勾股定理中考真题汇总

勾股定理中考真题精选汇总二

一、选择题

1.（2009年山西省）如图，在RtAABC中，ZACB=90°BC=3,AC=4,AB的垂直平

分线DE交BC的延长线于点E,则CE的长为（）

【答案】B

2.（2009年达州）图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角

形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3,则最大正方

形E的面积是

A.13B.26C.47D.94

E

【答案】C

3.（2009年湖北十堰市）如图，已知RtA/BC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,

以28边所在的直线为轴，将AABC旋转•周，则所得几何体的表面积是（）.

168

A.------71B.24/rC.—71D.12万

55

A

4.（2009年湖州）如图，在正三角形ABC中，D,E,F分别是BC,AC,AB上的点,

DE±AC,EF±AB,FD±BC,则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于（）

A.1：3B.2：3C.G：2D.百：3

【答案】A

5.（2009年广西钦州）如图，AC^AD,BC=BD,则有（）

A.4B垂直平分CDB.CD垂直平分AB

C.AB与CD互相垂直平分D.CD平分NACB

【答案】A

6.（2009年衡阳市）如图2所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=

600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个

文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置

应在（）

A.AB中点B.BC中点

C.AC中点D.NC的平分线与AB的交点

【答案】A

7.（湖北省恩施市）如图3,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距

离为5,上只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离

是（）

A.5721B.25C.1075+5D.35

8.（浙江省丽江市）如图，已知aABC中，ZABC=90°AB=BC,三角形的顶点在相

互平行的三条直线A，11，/3上，且，1，/2之间的距离为2,/2,，3之间的距离为3,则

4C的长是（A）

A.2V17B.2V5C.4A/2D.7

9.（2009白银市）如图，。0的弦4B=6,M是上任意一点，且。M最小值为4,

则。。的半径为（）

【答案】A

10.（2009年济宁市）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼

成的大正方形.如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长

分别是2和4.小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均

扎在飞镖板上），则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是

A.J1D-A

C.

5

【答案】C

11.（2009白银市）如图，四边形ABC。中，AB=BC,NABC=NCZM=90°,BEX.

AD于点E,且四边形ABCD的面积为8,则BE=（）

A.2B.3C.2V2D.2V3

R

【答案】c

13.（2009年烟台市）如图，等边△ABC的边长为3,P为BC上一点，且BP=LD

为AC上一点，若乙4PD=60°,则CD的长为（）

P

【答案】B

13.(2009年嘉兴市)如图，等腰△ABC中，底边8C=aZA=36°,ZABC的平分

设女二与1,则DE=(▲)

线交AC于。，/BCD的平分线交BD于E,

A.k2aB.k3a

【答案】A

14.(2009泰安)如图，AABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分NABC,交

DE于点F,若BC=6,贝IJDF的长是

(A)2(B)3(C)-(D)4

2

【答案】B

15.(2009恩施市)如图，长方体的长为15,宽为10,高为20,点8离点C的距离

为5,•只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是

()

A.5®B.25C.1075+5D.35

【答案】B

16.（2009恩施市）16.如图6,。。的直径A3垂直弦CD于P,且P是半径OB的

中点，CD=6cm,则直径AB的长是（）

A.2^cmB.3>/2cmC.4\/2cmD.4V3cm

【答案】D

17.（2009丽水市）如图，已知△ABC中，/ABC=90o/B=BC,三角形的顶点在相

互平行的三条直线/1,12,?3上，且A,/2之间的距离为2,/2,/3之间的距离为3,

则/C的长是（）

A.2717B.245C.4拒D.7

【答案】A

18..（2009年宁波市）等腰直角三角形的一个底角的度数是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】B

19.(2009年滨州)如图3,已知△ABC中，AB=17,AC=10,BC边上的高AD=8,

则边BC的长为()

A.21B.15C.6D.以上答案都不对

【答案】A

20.(2009武汉)9.如图，已知。是四边形ABCD内一点，OA=OB=OC,ZABC=Z

ADC=70°,贝IJ/ADO+/DCO的大小是()

A.70°B.110°C.140°D.150°

【答案】D

提示：NBAO+NBCO=NABO+NCBO=NABC=70°,

所以NBOA+NBOC=360°-140°=220°,所以NAOC=140°。

21.(2009重庆藜江)如图，点A的坐标是(2,2),若点P在x轴上，且AAPO是等腰

三角形，则点P的坐标不可熊是()

A.(4,0)B.(1.0)C.(-272,0)D.(2,0)

【答案】B

22.（2009威海）如图，AB=AC,BD=BC,若NA=40°,则/ABD的度数是（）

A.20°B.30°C.35°D.40°

【答案】B

23.（2009襄樊市）如图，已知直线NOCP=110°,且AE=则NA等

于（B）

A.30°B.40°C.50°D.70°

解析：本题考查平行线的性质、等腰三角形的性质等知识，

AB//CD,NOCT=110°,所以NEFB=NOCF=UO°,

...ZAFE=70°,AE=AF,=ZAFE=70°,NA=40°,故选B。

【答案】B

24.（2009年贵州黔东南州）如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AC上，且BD=

BC=AD,则/A等于（）

A.30。B.40°C.45°D.36°

A

【答案】D

25.（2009年温州）如图，AABC中，AB=AC=6,BC=8,AE平分么BAC交BC于点E,

点D为AB的中点，连结DE,则aBDE的周长是（）

A.7+V5B.10C.4+2V?D.12

【答案】B

26.（2009年温州）一张等腰三角形纸片，底边长15cm,底边上的高长22.5cm.现沿

底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示.已知剪得的纸条中

有一张是正方形，则这张正方形纸条是（）

A.第4张B.第5张C.第6张D.第7张

【答案】C

27.（2009年云南省）如图，等腰△4BC的周长为21,底边BC=5,AB的垂直平分线

DE交AB于点D,交AC于点E,则△BEC的周长为（）

A.13B.14C.15D.16

A

【答案】A

28.（2009呼和浩特）在等腰△ABC中，A8=AC,一边上的中线8。将这个三角形

的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）

C.7或11D.7或10

二、填空题

1.（2009年重庆市江津区）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,腰长为4

cm,则其腰上的高为cm.

【答案】2G

2.（2009年泸州）如图1,在边长为1的等边aABC中，中线AD与中线BE相交于点0,

则OA长度为.

J3

【答案】—

3

A

E

3.（2009年泸州）如图2,已知Rt^ABC中，AC=3,BC=4,过直角顶点C作

CAi±AB,垂足为Ai，再过Ai作AiCJBC,垂足为G,过J作C1A2J_AB,

垂足为A2,再过Az作A2c2，BC,垂足为C2,…，这样一直做下去，得到了一组

线段CAi，AiCi，C,A2,则CAi=

A5G

125

【答案】—，--

54

4.（2009年滨州）某楼梯的侧面视图如图4所示，其中A8=4米，ZBAC=30°,

ZC=90°,因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应

为.

【答案】（2+2VJ）米.

5.（2009年滨州）已知等腰△A8C的周长为10,若设腰长为x,则x的取值范围

是.

【答案】2.5<x<5.

6.（2009年四川省内江市）已知RQABC的周长是4+4VJ,斜边上的中线长是2,

则SAABC=__________

【答案】8

（2009年黄冈市）11.在△ABC中，AB=AC,4B的垂直平分线与/C所在的直线相交所

得到锐角为50。，则ZB等于度.

【答案】70。或20°

7.（2009年安顺）图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直

角三角形围成的。在RtZXABC中，若直角边AC=6,BC=6,将四个直角三角形中

边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车

的外围周长（图乙中的实线）是。

【答案】76

8.（2009年湖南长沙）如图，等腰aABC中，AB^AC,是底边上的高，若

AB=5cm,BC=6cm,贝ijAO=cm.

【答案】4

【解析】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理。根据等腰三角形的三线合一可

得：

BD=^BC=^x6=3（cm）,

在直角三角形ABD中，由勾股定理得：AB1BD2+AD-,

所以，AO=4AB--BD2=152-32=4（cm）»

9.（2009襄樊市）在△ABC中，A8=AC=12cm,8C=6cm,。为BC的中点,

动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿8fAfC的方向运动.设运动时间

为t,那么当f=秒时，过。、尸两点的直线将△A8C的周长分成两个

部分，使其中一部分是另一部分的2倍.

解析：本题考查等腰三角形中的动点问题，两种情况，

①当点P在BA上时，BP=t,AP=12-t,2（t+3）=12-t+12+3,解得t=7；

②当点P在AC上时，PC=24-t,t+3=2（24-t+3）,解得t=17,

故填7或17。

【答案】7或17

10.（2009年浙江省绍兴市）如图，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小

量角器的中心在大量角器的外缘边上.如果它们外缘边上的公共点尸在小量角器上

对应的度数为65°,那么在大量角器上对应的度数为°（只需写出0°〜90°

的角度）.

【答案】50°

11.（2009年娄底）如图6,已知AB是。。的直径，PB是00的切线，R4交。。于C,

ZB=3cm,PB=4cm,贝UBC=.

图6

12

【答案】-

5

12.（贵州安顺）图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的

直角三角形围成的.在RtZ\ABC中，若直角边AC=6,BC=5,将四个直角三角形

中边长为6的直角边向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车外

围周长（图乙中的实线）是—76—.

13.（2009年浙江省湖州市）如图，已知在Rt/VIBC中，ZACB=RtZ,AB=4,

分别以AC,为直径作半圆，面积分别记为5,52,则5+$2的值等于

【答案】2JL

14.（2009年宜宾）已知：如图，以RtZ\ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三

角形.若斜边AB=3,则图中阴影部分的面积为.

9

【答案】*

15.（2009年长沙）如图，A8是。。的直径，。是。。上一点，N5OC=44°,贝IJNA

的度数为.

答案：22°

答案：4

17.（2009年湖州）如图,已知在RtZXABC中，ZACB=RtZ,AB=4,分别以AC,

8c为直径作半圆，面积分别记为S/S2,则S1+S2的值等于.

【答案】2兀

18.（2009临沂）如图，过原点的直线/与反比例函数了=-，的图象交于M,N两点,

X

根据图象猜想线段MN的长的最小值是.

【答案】2>/2

19.（2009年漳州）如图，在菱形A8CO中，NA=60°,E、/分别是AB、AO的

中点，若EF=2,则菱形ABC。的边长是.

【答案】4

A

20.（2009年重庆市江津区）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,腰长为

4cm,则其腰上的高为cm.

【答案】2月

21.（2009年）如图，甲、乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10米

的A处目测得点A与甲、乙楼顶8、C刚好在同一直线上，若小明的身高忽略不

计，则乙楼的高度是一米.

乙

C

一

/口

/口

/

/口

,口

口

口

口?米

口

口

口

O米

口

iv»一

%。果20米

22.（2009年安徽）13、长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°

角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了m.

【答案】2（73-V2）

23.（2009年山东青岛市）如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm.如

果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕•圈到达点B,那么所用细线最短需要

cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕〃圈到达点B,那么所用细线最短需要一

cm.

［答案］10,249+16〃2（或，36+64〃2）

24.（2009年邵阳市）如图所示的圆锥主视图是一个等边三角形，边长为2,则这外

圆锥的侧面积为（结果保留n）。

【答案】2兀

25.（2009年云南省）如图，在RtZ\ZBC中，NACB=90°,NB4C的平分线4。交BC

于点。，DE//AC,DE交AB于点、E,M为BE的中点，连结DM.在不添加任何

辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形是.（写出一个即可）

【答案】△MBD或AMDE或△E4D

26.（2009辽宁朝阳）如图，/\ABC是等边三角形，点。是6c边上任意一点，DE1AB

于点、E,。尸_LAC于点若BC=2,则0E+DF=.

【答案】也

三、解答题

1.（2009年崇左）如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD〃BC,AB=DC,AD=2,BC=4,

延长BC到E,使CE=AD.

（1）证明：ABAD丝ADCE；

（2）如果ACLBD,求等腰梯形ABCD的高DF的值.

AD

BE

（第24题）

【关键词】在等腰梯形性质进行转化。

【答案】

(1)证明：vAD//BC,：.ZCDA=ZDCE.

又；四边形ABCD是等腰梯形，二NBA。=ZCDA,

ABAD=NDCE.

vAB=DC,AD=CE,

：./\BAD^/\DCE.

(2)-：AD=CE,AZ)〃8C,.•.四边形ACEZ)是平行四边形,

AC//DE.

•••AC1BD,：.DE1BD.

由(1)可知，△BAD9XDCE、:.DE=BD.

所以，/XBOE是等腰直角三角形，即NE=45°,

DF=FE=FC+CE.

•.•四边形ABC。是等腰梯形，而AO=2,BC=4,

：.FC=1.

CE=AD=2

：.DF=3.

(2009年浙江省绍兴市)如图，在△4BC中，AB=AC,ZBAC=40°,分别以

AB,AC为边作两个等腰直角三角形48。和ACE,使NBA。=NC4E=90°.

(1)求NOBC的度数；

(2)求证：BD=CE.

DE

A

【关键词】等腰三角形的性质

【答案】(1)AABD是等腰直角三角形，NA4O=90°,

所以NABD=45°,AB=AC,所以NABC=70°,

所以/CBD=70°+45°=115°.

(2)AB=AC,NBA。=NCAE=90°,AD=AE,

所以△BAD丝ACAE,所以BD=CE.

2.(2009年宁波市)如图1,在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点A的坐标为(-8,0),

直线BC经过点8(-8,6),C(0,6),将四边形04BC绕点。按顺时针方向旋转a度得

到四边形。AB'C',此时直线04'、直线8'。'分别与直线BC相交于点P、Q.

(1)四边形。4BC的形状是,

当a=90°时，丝的值是；

(2)①如图2,当四边形OA'5'C'的顶点8’落在y轴正半轴时，求质的值；

②如图3,当四边形OA'8'C'的顶点"落在直线8c上时，求△OP8'的面积.

(3)在四边形0ABC旋转过程中，当0<aW180°时，是否存在这样的点P和点Q,

使=若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【关键词】勾股定理

【答案】解：（1）矩形（长方形）；

BP_4

~BQ~7'

(2)①NPOC=ZB'OA',ZPCO=N0A8'=90°,

：.ACOP^>AA'OB'.

CPOCCP6

A'B'OA'68

97

...CP=—，BP=BC-CP=-.

22

同理△B'CQS2\"C'。，

CQB'C即殁=竺丑

68

.•.CQ=3,8Q=BC+CQ=11.

•BP_7

一拓一亥.

②在△OC尸和△B'A'P中,

NOPC=/B'PA',

NOCP=ZA'=90°,

OC=B'A',

：./\OCP且△B'A'P(AAS).

OP=B'P.

设87=x,

在Rt^OCP中，(8-X)2+62=X2,解得x=三.

4

.0一125-75

••iAOPB'=5*彳*6=彳.

(3)存在这样的点尸和点。，使BP=；8Q.

点尸的坐标是《19—|6,6],鸟]—

对于第(3)题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求.

过点。画Q〃_LOA于〃，连结。。，则。"=OC'=OC,

SAPOQ=3PQOC,S△尸02=5OPQH,

：.PQ^OP.

设=x,

BP=*Q,

BQ=2x,

①如图1,当点P在点B左侧时，

OP=PQ=BQ+BP=3x,

在RtaPC。中，(8+x)2+62=(3x)2,

解得X1=l+gn，X2=1-|V6(不符实际，舍去).

a

:.PC=BC+BP=9+—瓜,

2

6f—9——V616

②如图2,当点P在点B右侧时，

OP=PQ=BQ-BP=x,PC=8-x.

在RtaPC。中，(8-X)2+62=X2,解得x=—.

257

:.PC=BC—BP=8——=一，

44

:.P2

综上可知，存在点耳(—9一|后,6),使8P=gBQ.

3.(2009年义乌)如图，在边长为4的正三角形ABC中，ADLBC于点D,以AD为一

边向右作正三角形ADE。

(1)求48c的面积S；

(2)判断AC、DE的位置关系，并给出证明。

【关键词】正三角形

【答案】

解：(1)在正△ABC中，AD=4x—=273,

2

.•.S=-BCx/4D=-x4x2V3=473.

22

(2)AC.OE的位置关系：ACLDE.

在△COE中，v^CDE=90°-ZADE=30°,

NCFD=180°-ZC-NCDE=180°-60°-30°=90°,

：.AC±DE.

4.（2009恩施市）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著

名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（8）位于笔直的沪渝高速公路X同

侧，AB=50km,A、8到直线X的距离分别为10km和40km,要在沪渝高速公

路旁修建一服务区P，向4、6两景区运送游客.小民设计了两种方案，图（1）

是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P）,尸到A、B的距离之和

St=PA+PB,图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A',连接

8A交直线X于点P）,P到A、8的距离之和S2=PA+P8.

（1）求5、5,,并比较它们的大小;

（2）请你说明$2=PA+PB的值为最小;

（3）拟建的恩施到张家界高速公路丫与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直

角坐标系，B到直线Y的距离为30km,请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、

Q，使尸、A、B、。组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.

【关键词】勾股定理、对称、设计方案

【答案】

解:⑴图10(1)中过B作BC_LAP,垂足为C,则PC=40,又AP=10,

.*.AC=30

在RQABC中，AB=50AC=30ABC=40

BP=yICP2+BC2=4072

SI=40A/2+10

⑵图10(2)中，过B作BCLAA'垂足为C,则A'C=50,

又BC=40

BA'=V402+502=10a

由轴对称知：PA=PA'

.*.S2=BA'=10V4T

S]>s2

(2)如图10(2),在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA，，由轴对称知MA=

MA'

.•.MB+MA=MB+MA'>A'B

.•.S2=BA'为最小

(3)过A作关于X轴的对称点A)过B作关于丫轴的对称点B,

连接AE,交X轴于点P,交丫轴于点Q则P,Q即为所求

过A\B，分别作X轴、丫轴的平行线交于点G,

AB=V1002+502=50M

•••所求四边形的周长为50+50后

5.（2009年任肃庆阳）（8分）如图14,在平面直角坐标系中，等腰RtZ\CMB斜边

。8在y轴上，且。B=4.

（1）画出△OAB绕原点。顺时针旋转90°后得到的三角形；

（2）求线段OB在上述旋转过程中所扫过部分图形的面积（即旋转前后OB与点B轨

迹所围成的封闭图形的面积）.

【关键词】平面直角坐标系；旋转

【答案】本小题满分8分

解：（1）画图正确（如图）；

（2）所扫过部分图形是扇形,它的面积是:

%兀x4、4兀.

360

6.(2009年河南)如图所示，/54C=/4BD/C=BD,点。是/W、BC的交点，点E

是AB的中点.试判断OE和AB的位置关系,并给出证明.

【关键词】等腰三角形的性质与判定

【答案】OE1AB.

证明：在△BAC和△ABC中，

AC=BD,

|ZBAC=ZABD,

AB=BA.

：.ZOBA^ZOAB,

：.OA=OB.

5L'：AE=BE,：.OE±AB.

7.(2009泰安)如图所示，在直角梯形ABCD中，ZABC=90°,AD〃BC,AB=BC,

E是AB的中点，CE±BD»

(1)求证：BE=AD；

(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线；

(3)4DBC是等腰三角形吗？并说明理由。

【关键词】直角梯形、垂直平分线、等腰三角形

【答案】证明：（1）VZABC=90°,BD1EC,

与N3互余，/2与/3互余，

.\Z1=Z2

VZABCDAB=90°,AB=AC

.,.△BAD^ACBE

.\AD=BE

(2)：E是AB中点，

.\EB=EA

由⑴AD=BE得：AE=AD

VAD//BC

.\Z7=ZACB=45O

VZ6=45°

.*.N6=N7

由等腰三角形的性质，得：EM=MD,AMIDE,

即，AC是线段ED的垂直平分线。

（3）ADBC是等腰三角（CD=BD）

理由如下：

由（2）得：CD=CE

由（1）得：CE=BD

.,.CD=BD

/.△DBC是等腰三角形。

8.(2009年新疆)如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是

a,b,斜边长为C和一个边长为C的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理

的图形.

(1)画出拼成的这个图形的示意图.

(2)证明勾股定理.

【关键词】勾股定理的验证

【答案】方法一解：(1)如图

(2)证明：•.•大正方形的面积表示为(4+6)2,大正方形的面积也可表示为

c+4x—cib,(ci+b)-=c~+4x—ab,a~+/>〜+2ab=c-+2ab,

:.a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

方法二解：(1)如图

(2)证明：•.•大正方形的面积表示为：。2,

又可以表示为：^abx4+(b-a)2,

c~=~cibx4+(b-a)-,c-=2ab+/?--2ab+，

：.c2^a2+b2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

9.(2009年牡丹江市)有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m,8m.现

在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充

后等腰三角形绿地的周长.

【关键词】勾股定理的应用

【答案】在RtZ^ABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=6

由勾股定理有：AB=10,扩充部分为Rt^ACD,扩充成等腰△ABD,应分以下三种

情况:①如图1,当45=40=10时，可求CO=C6=6,得△A8O的周长为32m.②

如图2,当48=50=10时，可求CD=4,由勾股定理得：AO=4后，得△ABO的

周长为(20+4后)m.③如图3,当A8为底时，设4D=BO=x,则CZ)=x—6,由勾

股定理得：x=3,得△A3。的周长为空m.

33

图1图2图3

10.（2009白银市）如图13,ZVICB和△ECD都是等腰直角三角形，NACB=NECD

=90°,。为AB边上一点，求证：

(1)AAC£^A5C£＞；(2)AD1+DB2=DE2.

【关键词】全等三角形的判定、勾股定理

【答案】27.证明：(1)•/ZACB=NECD,

：.ZACD+ZBCD=ZACD+ZACE.

即ZBCD=ZACE

"：BC=AC,DC=EC,

：./\ACE^/\BCD

(2)；AAC8是等腰直角三角形，

ZB=ABAC=45°.

,:AACE^/\BCD,：.NB=ZCAE=45°.

...ZDAE=ZCAE+ZBAC=45°+45°=90°.

:.AD2+AE2^DE2.

由(1)AE=DB,

11.(2009年衡阳市)如图，^ABC中，AB=AC,AD、AE分别是/BAC和NBAC和

外角的平分线，BE1AE.

(1)求证：DA1AE；

(2)试判断AB与DE是否相等？并证明你的结论.

【关键词】等腰三角形、矩形

B

【答案】解：(1)证明：

AD平分NBAC=NBAD=-ZBAC

2

AE平分NBAF=>/BAE=，NBAF.

2

ZBAC+ZBAF=180°

=ZBAD+NBAE=-{ABAC+NBAF)=1x180°=90°

22

=ZDAE=90°=ZM_LAE

(2)AB=DE,理由是：

AB=AC

=>AD±BC=>ZADB=90°

AD平分NBAC

■=>四边形AEB。是矩形=>AB=DE

BE_LAE=>ZAEB=90°

ZDAE=90°

12.(山东省临沂市)

如图，A,B是公路/（/为东西走向）两旁的两个村庄，Z村到公路/的距离ZC=

lkm,B村到公路/的距离即=2km,B村在4村的南偏东45°方向匕

（1）求出4B两村之间的距离；

（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P,要求该站到两村的距

离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）.

解：（1）方法一：设A8与CD的交点为。，根据题意可得NA=NB=45。.

.♦.△AC。和△80。都是等腰直角三角形.

A0-V2,B0-2-\/2.

A8两村的距离为A6=4。+6。=血+2血=3&（km）.

方法二：过点8作直线/的平行线交AC的延长线于E.

易证四边形CO8E是矩形，

CE=BD=2.

在中，由乙4=45。，可得8E=EA=3.

AB=V32+32=3V2（km）

A8两村的距离为3夜km.

AW

(2)作图正确，痕迹清晰.

作法：①分别以点A6为圆心，以大于工川？的长为

2

半径作弧，两弧交于两点N,

作直线MN；

②直线MN交/于点P,点P即为所求.(7分

13.(四川省泸州市)在某段限速公路BC

上(公路视为直线)，交通管理部门规定

汽车的最高行驶速度不能超过60千米

/时(即三米/秒),并在离该公路100

米处设置了一个监测点A.在如图8所

示的直角坐标系中，点A位于y轴上，

测速路段BC在x轴上，点B在A的北偏西60°方向上，点C在A的北偏东45°

方向上，另外一条高等级公路在)，轴上，AO为其中的一段.

(1)求点B和点C的坐标；

(2)一—辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15秒，通过计算，判断该汽车在

这段限速路上是否超速?(参考数据：V3«1.7)

(3)若一辆大货车在限速路上由C处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A处

向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速

行驶过程中的最近距离是多少？

北

北举

解：在RtAAOB中，OA=100,NBAO=60°

所以OB=OA•tanZBAO=100V3.

RtAAOC中,/CAO=45°

所以OC=OA=100,

所以B(-100百,0),C(100,0)

⑵凯=8。+«）=1。。41。。「幽浮叽18

50

18>——,

3

所以这辆车超速了。

（3）高大货车行驶到某一时刻行驶了x米，则此时小汽四行驶了2x米，且两车

的距离为

y=7(100-x)2+(100-2x)2=75(X-60)2+2000

当x=60时，y有最小值是历记=206米,

答：两四相距的最近距离为20石米.

14.（2009年诞庆）作图，请你在下图中作出一个以线段为一边的等边△4SC.（要

求：用尺规作图，并写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法和结论）

AB

19题图

已知：

求作：

【关键词】等边三角形，尺规作图

【答案】

解：已知：线段AB.

求作：等边△ABC.

作图如下：（注：每段弧各1分，连接线段AC、BC各1分）

15.（2009年币；庆）已知：如图，在直角梯形ABC。中，AD//BC,NABC=90°,DE

于点凡交BC于点G,交力B的延长线于点E,且AE=AC.

（1）求证：BG=FG；

（2）若4D=OC=2,求AB的长.

【关键词】勾股定理、直角三角形性质、等腰三角形性质和全等三角形的判定方法

【答案】（1）证明：•••NABC=90°,OEJ.AC于点尸，

ZABC=NAFE.

.•AC=AE,NEAF=NCAB,

：.^ABC^/\AFE

AB^AF.

连接AG,

AG=AG,AB=AF,

RtA/lBG丝Rt^AFG.

BG=FG.

(2)解：VAD=DC,DF±AC,

：.AF^~AC^~AE.

22

：.NE=30°.

NE4O=NE=30°,

:.AF=6

：.AB=AF=6

16.(2009年广西钦州)已知：如图2,。。1与坐标轴交于/(1,0)、B(5,0)两

点，点Oi的纵坐标为右.求。。1的半径.

【关键词】垂径定理、勾股定理

【答案】

解：过点。1作0C4B,垂足为C,

贝IJ有/C=BC.

由a(1,0)、B(5,0),得48=4,：.AC=2.

在RtA4OC中，；。1的纵坐标为石，

.*•OiC=Vs.

，。。1的半径CM=7^C2+AC2=7(V5)2+22=3.

17.(2009年甘肃定西)如图13,ZVICB和△ECD都是等腰直角三角形，NACB=NECD

=90°，。为4B边上-•点，求证：(1)AAC£^ABCD；(2)AD2+DB2=DE2.

【关键词】全等三角形、勾股定理

【答案】证明：(1)VZACB=ZECD,

：.ZACD+ZBCD=ZACD+ZACE.

即NBCD=ZACE.

'：BC=AC,DC=EC,

：.△4CE丝△BCD.

(2)•••A4cB是等腰直角三角形，

ZB=ABAC=45°.

'：△ACE"/\BCD,：.ZB=ZCAE=45°.

ZDAE=ZCAE+ZBAC=45°+45°=90°.

/.AD2+AE2=DE2.

由(1)知4E=DB,

...AD2+DB2=DE2.

18.（2009年莆田）已知：等边△45C的边长为a.

探究（1）：如图1,过等边△A8C的顶点A、B、C依次作A3、BC、C4的垂

线围成△MNG,求证：△MNG是等边三角形=

探究（2）：在等边△48。内取一点。，过点。分别作

OD1AB.OE1BC.OF，C4,垂足分别为点。、E、F.

①如图2,若点。是△ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角

形性质得到两个正确结论（不必证明）：

结论1.OD+OE+OF=—a；结论2.AD+BE+CF=-a；

22

②如图3,若点。是等边△ABC内任意一点，则上述结论1、2是否仍然成立？

如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由.

EC

【关键词】等边三角形

证明：如图1,•••△ABC为等边三角形

...ZABC=60°

BC1MN,BALMG

：.ZCBM=ZBAM=90°

ZABM=90°-ZABC=30°

同理：NN=NG=60。

.•.△MNG为等边三角形.

ABa273

在中，BM-------=---------=------（I

sinMsin6003

在RtZ^BCN中，BN=-^~aV3

---------------二—ci

tanNtan6003

MN=BM+BN=6a

(2)②：结论1成立.

（图2）

证明；方法一：如图2,连接AO、BO、CO

=

由S&AOB+Swoe+^AAOC=—a[OD+OE+OF^

作A"L8C,垂足为H,

则AH=ACsinZACB=axsin60°=—

2

ii/□

S.=-BC-AH=-a'—a

△ABKCr222

：.-a(OD+OE+OF}--a'—a

2''22

：.OD+OE+OF^—a

2

方法二：如图3,过点。作G"〃BC,分别交48、AC于点G、H,过点

H作HM±BC于点M,

ZDGO