光波叠加和计算机模拟

光波叠加和计算机模拟

第一章光波的概述

第一节波的基本概念....................................2

第二节波的性质........................................2

第三节波的表示........................................2

第二章光波的叠加原理及其成立条件

第一节光波的独立传播定律..............................5

第二节光波的叠加原理....................................5

第三章同频率两列光波的叠加

第一节光波叠加的方法..................................6

第二节两列同频率光波叠加的一般分析及干涉的概念......7

第三节两列同频率，同向振动的平面波叠加...............10

第四节两列同频率，同向振动反向传播的平面波叠加......15

第五节两列同频率，振动方向互相垂直，同向传播的平面波叠

加......18

第四章不同频率两列光波的叠加

第一节两列频率相近，同向振动，同向传播的平面波叠加…23

第二节两列不同频率，同向振动，反向传播的平面波叠加…24

第三节两列不同频率，传播方向相同，振动方向相互垂直的平面

波叠加•••26

第五章拍频，李萨如图形

第一节拍频.........................................28

第二节李萨如图形...................................31

附录

附录一同频率光波叠加相关程序.........................44

附录二不同频率光波叠加相关程序.......................52

第一章光波的概述

第一节波的基本概念

波是自然界中物质运动的一种相当普遍的形式，如声波、电磁波、光

波等。扰动在空间的传播形成了波，引起扰动的振源称为波源，扰动所达

到的空间区域称为波场。

在波动中，如果空间各点的振动物理量都作同样频率的简谐振动，则相

应的波称为单色简谐波。这是一种理想模型，它的引入对处理波动问题带

来极大的简化和方便。实际中的波动可以看做是不同频率的单色简谐波的

叠加。

第二节波的性质

根据所引起的场点振动特性的不同，可将波动分为两类，纵波和横波。

纵波是指振动方向与传播方向相同的波动，如声波；其特点是场点的振动

状态相对于传播方向具有对称性，即在所有通过传播方向所作的截面内具

有相同的振动状态。横波是指振动方向与传播方向正交的波动，如电磁波,

光波；其特点是振动状态相对于传播方向不具有轴对称性，即在所有通过

传播方向所作的截面内的振动状态可能各部相同。这种振动状态相对于传

播方向不对称的现象称为波的偏振。偏振是横波的基本属性。

第三节波的表示

一般波的标量表达式为

E(P,t)-E0(P)cos[cot-^(P)](1.3.1)

式中P表示空间中的任意一点，E仍为振幅的空间分布，0为圆频率，姒P)

为相位的空间分布。

在光波场中，空间中相位网相同的点所组成的平面或曲面，这是波的等相

位面，称作波面或波阵面。光波安波面分类，可分为平面波、球面波。

1.平面波

平面波具有下列特征：

(1)振幅E阳为常数；

(2)空间相位夕(P)为直角坐标的线性函数，即

(p(P)=k-r+(p()=kxx+kvy+k.z+(p^(1.3.2)

式中左为波矢量，其方向指向波动传播方向，其数值左=@称为波的传播常

X

数或传播数。kr-kxx+kvy+k.z,h,如仁分别为波矢量A在x,y,z方向的分量。

若为波矢量斤与x,yz轴正向的夹角分别为a,必，如图1.1所示，则

kx-kcosa,kv-kcos/3,k.-kcosy;常数供)为初相位，即t=0时原点的相位。波

的余弦表达式为

E(r,t)=En(r)cos(k-r-ax+(p^(1.3.3)

波面的条件为9(P)=,即Gl=co〃s/,表示与波矢垂直的一系列平面，即

平面波的波面是平面，如图1.2所示。

2.球面波

球面波的主要特征

(1)振幅成尸片名，场点P处的振幅与该点到波源的距离成反比，即振幅随

r

•、一.、,

r裳减。

(2)空间相位是球面对称的3(P)=b+%

球面波的余弦表达式为"E)="cos(kr—cot+%)

r

波面9(P)=什+%=co〃sE,即尸二常数，代表一个球面，即球面波的波面是球

面。如图L3所示。

2

由欧拉公式知道，三角函数与复数间有如下的关系

e±,a=cosa±zsina(1.3.4)

可得cosa={Ree士施},即一实函数可表示为一复函数的实部。将此方法应用于

实波函数

E(r,t)=E0(r)cos(£-r—cot+(p0)

可得演兀/)=Re{Eo仞exp田(G•>+%)]}(1.3.5)

通常习惯将指数中皿项的符号取为符号，依这种规定

-,<a

E(r,t)=Re{En(r)exp[/(^-r+(p0)]e}(1.3.6)

上式中括号{}内的函数称为复波函数，常用了①”表示。在考虑单色简谐波

的波场时;各场点复波函数中的时间因子e*都是相同的，故可以将它分离

出来，将剩余的空间依赖项记为E(r,)=E0(r)exp[i(kr+(p0)]

(1.3.7)

瓦尸)称为波的复振幅，它的模即实数振幅E0⑺，它的辐角是exp[i必》+%)]的

指数项K7+外,空间依赖项exp底⑺称为空间相因子(简称相因子)。

3

第二章光波的叠加原理及其成立条件

第一节光波的独立传播定律

如果两颗小球发生碰撞，那么它们的运动状态都将改变，都会偏离原来

的运动方向，但两列波相遇，情况则不同。例如，两列水波相遇，在重叠

的区域，波的状态有所改变，但相遇之后，还能保持各自的状态不变；黑

夜中两个探照灯的光束相遇后，并没有改变光束的方向和强度；在乐队的

演奏中，我们仍能分辨各种乐器发出的音调。所以波在相遇过程中和相遇

之后，并没有因为彼此之间的相互作用而改变其固有的特征。这就是波的

独立传播定律。

光波的独立传播定律从不同波源发出的波在空间相遇时，如果振动不十

分强烈，各个波将保持各自的特性不变，继续传播，相互之间没有影响。

第二节光波的叠加原理

不同的光波在相遇区域，振动将互相叠加。

光波的叠加原理在两列或多列光波的交叠区域，波场中某点的振动等

于各个光波单独存在时在该点所产生的振动之和。振动量通常是矢量，所

以一般情况下叠加原理中的“和”是矢量和，即E(r,t)=+E2(r,t)+E.(r,t)+…

式中心E2,瓦…分别表示各列波单独存在时某时刻t在某一确定场点r处产

生的振动矢量，月表示该场点在该时刻的合扰动的振动矢量。对光波，振动

矢量通常取为电场强度矢量。

对于标量波，或者只考虑矢量波的某一分量而按标量波进行处理时，上

式中的矢量和简化为代数和：

=耳（7,〃+七2.，〃+//〃+…

4

成立的条件：在线性介质中，而且振动不是十分剧烈。在振动很强烈时,

线性介质会变为非线性的。

第三章同频率两列光波的叠加

第一节光波的叠加方法

首先以讨论同频率、同振动方向的光波叠加方法为例。这是一种最简

单，也是光学中最常见的情况。

1.代数法

两列同频率的光波分别口」表示为E]=El0cos(cot-a)和

E2=E20cos(cot—,则合振动

E=+E2=(E10cos(p\+E20COS(p2)cosco/+(E10sin(p、+sin(p2)sincot

=5(coscotcos(p+sincotsin(p)

-Eocos(co/-(p)(3.1.1)

其中E(：=E；。+基+2与/cos®；-0)，

£sin(p、4-£sin(p

tanQ=10202

£10cos(p、+E20COS(p2

2.复数法

将上述两列光波用复指数表示，E㈤和

iea

E2=旦(/如")=U2e-,

其中口=昂*,U2=o则合振动

i(a

£=E,+E2=<E涓0+/2心依小=(U\+U2)e-(3.1.2)

合振动的复振幅为0=01+u2=E,o*+E20e^=E0*o

式中：

2i(

u=(U.+U2)(U；+U[)=E^+E；o+EwE2Q[e^>+

=EJQ+E；()+2£1O£'2OCOS(p

5

tane=Egsin/+后20$抽。2

E10cos+E20COS(p2

3.振幅矢量法

复振幅口e-R〜都是复数，可在复平面上用矢量来表示，如图

3.1所示。求。=口+口，就是求复数。力所对应的两个矢量的和。这种方

法比较直观，特别对于多列波的叠加，处理起来更加方便，例如求0=6%,

7=1

其中将各列波在复平面上用矢量表示出来，依次首尾相接，相

邻两矢量U，UM之间的夹角就是它们之间的相位差/。川H，合振幅

矢量从第一矢量的起点指向最后一个矢量的终点。

图3.1两个振幅矢量相加

第二节同频率光波叠加的一般分析及干涉概念

1.同频率光波叠加的振幅

设两列同频率光波在其波场交叠去某点P各自产生的波的表达式分别

为

E](P)=El0(P)cos[(yr-(pt(P)](3.2.1)

E2(P)=E20(P)cos[ty/-^2(P)](3.2.2)

P点合振幅的复振幅矢量为

E(P)=Ei(P)+E2(P)=Ei。(P)cos[①八例(P)l+£20(P)cos[^/-^2(P)l=E0(P)cos[cot-(p0(P)]

6

(3.2.3)

式中E；(P)=“(尸)+E；o(P)+2%E20cos血(P)_(P\(P)]

tan(p(P):用0sin夕仍+&)sin夕2(为

°Ewcos(p](P)+E20COS(p2(P)

当科旧-夕仍=2碗/=0,±1,±2…时，波叠加的图形:

当@2（PH>I（P）=2knll'h标量波的棒加关系图

3

2

UgJo

-8-6-4-202468

图3.2%（P）-四（尸）=2版■时，波的叠加图（程序见附录1.1）

当"刃-夕仍=（2k+；）兀，左=0,±1,±2…时一，波叠加的图形：

图3.3%（尸）-的（尸）=（2左+；）乃时，波的叠加图（程序见附录1.2）

当阳尊-。仍=（2左+1沅左=0,±L±2…时,波叠加的图形:

7

当。2（PH>I（P）=（2k+1）曲寸，标量波的叠加关系图

图3.4阳尸）-例（尸）=（2无+1）乃时,波的叠加图（附录1.3）

当昂（P）,4.（P）为常数时，的（。）-?（P）=&N•时，波叠波与「的关系如图

X

3.5

U（P）与r关系图

3i--------------------------------------------:-----------------------------

2.5

2

1.5

_1\/\-

CL''।

三0.5/

0

-0.5

-1\/\/

-1.51-------------------------：---------------------------------------------------------

-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81

r（mm）

图3.5%（尸）-/（尸）=四件，U（P）与r的关系（程序见附录1.4）

2.同频率光波叠加的光强

8

光场中某处的平均能流密度称为该点的光强，用I来表示。并定义

/(P)=[E°(P)]2,即某点光强等于振幅的平方。若线(P)用复数表示，则

I(P)=E0(P)£(P),E；(P)是皖(尸)的复数共频。P点的光强为

22

I(P)=[E0(P)]=[Ei0(P)+Ew(P)]

=益(P)+E；°(P)+2石。(尸)/(尸)cos取(尸)二(P)]

(3.2.4)

令人(尸)=石泣尸)/(尸)=&o(尸),3(尸)=%(尸)一(P)

"(P)和人(尸)分别表示两列波单独在P点产生的光强，(5(P)表示两波在P点

的相差，则上式可写成

/(P)=I[(P)+/2(P)+2j/1(P)，2(P)cos3(P)(3.2.5)

若两列波的叠加区波场的强度分布不是简单地等于每列波单独产生的

强度之和，一般地/(P)w/|(P)+/2(P)，那么这两列波发生了干涉。对干涉的贡

献来自(3.2.5)式中的第三项——干涉项。为使该项具有不为零的稳定贡

献，对给定点P，相差3(尸)恒定，不随时间变化。

第三节两列同频率、同向振动的平面波的叠加

1.同频率、同向振动的平面波叠加

设两列同频率，沿z轴方向传播，振幅分别为g。、E20,初相位为外。、外。

两列光波的叠加情况。两列波的表达式为

Ei(z,t)=E10exp[z(fe-ca+(pwy\(3.3.1)

E2(z,t)=E20exp[z(fc-ca+go)](3.3.2)

合成波为E(zj)=Zo+E20-Eoexp[/(fe-ca+(p0)](3.3.3)

9

，，—

式中与=E、o+E?o+2£10£20cos（^2o夕io）

fian仰-—刍。疝®+—E20sm%

E10cos（p、+E20COS（p2

当昂=/时，3)笆。+%=2昂c°s(T)c°s(—+—)

=2gocos（四詈9）exp[/（fe-co/+例。；%。）]

(3.3.4)

图3.6是位相差为(的两列振幅相等的波的叠加图。

图3.6位相差为9的两列波叠加(程序见附录1.5)

当用。工圆时,

E(z,t)-Ew+E20-2E]ocos产。2。“，)exp[7(%z-cot+""；)]+(E20-Ew)exp[z(fe-co/+%)

(3.3.5)

2.同频率、同向振动的平面波叠加的光强

由于这两列波相位差恒定，所以两列波发生了干涉。由公式(2.2.4)

10

得到光强分布为

/=^10+^20+2£|0后20COS（020-910）

=，10+120+2j/］（）/20COS”?。—910）（3.3.6）

式中金、金分别为两列波的光强。

当020-Pio=2k%,（m=0,±1,±2…）时,光强I为极大值：

IM=E；。+E；0+2E10E20=（Eg+E2）,这时两列波发生了相长干涉

当。20一910=（2k%+l）,（/M=0,±1,±2---）时,光强I为极小值：

Im=£：0+£；0—2£■20=位|0—£20）2,这时两歹！J波发生了相消干涉。

当/io=Ao=，0时，/=2/（）+2/（）cos"?。-夕1（））=4/（）cos产112），关系如图3.7

图3.7光强与位相差的关系（程序见附录1.6）

3.衬比度

当光波发生干涉，通过实验可观察到干涉图样是明暗变化的条纹图样。

11

为反映其明暗对比的鲜明程度，引入衬比度(又称反衬度、对比度或可见

度)这一概念，其定义为

PJ"”"(3.3.5)

且V值越大，条纹明暗对比越鲜明、越清晰。当/,“=(),即干涉极

弱处完全消光，这时忆=1;当*=/,“，即干涉场中光强一片均匀，条纹完全

消失，这时忆=0。

当两列波的波矢量的值不相等时，即女尸公，由公式(224)得，光

强的分布为

I=篇）++2Ei0E20cos［（左2—占）z+（Pio一Pio】（3.3.6）

当（左2-吊）z=2m兀,m=0,±1,±2…时,光强最小，

="10+Go—2goE2OCOSW20—%0）（3.3.7）

当（左2-左1"=2（加+1）%,加=0,±1,±2•一时,光强最大,

1M=+&0+2刍（）E20cos（。20—夕］0）（3.3.8）

将公式（2.3.7）、（2.3.8）代入公式（2.3.5）,得到

2玛0后20cos(夕20一夕10)2、I20

COS（^?20—。10）

用0+七20/10+Ao

（3.3.9）

决定反衬度(可见度或衬比度)的因素：

(1)振幅比：振幅相差越大，衬比度越差。关系如下图3.8

(2)相位差：相位差越大，条纹间距密集。由于人眼的分辨率为0.1mm,

条纹太密集，人眼观察不到，反衬度就低。

12

衬比度与振幅比关系

0.55

0.5

0.45

0.4

0.35

出0.3

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

12345678910

振幅比

(a)当相位差为?时，振幅比从1至U10,衬比度的变化(程序见附录1.7)

(b)当相位差为寸，振幅比从1到100,衬比度的变化(程序见附录1.8)

图3.8衬比度与振幅的关系

从图3.8看出，当相同相位差时，两列振幅比小时，衬比度衰减慢，振幅比

大时，衬比度衰减快。

13

衬比度与位相差关系

0.8

0.6

0.4

0.2

>0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1

68

5

图3.9当昂=2马=3时，衬比度与位相差关系(程序见附录1.9)

图3.9说明：衬比度随位相差作周期性变化。利用衬比度，将干涉一般公式

(3.3.6)写为

/(P)=+夕cos3(P)](3.3.10)

上式中7+A表示光场中P点附近的平均光强，八。s，5(P)表示由于干涉效

应所产生

的实际光强在其平均值上下的变化。

光强与衬比度关系

00.10.20.30.40.50.60.70.80.91

衬比度

14

图3.10当位相差为97=2时，光强与衬比度的关系(程序见附录1.10)

6

从图3.10得出当相位差和平均光强一定时，光强与衬比度成线性关系。

4.干涉的应用

在实际应用中，常利用干涉图样来测定平面的平整度，测量微小物体

的厚度或直径，测量球面的曲率半径，物体的折射率，光波的波长等.

第四节两列同频率、同向振动、反向传播的平面波的叠加

设两列波片,马的传播方向分别沿z轴的负方向和正方向(图3.11),则

%=-£。对第一列波，使其初相的o=O，则波函数为EG/XMoCos伏z-面)

(3.4.1)

设两列波的初相之差为%=仍。-%°,则第二列波的波函数为

E2(z,t)=E20cos(-kz-cot+=E20cos(kz+cot—30)(3.4.2)

▲

E,

E

--------2---►z

o

图3.11光驻波的形成

设昂=之0,合成后的波为

E(z,t)=E^zft)+E2(zft)

=Ei。cos(Az-cot)+E10cos(Az+①/-访)

=2瓦0cos(Az—^-)cos(①，—^-)

(3.4.3)

上式中第二项cos(①”令)表明波场中任一点仍做角频率为。的简谐振动，而

第一项的绝对值则表示坐标为z处的振动振幅，将此振幅记为舔⑶，即有

£0(z)=|2£10cos(fe--^-)|(3.4.4)

从上式可知，各点的振幅不再是常数，随空间位置z的变化而变化。当

心+与=加%,(加=0,±1,±2…)时，振幅Eo(z)取得最大值2%,这些点称为波腹。

当上z+与=("?+g)7r/»7=0,±1,±2…)时，振幅Eo(z)取得最小值零，这些点称为

15

波节。

波腹与波节相间分布，相邻波腹或波节的间距都为白如图3.12

图3.12品="时合成波的振幅分布

像这种频率和振幅均相同、振动方向一致、传播方向相反的两列波叠加

后形成的波，我们称之为驻波。若忌，当。，以上讨论的驻波的各种主要结

论依然成立，不同是波节处的振幅不再为零，而是某一极小值。

当3=0时，不同时刻驻波图（图中pi表示"，下同）

图3.133=0时，不同时刻驻波图（程序见附录1.11）

16

当，后时，不同时刻驻波图:

图3.14当6=工时，不同时刻驻波图（程序见附录1.12）

3

当6=至时，不同时刻驻波图

3

图3.15当6=?时一，不同时刻驻波图（程序见附录1.13）

17

比较图3.13,3.14,3.15,得出当位相差不同时，不同时刻波的变化规律是相

同的；同一时刻时，不同位相差所对应的合成波最大振幅是不同的。

图3.15t=l时刻，在z=0平面，位相差与E的关系(程序见附录1.13)

图3.15表示在某一时刻，z的某一平面上，E随位相差的增大而做周期性变

化。

第五节两列同频率、振动方向互相垂直、同向传播的平面波的叠加

取互相垂直的两个振动方向分别为x轴和y轴，波的传播方向为z。取

9*o=。，并记y轴振动相对于x轴振动的相差为＜5=%-0V，

则x,y方向的矢量波函数分别为纥(z,/)=4cos(Az-.)(3.5.1)

E,z,t)=cos(fe-cot+6)(3.5.2)

波场中任意位置和时刻的合振动为E(z,/)=殂(z,f)+阳(z,/),ij分别表示x,y

轴方向的单位向量。

因为两列波均沿z方向等速传播，故其合成波亦沿同方向沿同方向以

18

同样的速度传播，且合矢量月仍在孙平面内，即波仍保持其横波性。以。表

示与矢量与X轴正向所成的角，则有tanO=*=当竺竺竺©

Ex£vcos(o-6X)

(3.5.3)

可见，一般地说。的大小，即月在中平面内的指向将随位置z和时间t而变

化。设z为某一定值,由于余弦函数的周期性，b与3+2〃?%(加=±1,±2…)的结

E

果是相同的，我们在区间［-4,扪内讨论。(1)3=0,则tan6=」J,

EXQ

即tan。为一正常数。合矢量2位于第一、三象限中的一个确定平面,这种“光

称为线偏振光。合成波的振幅E=J琮+琮(3.5.4)

强度/=用+琢=/,.+/,

(3.5.5)

其中分别表示心£两列波的强度。

图3.163=0时，线偏振光(程序见附录1.14)

F

(2)d=乃，则tand=-q。合矢量与位于第二、四象限中的一个确定平面,

合成波也是线偏

振波，振幅和强度仍满足(3.5.4),(3.5.5)式。

19

线偏振光中Ex与Ey的关系曲线

3

3，।，।।

-2-1.5-1-0.500.511.52

Ex

图3.176=万时，线偏振光(程序见附录1.15)

(3)8则tan8=-tan(fe-cyZ)o因为Z是某一定值，。是t的函数，

24

即合矢量月的空间指高将随时间变化发生旋转。当取z=0时，

E

tan8=^Man@)(3.5.6)

4

。随t的增大而增大。当迎着光的传播方向(即z轴负方向)观察时，光矢

量后沿逆时针方向转动，这种旋向称为左旋。当Z为其他值时，光矢量也是

左旋的。将3=%代入(3.5.1),(3.5.2),并把(3.5.1),(3.5.2)等式两边分

2

别平方，两式相加得到

FP

旨2+(/'I

440

(3.5.7)

即合矢量与在孙平面上扫描出的轨迹是一个椭圆，其两半轴分别位于x

轴和y轴，两半轴长分别为羯和玛。。这种正好与xj轴重合的椭圆称为正

椭圆。由以上的分析我们把合成波称为左旋正椭圆偏振光。当邑=纥时，

合成光为左旋圆偏振光，如图3.18。由(356)得到。=初，即后以角速度①

匀角速度旋转。对椭圆偏振光，这种旋转地角速度则非恒量，与月的方位角

有关。

20

图3.183=。,左旋椭圆偏振光(程序见附录1.16)

2

P

(4)3=——,则tan6=—^tan(Az-")。分析与(3)类似,(3.5.3)式变为

24

P

tane=--Man3),。随t的增大而减小。所以当迎着光的传播方向观察时,

EXa

光矢量后点顺时针方向转动，这种旋向称为右旋，合矢量后在切平面上扫描

出的轨迹也是一个椭圆，轨迹方程与(3.5.7)相同，相应的光称为右旋正

椭圆偏振光,当纥=心时，合成光为右旋圆偏振光，如图3.19。

*'0

图3.193=--,右旋椭圆偏振光(程序见附录1.17)

2

(5)一般情况。由(3.5.1)得乙=cos/z-初)(3.5.8)

E、

21

EE

由(3.4.2)得——=cos(Zz-co/)cos<5-sin(fe-wZ)sin<5=——cos<5-sin(fe-co/)sin<5

44

(3.5.9)

ipE

将(3.4.9)转化为---(——cos<5----)=sin(Az-cot)(3.5.10)

sind4Ey,

分别将(3.4.8)和(3.4.10)等式两边平方，并相加得到

尸EEE

(—―)2+(——)2-2——-cosd=sin2<5(3.5.11)

4%E同

这是一个斜椭圆(两半轴方位不与XJ轴重合)的轨迹方程，相应的光称为

椭圆偏振光。当6=0,%,±&时，其结果与前面分析的一样。2的旋向仍可

2

利用(3.5.11)式进行分析，在0<3<厩sinb>0时椭圆是左旋的，在

-4<3<0或sinb<0时，椭圆是右旋的。0)<3<-,--<^<0,,

222

-〃<5(-三偏振光的图形见附录1.18-1.21

2

表3.1不同位相差所对应的叠加波图形

b=071o

位0<S<-S=-—<O<7T

222

相（左旋）（左旋）（左旋）

差

naiu九"w.m%

1O-O

图O

像

‘<1®。，。2。0；，，，，r»<<04■««<4A2f0.OfIC0«1

■9-tS-1。6004116t-10（4C4«4U002944C01,

6=»或一〃兀三八

位——<3<08^---71<6-

222

(右旋)

相(右旋)（右旋）（右旋）

差

22

从表3.1我们可以看出0<b<]与一卜<0,6后与b=!

与-2话的图像时相同，但旋度不同，前者是左旋，后者是右旋。

第四章不同频率两列光波的叠加

第一节两列频率相近、同振动、同向传播的平面波的叠加

设两列平面波均沿Z轴正方向传播，其振动方向相同，振幅皆为综，两列

波的传播数和角频率分别为占,外和左2,。2，取第一列波的初相为零，第二列

波相对于第一列波的初相差为心，则两列波的波函数分别

E[(z,Z)=E。cos(左]z-①")(4.1.1)

E2(zft)=E。COS(A2Z-co2t+&)(4.1.2)

任一时刻及位置波场中的合振动可表示为

E(z,t)=E,(z")+马(z")=2£0cos(弓z-1一今)cos(应一行/+与)(4.1.3)

中Ak=a―七,A0=例-gk=]k[+卜2),而=；(例+692)

设两列波频率相近，l|J|A6y|«co,\Ak\«k

则(4.1.3)式中第一项因子的变化要比第二项缓慢地多，因此可以把第二

项看做是高频载波，把第一项看做是对载波的低频调制。载波的角频率为

⑥,振幅为4=|2E°c。4z-竽-争，合成波的强度为

/(Z,f)=Z2=4曷cos2(昔Z-*/一£)=2E：[1+cos(/反-/0f-%)](4.1.4)

23

可见光强变化的时间角频率恰为-牡1，即参与合成的两列波的角频

率之差，其时间频率-当然也等于两波频率之差M-V』。一般把这种两列频

率相近的简谐波叠加时合成波的强度随时间作差频振荡的现象称为拍，而

将「M-匕|称为拍频。下图为某一时刻两波及其合成的波形图。

图4.1形成拍频的两个分量波（程序见附录2.1）

图4.2拍的形成（程序见附录2.2）

第二节两列不同频率，同向振动，传播方向相反的平面波叠加

24

设两列波为％区的传播方向分别沿z轴的正方向和负方向，频率分别为

州g,第一列波初相处.=0,第二列初相为3°,则两列波的相位差为

5=。20一810=。20两歹U波的实波函数口J写为

E[=gocos(%|Z—①/)(4.2.1)

E2=E20COS(-Z:2Z-co2t+3)=E20cos(左2?+a)2t-6)(4.2.2)

合成波为

E(z,t)=E]E2

cl/△左—3、.yACD3、._z.6/dco、

=2石1°cos(——cot+—)cos(A^z——/——)+A£cos(&z+—o)(4.2.3)

式中Ak=a-k?,\3=o)\-a)2

-1_1

A——(k、+左2),0=Q(①T+3、)

~ER-Ei。

当/=%时，E=2/cos0z-矶+g)cos而-等f-g),叠加波如图4.3

25

图4.3两列振幅相等不同频率的反向波叠加(程序见附录2.3)

比较图424.3得出：两波同向传播叠加的合成波变化规律和两列反向传播

叠加合成波变化规律是相同的，但图4.2合成波振幅变化比图4.3合成波振

幅变化大。

当E?o=Eio,公=尤时，E(z,f)=2&oCos(Az-弓-g)cos(3”今，叠加波的图4.4

图4.4当b=0时-，两列振幅、波矢相等的不同频率反向波叠加(程序见附

录2.4)

即当相位差一定时，/cos国-多为某一定值，合成波随位置作周期性变化。

第三节两列不同频率，传播方向相同，振动方向相互垂直的平面波叠加

设两列波为

Ex(z,t)=Ex。cos("[Z-①]E)(4.3.1)

Ev(z,t)=£\cos(k2z-co2t+3)(4.3.2)

26

F

由(4.3.1),(4.3.2)得一^=cosgz-co/)

%

Ev.

——=cos(k2z-co2t+b)

Ey,

、EE

两本目力11彳导—~4------=COS(ZZ|Z—69)/)+C0S(Z^2^—①"+5)

44。

八,4kAo)J、-_A、

=2COS(--------------14----)COS(aZ-COtH----)(4.3.3)

2222

式中/左=匕-左2，/o=g一02,斤=((匕+攵2),3=g(⑪1+g)

一般讨论当z=0时-，两列平面波叠加的情况，即

E、=EXacos(卯)

Ey=Ey°cos(ty2Z+6)

合成的波形如图

不等振幅、不等频率两束相互垂直的光Ey与Ey合成的关系曲线

xy

LU

Ex

图4.5两列不等振幅、频率传播方向相互垂直的波叠加（程序见附录2.5）

像这种两列振动方向相互垂直的平面波叠加形成的图形，称之为李萨如

图形。

27

第五章拍频，李萨如图形的研究

第一节拍频

当两列频率相近、同向传播的波叠加形成的图形叫做拍。两列波的波函

数分别

E、(z,Z)=Ei。cosC^z-g/)

E2(z,t)=E20COS/2Z一①2%+3。)

当/=£2。时，合成波的波形与两列波频率差值的关系

表5.1不同频率差的波叠加

频率图形

3、=0.000411841--------------------------h1111

3I11-

(0=0.0003893|II

22

LLJ-

1

(附录2.6)

111

1『■

“II

-2-

-3'l1rk

-4--------------------------...IlML

00.0020.0040.0060.0080.010.0120.0140.0160.018

Z

co、=0.00046184r..........-------------■11

3।|

|ih'rj1

a)=0.0003893