数学《学案导学与随堂笔记》人教A版四文档：第一章 三角函数1.3（二） 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学习目标1。掌握诱导公式五、六的推导,并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题。2.对诱导公式一至六,能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力。3。继续体会知识的“发生”“发现"过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.知识点一诱导公式五完成下表，并由此总结角α，角eq\f（π,2)－α的三角函数值间的关系.(1）sineq\f（π,6）＝eq\f(1，2），coseq\f（π,3)＝eq\f（1，2)，sineq\f(π，6）＝coseq\f(π,3）；（2)sineq\f（π,4）＝eq\f（\r（2）,2)，coseq\f（π,4）＝eq\f（\r（2)，2），sineq\f（π,4）＝coseq\f（π,4）;(3)sineq\f(π,3）＝eq\f(\r(3）,2)，coseq\f（π，6)＝eq\f（\r（3），2）,sineq\f（π,3)＝coseq\f（π,6）.由此可得诱导公式五sin=cosα,cos=sinα.知识点二诱导公式六思考能否利用已有公式得出eq\f（π,2）＋α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦之间的关系？答案以－α代替公式五中的α得到sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2））)＝cos(－α），coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(α＋\f（π，2)））＝sin（－α）。由此可得诱导公式六sin=cosα，cos=－sinα。知识点三诱导公式的推广与规律1.sin（eq\f（3,2)π－α）＝－cosα,cos（eq\f(3，2）π－α)＝－sinα，sin(eq\f（3,2）π＋α）＝－cosα，cos(eq\f（3,2)π＋α)＝sinα。2.诱导公式记忆规律：公式一～四归纳：α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限".公式五～六归纳：eq\f（π，2）±α的正弦(余弦）函数值,分别等于α的余弦(正弦）函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限"或“正变余、余变正、符号象限定”.六组诱导公式可以统一概括为“k·eq\f（π，2）±α（k∈Z)”的诱导公式。记忆口诀：奇变偶不变,符号看象限.其中“奇、偶"是指k·eq\f（π,2）±α（k∈Z)中k的奇偶性，当k为奇数时，正弦变余弦,余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变.“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号.类型一利用诱导公式求值例1（1）已知cos（π＋α)＝－eq\f(1,2），α为第一象限角，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π，2)＋α）)的值.（2)已知coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π,6）－α））＝eq\f(1，3),求coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(5π,6）＋α）)·sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（2π,3)－α）)的值.解(1)∵cos（π＋α)＝－cosα＝－eq\f（1,2），∴cosα＝eq\f（1,2)，又α为第一象限角，则coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π,2）＋α）)＝－sinα＝－eq\r（1－cos2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，2)))2)＝－eq\f（\r(3）,2)。(2)coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（5π，6）＋α)）·sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（2π，3)－α）)＝coseq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π，6）－α）))）·sineq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（π－\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π,3)＋α））))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π，6）－α))·sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α）)＝－eq\f(1,3）sineq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f（π,2)－\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π,6)－α)）））＝－eq\f（1,3）coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(π，6)－α））＝－eq\f（1，9）.反思与感悟对于这类问题,关键是要能发现它们的互余、互补关系：如eq\f(π，3)－α与eq\f（π,6）＋α，eq\f（π,3)＋α与eq\f(π,6）－α，eq\f（π，4)－α与eq\f（π,4)＋α等互余，eq\f(π,3）＋θ与eq\f(2π，3)－θ，eq\f（π，4)＋θ与eq\f(3π,4）－θ等互补，遇到此类问题,不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题。跟踪训练1已知sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π，6）＋α））＝eq\f（\r(3），3），求coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π，3)－α）)的值。解∵eq\f(π，6)＋α＋eq\f（π,3)－α＝eq\f(π，2),∴eq\f(π，3）－α＝eq\f(π,2）－eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π，6）＋α))。∴coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π，3）－α))＝coseq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f(π,2)－\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(π，6)＋α）)）)＝sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α））＝eq\f(\r（3）,3）.类型二利用诱导公式证明三角恒等式例2求证：eq\f(tan2π－αsin－2π－αcos6π－α,sin\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(α＋\f（3π，2）))cos\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(α＋\f（3π，2)）））＝－tanα.证明∵左边＝eq\f(tan－α·sin－α·cos－α，sin\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(2π－\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π，2)－α））））·cos\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(2π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)）))）＝eq\f（－tanα·－sinα·cosα，sin\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（－\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π,2)－α）))）cos\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π,2）－α）))））＝eq\f（sin2α，－sin\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π,2）－α))cos\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π，2）－α））)＝eq\f(sin2α,－cosαsinα)＝－eq\f（sinα，cosα)＝－tanα＝右边.∴原等式成立。反思与感悟利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法:(1）从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简.（2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子。(3)凑合法:即针对题设与结论间的差异,有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同。跟踪训练2求证：eq\f（2sin\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π，2））)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π，2)））－1，1－2sin2π＋θ）＝eq\f(tan9π＋θ＋1,tanπ＋θ－1).证明因为左边＝eq\f（－2sin\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（3π，2)－θ）)·－sinθ－1，1－2sin2θ)＝eq\f（2sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π，2)－θ)））)sinθ－1，1－2sin2θ）＝eq\f(－2sin\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π,2)－θ))sinθ－1,1－2sin2θ)＝eq\f（－2cosθsinθ－1，cos2θ＋sin2θ－2sin2θ)＝eq\f（sinθ＋cosθ2,sin2θ－cos2θ）＝eq\f（sinθ＋cosθ，sinθ－cosθ)。右边＝eq\f(tanθ＋1，tanθ－1)＝eq\f(sinθ＋cosθ，sinθ－cosθ)。所以左边＝右边，故原等式成立.类型三诱导公式在三角形中的应用例3在△ABC中,sineq\f（A＋B－C，2）＝sineq\f（A－B＋C,2），试判断△ABC的形状.解∵A＋B＋C＝π，∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.∵sineq\f(A＋B－C，2）＝sineq\f(A－B＋C，2)，∴sineq\f(π－2C，2)＝sineq\f(π－2B，2)，∴sin(eq\f（π，2)－C)＝sin(eq\f(π,2)－B），即cosC＝cosB.又∵B，C为△ABC的内角,∴C＝B,∴△ABC为等腰三角形。反思与感悟解此类题需注意隐含的条件，如在△ABC中，A＋B＋C＝π，eq\f（A＋B＋C，2）＝eq\f（π,2），结合诱导公式得到以下的一些常用等式：sin(A＋B)＝sinC，cos（A＋B）＝－cosC,sineq\f(A＋B，2)＝coseq\f(C，2），coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f（C,2).跟踪训练3在△ABC中，给出下列四个式子:①sin(A＋B)＋sinC；②cos（A＋B）＋cosC；③sin（2A＋2B)＋sin2C；④cos(2A＋2B）＋cos2C。其中为常数的是()A。①③B。②③C.①④D。②④答案B解析①sin(A＋B)＋sinC＝2sinC；②cos（A＋B)＋cosC＝－cosC＋cosC＝0；③sin(2A＋2B）＋sin2C＝sin[2（A＋B）］＋sin2C＝sin[2(π－C)］＋sin2C＝sin（2π－2C）＋sin2C＝－sin2C＋sin2C＝0；④cos（2A＋2B）＋cos2C＝cos［2（A＋B）］＋cos2C＝cos［2(π－C)］＋cos2C＝cos（2π－2C)＋cos2C＝cos2C＋cos2C＝2cos2C。故选B。类型四诱导公式的综合应用例4已知f（α）＝eq\f(sinπ－αcos－αsin\f（π,2)＋α,cosπ＋αsin－α).(1)化简f(α);（2)若角A是△ABC的内角,且f(A）＝eq\f(3，5），求tanA－sinA的值。解(1）f(α)＝eq\f（sinαcosαcosα，－cosα－sinα）＝cosα.(2）因为f（A)＝cosA＝eq\f(3，5)，又A为△ABC的内角,所以由平方关系，得sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(4，5)，所以tanA＝eq\f（sinA，cosA）＝eq\f（4,3)，所以tanA－sinA＝eq\f（4，3)－eq\f（4，5)＝eq\f(8，15）.反思与感悟解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形,将三角函数的角统一后再用同角三角函数关系式,这样可避免公式交错使用而导致的混乱.跟踪训练4已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求eq\f(sin\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－α－\f（3，2)π））cos\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（3，2）π－α)）,cos\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π，2）－α）)sin\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π，2)＋α）））·tan2(π－α)的值。解方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－eq\f（3,5),x2＝2，由α是第三象限角，得sinα＝－eq\f(3,5）,则cosα＝－eq\f(4，5），∴eq\f(sin\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－α－\f（3，2)π）)cos\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(3，2）π－α））,cos\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π,2）－α)）sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π,2）＋α))）·tan2(π－α)＝eq\f(sin\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π，2）－α））cos\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π，2）＋α)）,sinαcosα）·tan2α＝eq\f(cosα－sinα,sinαcosα）·tan2α＝－tan2α＝－eq\f(sin2α，cos2α)＝－eq\f（9,16).1.已知sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（α－\f(π,6））)＝eq\f（1，3)，则coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)））的值为(）A。－eq\f（2\r（3),3） B。eq\f（2\r（3），3）C.eq\f(1,3） D.－eq\f（1，3)答案D解析coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)））＝coseq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f(π，2）＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（α－\f(π,6）)）））＝－sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(α－\f（π,6)))＝－eq\f（1，3)。2.若cos(2π－α)＝eq\f（\r(5）,3），则sin（eq\f(3π，2)－α）等于（）A.－eq\f(\r(5)，3) B.－eq\f（2,3)C.eq\f(\r(5)，3） D.±eq\f（\r（5）,3)答案A解析∵cos(2π－α）＝cos（－α)＝cosα＝eq\f(\r(5）,3)，∴sin（eq\f(3π,2）－α)＝－cosα＝－eq\f（\r（5）,3)。3.已知tanθ＝2，则eq\f（sin\f(π,2）＋θ－cosπ－θ,sin\f（π，2）－θ－sinπ－θ）等于()A。2 B.－2C.0 D。eq\f(2,3）答案B解析eq\f(sin\f（π，2）＋θ－cosπ－θ，sin\f(π,2）－θ－sinπ－θ）＝eq\f(cosθ＋cosθ，cosθ－sinθ)＝eq\f（2,1－tanθ)＝eq\f（2,1－2）＝－2.4。已知coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π,2）＋α))＝2sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(α－\f（π,2))），求eq\f（sin3π－α＋cosα＋π，5cos\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（5π，2）－α)）＋3sin\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(7π,2）－α）)）的值。解∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π,2）＋α))＝2sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（α－\f(π，2)）），∴－sinα＝－2sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π,2）－α)），∴sinα＝2cosα，即tanα＝2.∴eq\f(sin3π－α＋cosα＋π,5cos\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（5π，2)－α））＋3sin\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(7π,2）－α)））＝eq\f(sin3α－cosα,5cos\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(2π＋\f（π，2)－α)）＋3sin\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(4π－\f(π，2）－α))）＝eq\f（sin3α－cosα,5cos\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π，2)－α))－3sin\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π，2）＋α）））＝eq\f(sin3α－cosα,5sinα－3cosα）＝eq\f（sin2α·tanα－1，5tanα－3）＝eq\f（2sin2α－1，10－3）＝eq\f（2sin2α－1，7）＝eq\f(2sin2α－sin2α＋cos2α,7sin2α＋cos2α)＝eq\f(sin2α－cos2α，7sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α－1,7tan2α＋1)＝eq\f(4－1，7×4＋1）＝eq\f(3,35).5。求证：eq\f（tan2π－αcos\f（3π,2）－αcos6π－α，sinα＋\f（3π，2）cosα＋\f(3π,2)）＝－tanα。证明因为左边＝eq\f(tan2π－αcos\f(3π，2）－αcos6π－α,sinα＋\f(3π,2）cosα＋\f(3π,2)）＝eq\f(tan－α－sinαcosα,－cosαsinα)＝eq\f(－tanαsinαcosα，cosαsinα)＝－tanα＝右边，所以原等式成立.1.诱导公式的分类及其记忆方式（1)诱导公式分为两大类:①α＋k·2π，－α，α＋(2k＋1)π（k∈Z)的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可简单地说成“函数名不变，符号看象限".②α＋eq\f（π，2)，－α＋eq\f(π,2)的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”。（2)以上两类公式可以归纳为：k·eq\f(π，2）＋α(k∈Z)的三角函数值，当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。2.利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角,最后转化成(0，eq\f(π，2))内的三角函数值”这种方式求解。用诱导公式把任意角的三角函数转化为0到eq\f（π，2）之间的角的三角函数的基本步骤:课时作业一、选择题1.已知sin(eq\f(5π,2）＋α）＝eq\f(1,5），那么cosα等于()A。－eq\f（2,5) B。－eq\f（1,5)C。eq\f(1,5） D。eq\f(2,5）答案C解析sin（eq\f(5π,2）＋α)＝cosα，故cosα＝eq\f(1,5），故选C。2。已知cos(eq\f（3π,2）＋α）＝－eq\f（3，5），且α是第四象限角，则cos（－3π＋α)等于（)A。eq\f（4，5) B。－eq\f(4，5)C。±eq\f（4,5） D.eq\f(3，5)答案B解析∵cos（eq\f（3π,2)＋α）＝sinα，∴sinα＝－eq\f（3，5)。又α为第四象限角,∴cosα＝eq\r(1－sin2α）＝eq\f(4，5），∴cos(－3π＋α）＝cos(π－α)＝－cosα＝－eq\f(4,5），故选B.3。若角A，B,C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是（）A.cos（A＋B）＝cosC B.sin（A＋B)＝－sinCC。coseq\f(A＋C,2）＝sinB D.sineq\f(B＋C,2）＝coseq\f（A，2）答案D解析∵A＋B＋C＝π,∴A＋B＝π－C,∴cos（A＋B）＝－cosC，sin(A＋B）＝sinC，故A，B项不正确；∵A＋C＝π－B，∴eq\f（A＋C,2)＝eq\f(π－B,2),∴coseq\f（A＋C，2）＝cos（eq\f（π,2)－eq\f（B,2）)＝sineq\f（B，2），故C项不正确；∵B＋C＝π－A，∴sineq\f(B＋C，2）＝sin（eq\f（π,2）－eq\f（A，2）)＝coseq\f（A,2)，故D项正确.4.已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin2，－2cos2）,则α等于(）A。2 B.－2C.2－eq\f（π，2） D.eq\f（π,2)－2答案C解析cosα＝eq\f（2sin2，\r(2sin22＋－2cos22))＝sin2，∵α为锐角,∴α＝2－eq\f（π,2).5.已知f（sinx）＝cos3x，则f(cos10°）的值为（）A.－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C.－eq\f（\r（3）,2）D.eq\f(\r(3）,2）答案A解析f（cos10°)＝f(sin80°)＝cos240°＝cos(180°＋60°）＝－cos60°＝－eq\f（1，2）.6.若sin（π＋α)＋coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π，2)＋α））＝－m，则coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－α)）＋2sin(2π－α）的值为()A。－eq\f（2m，3)B。eq\f(2m，3)C。－eq\f(3m，2)D。eq\f(3m,2)答案C解析∵sin（π＋α)＋coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sinα－sinα＝－m，∴sinα＝eq\f(m,2）.故coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－α）)＋2sin(2π－α)＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－eq\f(3m,2).二、填空题7。若cosα＝eq\f（1,5），且α是第四象限角，则coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2）)）＝.答案eq\f(2\r(6),5）解析∵cosα＝eq\f（1，5）,且α是第四象限角，∴sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r（1－\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，5）)）2)＝－eq\f(2\r(6)，5）.∴coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（α＋\f（π,2）))＝－sinα＝eq\f(2\r(6)，5）.8.sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°＝.答案eq\f(89，2)解析原式＝(sin21°＋sin289°）＋（sin22°＋sin288°）＋…＋（sin244°＋sin246°)＋sin245°＝44＋eq\f（1,2）＝eq\f(89,2）.9。已知tan（3π＋α)＝2，则eq\f（sinα－3π＋cosπ－α＋sin\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π，2）－α))－2cos\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π,2）＋α)）,－sin－α＋cosπ＋α）＝。答案2解析因为tan(3π＋α）＝tan（π＋α）＝tanα＝2，所以原式＝eq\f（sinα，sinα－cosα）＝eq\f(tanα,tanα－1）＝eq\f(2，2－1)＝2。10。在△ABC中，eq\r(3）sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π，2)－A))＝3sin(π－A),且cosA＝－eq\r(3）cos（π－B),则C＝.答案eq\f（π，2）解析由题意得eq\r(3）cosA＝3sinA,①cosA＝eq\r（3）cosB， ②由①得tanA＝eq\f(\r(3),3）,∴A＝eq\f（π，6）.由②得cosB＝eq\f(cos\f（π，6），\r（3)）＝eq\f(1，2),∴B＝eq\f（π,3).∴C＝eq\f(π,2）.三、解答题11。已知角α的终边经过点P（－4，3)，求eq\f(cos\f（π，2）＋αsin－π－α,cos\f（11π,2)－αsin\f（9π,2）＋α）的值。解∵角α的终边经过点P(－4,3）,∴tanα＝eq\f(y,x）＝－eq\f（3,4），∴eq\f(cos\f（π,2)＋αsin－π－α，cos\f(11π，2)－αsin\f（9π，2)＋α）＝eq\f（－sinαsinα,－sinαcosα）＝tanα＝－eq\f（3,4).12。已知sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（π,2)－α)）·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（5π,2）－α)）＝eq\f（60,169）,且eq\f(π,4)〈α〈eq\f（π，2），求sinα与cosα的值。解∵sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(π,2）－α）)＝－cosα，coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（5π，2)－α)）＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（2π＋\f(π，2)＋α)）＝－sinα，∴sinα·cosα＝eq\f(60,169),即2sinα·cosα＝eq\f（120,169)。 ①又∵sin2α＋cos2α＝1， ②①＋②得(sinα＋cosα）2＝eq\f（289,169)，②－①得(sinα－cosα)2＝eq\f（49，169）.又∵α∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π，4），\f(π，2））)，∴sinα>cosα>0，即sinα＋cosα〉0,sinα－cosα>0,∴sinα＋cosα＝eq\f(17，13)， ③sinα－cosα＝eq\f(7,13）, ④③＋④得sinα＝eq\f(12,13）,③－④得cosα＝eq\f(5，13)。13.已知sin（π＋α)＝－eq\f（1,3）.计算：(1)coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（α－\f(3π，2）))；（2）sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π,2)＋α）)；(3)tan（5π－α)。解∵sin(π＋α）＝－sinα＝－eq\f（1,3），∴sinα＝eq\f（1,3）.(1)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（α－\f（3π,2））)＝coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（3π，2)－α）)＝－sinα＝－eq\f（1,3).（2）sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π,2)＋α))＝cosα,cos2α＝1－sin2α＝1－eq\f（1，9)＝eq\f（8,9).∵sinα＝eq\f(1，3),∴α为第一或第二象限角.①当α为第一象限角时，sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π，2)＋α))＝cosα＝eq\f(2\r(2)，3)。②当α为第二象限角时，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π，2）＋α))＝