《函数的单调性与极值》课件北师大选修

函数的单调性和极值一、函数单调性的判别方法二、函数极值的判别法三、函数的最大值、最小值的求法一、函数单调性的判别方法罗尔定理拉格郎日定理函数单调性的判别方法定理1罗尔（Rolle）定理满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)

f(a)=f(b)使在(a,b)内至少存在一点注意:1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.例如,使2)定理条件只是充分的.本定理可推广为在(a,b)内可导,且在(a,b)内至少存在一点定理2拉格朗日中值定理(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且证:问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.证毕推论1:若函数在区间I

上满足则在

I上必为常数.推论2：如果函数在区间(a,b)内可导，且对于(a,b)中任意有则在(a,b)内，，其中c为常数。函数单调性的判定法若定理3.

设函数则在I

内单调递增(递减).证:

无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明在I

内单调递增.在开区间I

内可导,例2.

确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为说明:单调区间的分界点除导数为零的点外,

也可是导数不存在的点.例如,2)如果函数在某点两边导数同号,

则不改变函数的单调性.例如,确定函数的单调性的一般步骤：

1、确定函数的定义域；

2、求出使函数

并以这些点为分界点，将定义域分成若干

个子区间；

3、确定在各个子区间的符号，从而判断出的单调性。

例4.

证明方程有且仅有一个小于1的正实根.证:1)存在性.则在[0,1]连续,且由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点但矛盾,故假设不真!设例5.证明童等式证:设由推写论可钻知(常数)令x=视0依,得又故所证等式在定义域上成立.自证:经验:欲证时只需骑证在I上例6.证明臭不等银式证法1:设中值饮定理惰条件,即因为故因此例应有二、函数捆的极累值定义:在其信中当时,(1临)则称为的极大点

,称为函数的极大值

;(2点)则称为的极小点

,称为函数的极小值

.极大赴点与丛极小松点统愁称为极值余点.注意:为极至大点为极后小点不是晌极值日点2)对常炊见函各数,极值恰可能泰出现宫在导数败为0或不存僚在的凑点.1)函数兄的极工值是面函数湾的局部兵性质.例如为极大点,是极大值是极小值为极小点,定理5(极值祥第一令判别哗法)且在摧空心龟邻域内有挺导数,(1)“左正右负”,(2)“左负右正”,例7.求函灾数的极智值.解:1)求导堪数2)求极织值可慌疑点令得令得3)列表众判别是极请大点役，其极预大值询为是极福小点寸，其极租小值届为定理6(极值勤第二靠判别赛法)二阶粒导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.求函牺数极宣值的着一般壤步骤阻：确定盈定义蜂域，爪并求划出所缝给函舍数的晋全部置驻点考察浴函数德的二饥阶导象数在迁驻点伍处的眯符号寒，确码定极特值点求出摄极值枪点处惑的函绒数值瞒，得乱到极宗值求函兔数极难值的难一般雕步骤讨：若函箭数定理6失效势，应轨运用乐定理5，其继步骤估为：1、确疲定定门义域嫌并找常出所振给函闻数的垦驻点男和导葱数不代存在扬的点禁；2、考据察上蚊述点怎两侧贞一阶崖导数跪的符僚号，够确定密极值添点；3、求茅出极昼值点朝处函刮数值扣，得评到极发值。例8.求函营数的极钻值.解:1)求导候数2)求驻捞点令得驻诱点3)判别因故为极小值;又故需位用第帐一判荒别法存判别.定理7(判别吴法的旷推广)则:数,且1)当为偶数时,是极小点;是极大点.2)当为奇数时,为极值点,且不是极值点.例如,例2中所以不是极值点.极值卸的判叔别法(定理5~定理7庙)都是只充分鼓的.说明:当这唇些充蜜分条惠件不似满足解时,不等挺于极群值不织存在.例如:为极滨大值,但不截满足统定理1~定理3的条扰件.三、最大干值与紫最小妈值问完题则其辟最值脚只能在极值斤点或端点处达尚到.求函既数最宪值的文方法:(1)求在内的极值可疑点(2圾)最大府值最小竞值特别:

当在内只有一个极值可疑点时,

当在上单调时,最值信必在腿端点淹处达款到.若在号此点彻取极剂大刃值,则也宫是最藏大忌值.(小)对应踢用问嚷题,有时淘可根直据实际薯意义判别绑求出编的可疑黑点是汪否为储最大吵值蔽点或任最小涝值点.(小)例11亭.求函置数在闭慢区间上的龙最大耍值和馅最小肯值.解:显然且故函弯数在取最蜜小值0惧;在及取最大值5.(k为某夫一常蓬数)例13冶.铁路煮上AB段的与距离盾为10问0币km慨,工厂C距A处20AC⊥AB凑,要在AB线上博选定林一点D向工彼厂修永一条已知们铁路甲与公其路每悬公里原货运铺价之胁比为3:5狭,为使屋货D点应惧如何暴选取?20解:设则令得又所以为唯一的极小冰点,故AD=1枝5胜km时运转费最欺省.总运总费物从B运到肤工厂C的运喇费最骗省,从而姥为最付小点,问Km估,公路,例14迁.把一阶根直厚径为d的圆莲木锯和成矩送形梁,问矩忘形截吵面的高h和b应如蒙何选缘瑞择才陪能使贿梁的减抗弯枪截面轮模量旗最大?解:由力若学分牙析知拳矩形透梁的弹抗弯挎截面荡模量模为令得从而别有即由实玻际意勿义可楚知,所求可最值迫存在,驻点崭只一欢个,故所挺求结果坑就是转最好影的选拴择.用开秀始移扁动,例16堆.设有他质量治为5垮kg的物侧体置专于水烈平面证上,受力作解:克服迎摩擦矛的水裹平分航力正压撤力即令则问美题转缩慧化为膜求的最受大值亿问题.为多坐少时旷才可掀使力设摩喊擦系含数问力与水平面夹角的大通小最即小?令解得而因而F取最骂小值.解:即令则问貌题转摇化为锐求的最踢大值过问题.清楚(视角最大)程?观察贩者的陷眼睛1.少8m巴,例17柱.一张1.安4埋m高的境图片寸挂在桨墙上,它的夸底边觉高于解:设观识察者逃与墙腔的距底离为xm滥,则令得驻芝点根据情问题秆的实农际意篮义,观察敲者最塞佳站牵位存驾在,唯一,驻点贱又因此译观察敬者站布在距质离墙2.富4备m处看烦图最最清楚.问观刚察者绣在距括墙多弯远处碑看图调才最内容述小结1.连续页函数鼻的极雹值(1扔)极值天可疑轧点:使导王数为0或不察存在建的点(2担)第一商充分粘条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3忙)第二徐充分僻条件为极大值为极小值(4泉)判别萝法的俩推广最值火点应赚在极稠值点机和边护界点枣上找;应用积题可检根据斧问题阶的实镇际意绣义判吐别.思考余与练眉习(L洪.促P5配00题4)2.连续财函数梁的最顷值1.设则在挤点a处(筝).的导数存在,取得极大值;取得极小值;的导数不存在.B提示:利用脆极限乱的保孕号性.费马(1珠60座1正–悦16卧65般)法国盼数学仪家,他是奔一位删律师,数学只是夫他的掀业余启爱好.他兴少趣广础泛,博览群胡书并化善于罚思考,在数叛学上姜有许房诚多重大冤贡献.他特慢别爱活好数示论,他提猴出的费国马大楚定理:至今贿尚未壮得到印普遍面的证激明.他还事是微剪积分影学的回先驱,费马助引理柄是后怨人从洪他研此究最能大值织与最搂小值客的方叙法中提炼毒出来厉的.拉格唐朗日(1习73谣6–18盖13枣)法国硬数学川家.他在恭方程缺论,解析灵函数海论,及数喘论方油面都恳作出对了重招要的催贡献,近百余年后来,数学够中的爹许多采成就宗都直炮接或粮间接地蓝溯源谨于他智的工颂作,他是件对分哲析数恼学产生惑全面众影响皆的数秤学家赌之一.柯西(17拼89–18节57岭)法国固数学加家,