任意角的三角函数优秀课件

读书是基础反思是重点行动是关键1.2.1任意角的三角函数思考一二三例1例3四例2例4检测作业问题提出1.现在我们是怎样认识角这一数学概念的，包括哪些情形？（1）角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形.（2）按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角，没有作任何旋转形成的角为零角.（3）角的大小是任意的.2.什么叫做1弧度的角？度与弧度是怎样换算的？（1）等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.3.与角α终边相同的角的一般表达式是什么？β=α＋k·360°（k∈Z）（2）180°＝

rad.4.如图，在直角三角形ABC中，sinα，cosα，tanα分别叫做角α的正弦、余弦和正切，它们的值分别等于什么？ABCα5.当角α不是锐角时，我们必须对sinα，cosα，tanα的值进行推广，以适应任意角的需要.

yx思考1在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？﹒﹒oabr知识探究一如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？﹒∽MOyxP(a,b)诱思探究能否通过|op|取特殊值将表达式简化呢？以原点为圆心,以单位长度为半径的圆叫做单位圆.1、任意角的三角函数第一定义

设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点

规定:（1）叫做的正弦，记作，即；

（2）叫做的余弦，记作，即；（3）叫做的正切，记作，即。

注意：正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数.﹒根据三角函数的定义，确定它们的定义域（弧度制）思考3三角函数定义域RR﹒任意角的三角函数的定义过程：直角三角形中定义锐角三角函数

直角坐标系中定义锐角三角函数

单位圆中定义锐角三角函数

单位圆中定义任意角的三角函数

例1：如图已知角α的终边与单位圆的交点是，求角α的正弦、余弦和正切值。解：根据任意角的三角函数定义：Oxy点评：若已知角α的终边与单位圆的交点坐标，则可直接利用定义求三角函数值。实例剖析理论迁移例2、求的正弦、余弦和正切值.解：在直角坐标系中，作，易知的终边与单位圆的交点坐标为所以思考：若把角改为呢?，

﹒﹒C数形结合法例3已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦和正切值.解:由已知可得设角的终边与单位圆交于，分别过点、作轴的垂线、＼

于是，∽例3、已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦和正切值.于是，法二解：由已知可得：定义法返回

设角是一个任意角，是终边上的任意一点，点与原点的距离那么①叫做的正弦，即

②

叫做的余弦，即③

叫做的正弦，即

任意角的三角函数值仅与有关，而与点在角的终边上的位置无关.定义推广：点评：已知角终边上异于单位圆上一点的坐标，求三角函数值，可根据三角形相似将问题化归到单位圆上，再由定义得解。2、任意角的三角函数第二定义：几个旨特殊散角的友三角序函数嫂值角α0o30o45o60o90o180o270o360o角α的弧度数sinαcosαtanα变式1、已知角的终边过点，求的三个三角函数值.于是，解：验由已礼知可吧得：合作演练变式2：已知祖角α的终赖边经行过点P(2a,-况3a)，求概角α的正县弦、姜余弦列、正深切值博．三角谈函数吐的符串号三角恩函数刘在各钢象限庙内的困符号典：oxyoxy三角蹲函数覆在各废象限逝内的缠符号年：oxy三角辜函数欢在各区象限庙内的朋符号皱：oxyoxyoxy规律帅：“一张全正愁、二址正弦雁、三季正切产、四阁余弦疮”tanacosasina

例4求证：当且仅当下列不等式组成立时，角为第三象限角.反之也对。①②证明愧：

因为①式成立,所以角的终边可能位于第三或第四象限，也可能位于y轴的非正半轴上；

又因为②式成立，所以角的终边可能位于第一或第三象限.

因为①②式都成立，所以角的终边只能位于第三象限.于是角为第三象限角.反过陵来请宅同学赵们自己己证羊明.思考6：如果杂两个记角的阔终边侍相同嘱，那些么这镰两个晶角的职同一而三角饶函数停值有狭何关巷系？？yox1M思考6：如果似两个塌角的清终边侦相同级，那阻么这仪两个猴角的蔬同一威三角楼函数戒值有吨何关殃系？终边探相同窄的角育的同衰一三捧角函校数值庙相等纵（公歌式一和）（其中）公式作用：可以把求任意角的三角函数值，转化为求角的三角函数值

.？例5求下县列三锁角函泳数值挺：（1购）矛（2润）解：（1）练习求下列三角函数值（2）例6确定下列三角函数值的符号：（1）（2）（3）（2）因为=，

而是第一象限角，所以；练习确定下列三角函数值的符号（1）因为是第三象限角，所以；解：

（3）因为是第四象限角，所以.1.内容乖总结帆：①三角薄函数苗的概山念.②三角翠函数链的定歼义域使及三周角函瞎数值阁在各削象限朱的符界号.③诱导挖公式评一.运用叠了定冠义法近、公介式法刻、数旧形结累合法符解题.划归词的思坐想，宜数形载结合婆的思号想.归纳总结2漆.方法沈总结屑：3句.体现藏的数风学思趁想：yxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终边α的终边α的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)(Ⅳ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)角α的终制边与亮单位分圆交核于点P.过点P作x轴的管垂线,垂足杆为M.|M彼P|剂=|巩y|忆=|si送nα||O丽M|免=|谈x|丢=|co偿sα|三角局函数抽线——正弦脸线和秒余弦稿线【思考】为了如去掉咳上述喂等式惭中的租绝对构值符沫号,能否碌给线血段OM、MP规定宁一个触适当虽的方斗向,使它或们的咱取值悟与点P的坐余标一非致?【定义】有向妥线段*带有印方向充的线否段叫村有向跑线段.*有向尸线段姿的大顷小称侨为它割的数功量.在坐轿标系威中,规定:有向化线段娱的方眨向与艘坐标刮系的很方向届相同.即同刻向时,数量饼为正;反向识时,数量鉴为负.yxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终边α的终边α的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)(Ⅳ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)当角α的终勿边不黎在坐驳标轴堂上时,以M为始完点、P为终碎点,规定:当线姓段MP与y轴同向时,MP的方焰向为正向,且有正值y;当线即段MP与y轴反向时MP的方向为负向,且有负值y.MP=y=s秘in炊α有向唐线段MP叫角α的正弦步线yxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终边α的终边α的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)(Ⅳ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)|M幅P|筋=|唇y|拍=|si士nα||O翁M|热=|典x|骡=|co料sα|当角α的终丑边不仆在坐至标轴斩上时,以O为始亏点、M为终引点,规定:当线亏段OM与x轴同向时,OM的方颈向为正向,且有正值x;当线服段OM与x轴反向时,OM的方拨向为负向,且有负值x.OM工=x=c乳os识α有向郑线段OM叫角α的余弦教线TTTyxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终边α的终边α的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)(Ⅳ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)T过点A(1丘,0惩)作单然位圆童的切个线,设它斥与α的终睛边或嫁其反晋向延宏长线膀相交抢于点T.有向和线段AT叫角α的正切循线这三博条与牧单位台圆有蒜关的傻有向似线段MP、OM、AT罚,分别把叫做建角α的正弦鞭线、岭余弦善线、匠正切曾线,统称般为三角代函数亭线yxTMOPα的终边A(1,0)当角α的终嗓边与x轴重友合时,正弦津线、拆正切楼线,分别脚变成孩一个朋点,此时陪角α的正弦碍值和斑正切有值都贼为0;当角α的终弃边与y轴重阀合时,余幅弦线叉变成流一个劝点,正切颜线不妻存在,此时猪角α的正切兰值不欧存在.例在单恼位圆侄中作攀出符奴合下喜列条齿件的姿角的熊终边:xOy-1-111PM例题-1xy11-1O例:在单位圆中作出符合条件的角的终边:-1xy11-1O例:在单位圆中作出符合条件的角的终边:变式：写出满足条件≤cosα＜的角α的集合.xOy-1-111＜α≤≤α＜虚线5.利用俯单位贱圆中熄的三筝角函女数线爱，确扒定下坑列各煤角的懂取值乌范围钓：si夏nα股<c