，N，P分别AD，BC，BD的中点。

求证：△PMN是等腰三角形挑战自我回顾：

连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线性质： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。三角形的中位线与中线的区别。中位线：中点与中点的连线。中线：顶点与中点的连线。1、如图：EF是△ABC的中位线，BC=20，则EF=（）

;练习10

2、如图：D、E、F分别是△ABC各边的中点，（1）图中有——个平行四边形；（2）图中与△DEF全等的三角形有——个；（3）若DE=4，则可求得线段——=8；（4）若△ABC的周长为18，面积为24，则△DEF的周长为------，面积为——；ABＣDEFABCDFE3.如图,在∆ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,AC=12,BC=16.则四边形DECF的周长为_______.285、在△ABC中，中线CE、BF相交点O、M、N分别是OB、OC的中点，则EF和MN的关系是()平行且相等NBCAFEOM6.已知:如图,DE,EF是△ABC的两条中位线.求证:四边形BFED是平行四边形.7.如图,DE是△ABC的中位线,AF是BC边上的中线,DE和AF交于点O.求证:DE与AF互相平分.DBCFEA(第1题)FEDCBAO(第2题)8、已知：如图，△ABC是锐角三角形。分别以AB，AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边三角形CAN，D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE，FE，求证：DE=FEANMFEDCB学以致用:（1）你能把一块三角形蛋糕平均分给四个人吗？

（2）若要求把这块蛋糕分成大小、形状均相等的四块，该怎样分呢？

三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半2、三角形中位线定理

１、三角形中位线的定义3、会利用三角形中位线定理解决一些实际问题谈谈收获再见三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半ABCDEF已知：在△ABC中，DE是△ABC的中位线求证：DE∥BC，且DE=1/2BC。

证法2：如图，延长DE到F，使EF=DE，连结CF.∵DE=EF、∠AED=∠CEF、AE=EC∴△ADE≌△CFE∴AD=FC、∠A=∠ECF∴AB∥FC又AD=DB∴BD∥CF且BD=CF∴四边形BCFD是平行四边形∴DE∥BC且DE=1/2BC证法3：过点C作AB的平行线交DE的延长线于F∵CF∥AB，∴∠A=∠ECF又AE=EC，∠AED=∠CEF

∴△ADE≌△CFE∴AD=FC又DB=AD，∴DB∥FC且DB=FC∴四边形BCFD是平行四边形∴DE∥BC且DE=1/2BC证法4：如图，延长DE到F，使EF=DE，连结CF.AF、DC∵AE=EC,EF=DE∴四边形ADCF是平行四边形∴AD∥FC且AD=FC又D为AB中点，∴DB=FC∴BD=CF且DB∥FC∴四边形BCFD是平行四边形∴DE∥BC且DE=1/2BC

ABCEDFABCEDF在四边形ABCD中，AB=CD，M，N，P分别AD，BC，BD的中点。

求证：△PMN是等腰三角形挑战自我探索研究：

已知：△ABC的周长为a，面积为s，连接各边中点得△A1B1C1，再连接△A1B1C1各边中点得△A2B2C2……，则（１）第３次连接所得△A3B3C3的周长＝＿＿＿＿,面积＝＿＿＿＿（２）第n次连接所得△AnBnCn的周长＝＿＿＿＿，面积＝＿＿＿＿

ABC次序123……n所得三角形周长……所得三角形面积……A１B１C１A２B２C２分析填表：已知△ABC中，AC=6,AB=8,BC=10，则

如图，A1、B