人教A版选择性必修第三册第六章6.2.1排列6.2.2排列数学案

6．2排列与组合6．排列排列数必备学问·自主学习导思1.排列的含义是什么？两个排列相同的充要条件是什么？2.排列数及排列数公式是什么？1.排列(1)定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并依据肯定的挨次排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)两个排列相同的充要条件：两个排列的元素完全相同，且元素的排列挨次也相同．排列中的元素有哪些特性？提示：(1)无重复性：从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，否那么不是排列问题．(2)有序性：支配这m个元素时是有挨次的，有序的就是排列，无序的不是排列．检验它是否有挨次的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有挨次，无变化就是无挨次．2．排列数(1)定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的全部不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))表示．(2)本质：简捷地表示“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的全部排列的个数〞这类特别的计数问题．(3)作用：①建立特别的计数模型；②推导排列数公式．排列与排列数有何不同？提示：排列与排列数是两个不同的概念，“排列〞是指从n个不同元素中取出m个元素依据肯定挨次排成一列，是一种排法；“排列数〞是指从n个不同元素中取出m个元素的全部不同排列的个数，是一个数，用Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))表示．3．排列数公式全排列的定义n个不同元素全部取出的一个排列阶乘的定义把n(n－1)×…×2×1叫做n的阶乘，用n！表示排列数公式Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝n(n－1)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)阶乘式Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝eq\f(n！,〔n－m〕！)(n，m∈N*，m≤n)特别状况,Aeq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(n))＝n！，0！＝11．辨析记忆(对的打“√〞，错的打“×〞).(1)从1，2，3三个数字中，任选两个做加法，计数其结果数，是排列问题．(×)提示：不存在挨次问题，不属于排列问题．(2)在排列的问题中，总体中的元素可以有重复．(×)提示：在排列问题中总体内元素不能重复．(3)用1，2，3这三个数字组成无重复数字的三位数.123与321是不相同的排列．(√)提示：依据排列的定义可以推断123与321是不同的排列．(4)在Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝n(n－1)…(n－m＋1)中右边是n－m＋1项的乘积．(×)提示：从n，(n－1)，…，(n－m＋1)以上m个数相乘，可得共m项．2．计算：Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＋Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7))＝________.【解析】Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＋Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7))＝5×4＋7×6＝62.答案：623．(教材例题改编)一张餐桌上有6盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有________种不同的取法．【解析】按分步乘法计数原理，不同的取法种数为6×5×4＝120.答案：120关键力量·合作学习类型一简洁的排列问题(数学抽象)1.某班上午要上语文、数学、体育和外语4门课，而体育老师因故不能上第一节和第四节，那么不同排课方案的种数是()A．24B．22C．20D．12【解析】选D.分两步排课：体育可以排其次节或第三节两种排法；其他科目有语文、数学、外语语文、外语、数学数学、语文、外语数学、外语、语文外语、语文、数学外语、数学、语文共6种排法，所以依据分步乘法计数原理可知共有2×6＝12(种)排课方案．2．北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应当有________种机票．【解析】列出每一个起点和终点状况，如下图．故符合题意的机票种类有：北京→广州，北京→南京，北京→天津，广州→南京，广州→天津，广州→北京，南京→天津，南京→北京，南京→广州，天津→北京，天津→广州，天津→南京，共12种．答案：123．在编号为1，2，3，4的四块土地上分别试种编号为1，2，3，4的四个品种的小麦，但1号地不能种1号小麦，2号地不能种2号小麦，3号地不能种3号小麦，写出全部不同的试种方案．【解析】画出树状图，如下图：由树状图可知，共有11种不同的试种方案．利用“树状图〞法解决简洁排列问题的适用范围及策略(1)适用范围：“树状图〞在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比拟有效的表示方式．(2)策略：在操作中先将元素按肯定挨次排出，然后以先支配哪个元素为分类标准进行分类，再支配其次个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列．【加练·固】假设直线Ax＋By＝0的系数A，B可以从2，3，5，7中取不同的数值，可以构成的不同直线的条数是()A．12条 B．9条C．8条 D．4条【解析】选A.画树状图如图：故共有12条．

类型二排列数公式及应用(数学运算、规律推理)【典例】证明：Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n＋1))－Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝mAeq\o\al(\s\up1(m－1),\s\do1(n)).【思路导引】观看等式左、右两边的排列数上标、下标均为字母用排列数公式的阶乘式绽开、化简由左边推右边．【证明】由于Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n＋1))－Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝eq\f(〔n＋1〕！,〔n＋1－m〕！)－eq\f(n！,〔n－m〕！)＝eq\f(n！,〔n－m〕！)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n＋1－m)－1))＝eq\f(n！,〔n－m〕！)·eq\f(m,n＋1－m)＝m·eq\f(n！,〔n＋1－m〕！)＝mAeq\o\al(\s\up1(m－1),\s\do1(n))，所以Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n＋1))－Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))＝mAeq\o\al(\s\up1(m－1),\s\do1(n)).排列数的计算方法(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时留意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用．(2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会削减运算量．1．假设Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(m))＝2Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(m))，那么m的值为()A．5B．3C．6D．7【解析】选A.依据题意，假设Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(m))＝2Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(m))，那么有m(m－1)(m－2)(m－3)(m－4)＝2×m(m－1)(m－2)，即(m－3)(m－4)＝2，解可得：m＝5或m＝2(舍去).2．计算：eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(7))－Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(6)),Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5)))＝________.【解析】Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(7))＝7×6×5×4×3×2，Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(6))＝6×5×4×3×2，Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))＝5×4×3×2，所以eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(7))－Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(6)),Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5)))＝7×6－6＝36.答案：36【拓展延长】Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))中的三个隐含条件(1)m，n∈N*.(2)m≤n.(3)Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(n))的运算结果为正整数．在解与排列数有关的方程或不等式时，应先求出未知数的取值范围，再利用排列数公式化简方程或不等式，最终得出问题的解．【拓展训练】解不等式Aeq\o\al(\s\up1(x),\s\do1(9))＞6Aeq\o\al(\s\up1(x－2),\s\do1(9))，其中x≥3，x∈N*.【解析】由原不等式得eq\f(9！,〔9－x〕！)＞eq\f(6×9！,〔9－x＋2〕！)，其中3≤x≤9，x∈N*，即(11－x)·(10－x)＞6，整理得x2－21x＋104＞0，解得x＜8或x＞13.又3≤x≤9，x∈N*，所以x＝3，4，5，6，7.故原不等式的解集为{3，4，5，6，7}．类型三排列与排列数公式的简洁应用(数学建模、数学运算)角度1分类问题【典例】在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参与了A，B，C三个工程的志愿者工作，因工作需要，每个工程仅需1名志愿者，且甲不能参与A，B工程，乙不能参与B，C工程，那么共有____________种不同的志愿者安排方案．(用数字作答)【思路导引】由题意可以分四类，依据分类加法计数原理可得．【解析】(1)假设甲，乙都参与，那么甲只能参与C工程，乙只能参与A工程，B工程有3种方法，(2)假设甲参与，乙不参与，那么甲只能参与C工程，A，B工程，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝6种方法，(3)假设甲不参与，乙参与，那么乙只能参与A工程，B，C工程，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝6种方法，(4)假设甲不参与，乙不参与，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝6种方法，依据分类加法计数原理，共有3＋6＋6＋6＝21种．答案：21【变式探究】将本例条件“甲不能参与A，B工程，乙不能参与B，C工程〞改为“甲不能参与A工程，乙不能参与B工程〞，其他条件不变，试求有多少种安排方案．【解析】分四种状况：(1)甲，乙都参与．假设甲参与B工程，那么有2×3＝6种方法，假设甲参与C工程，有3种方法，共有9种方法；(2)假设甲参与，乙不参与，那么有2Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝2×6＝12种方法；(3)假设甲不参与，乙参与，那么有2Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝2×6＝12种方法；(4)假设甲不参与，乙不参与，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝6种方法，依据分类加法计数原理，共有9＋12＋12＋6＝39种．角度2分步问题【典例】中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数〞合称“六艺〞．“礼〞，主要指德育；“乐〞，主要指美育；“射〞和“御〞，就是体育和劳动；“书〞，指各种历史文化学问；“数〞，指数学．某校国学社团开展“六艺〞课程讲座活动，每艺支配一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数〞必需排在第三节，且“射〞和“御〞两门课程相邻排课，那么“六艺〞课程讲座不同的排课挨次共有()A．12种B．24种C．36种D．48种【思路导引】“数〞的位置已经确定，可先支配“射〞和“御〞，再支配其他三艺．【解析】选C.由题意，“数〞排在第三节，那么“射〞和“御〞两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6节，有3种，再考虑两者的挨次，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝2种，剩余的3门全排列，支配在剩下的3个位置，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝6种，所以“六艺〞课程讲座不同的排课挨次共有3×2×6＝36种不同的排法．解简洁排列应用题的思路(1)仔细分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有挨次．(2)假如是的话，再进一步分析，这里n个不同的元素指的是什么，以及从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素的每一种排列对应的是什么大事．(3)运用排列数公式求解．提示：解答相关的应用题时不要无视n为正整数这一条件．1．现将爱国福、和谐福、友善福、富强福、敬业福排成一排，爱国福与敬业福相邻，那么不同排法有________种．()A．72B．24C．36D．48【解析】选D.将爱国福与敬业福捆绑在一起，再与和谐福、友善福、富强福进行全排列，所以排法有：Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))·Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝2×4×3×2＝48种．2．小五、小一、小节、小快、小乐五位同学站成一排，假设小一不消失在首位和末位，小五、小节、小乐中有且仅有两人相邻，求能满意条件的不同排法共有多少种．【解析】按小一的位置分三类：①当小一消失在第2位时，那么第1位必为小五、小节、小乐中的一位同学，所以满意条件的不同排法有3Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝12种；②当小一消失在第3位时，那么第1位、第2位为小五、小节、小乐中的两位同学或第4位、第5位为小五、小节、小乐中的两位同学，所以满意条件的不同排法有2Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝24种；③当小一消失在第4位时，那么第5位必为小五、小节、小乐中的一位同学，所以满意条件的不同排法有3Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝12种．综上，共有12＋24＋12＝48种．课堂检测·素养达标1．以下问题中：①10本不同的书分给10名同学，每人一本；②10位同学互通一次；③10位同学互通一封信；④10个没有任何三点共线的点构成的线段．属于排列的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【解