数学（江苏专用理科提高版）大一轮复习自主学习第67课二项式定理及其应用

第67课二项式定理及其应用【自主学习】第67课二项式定理及其应用(本课时对应同学用书第173~174页)自主学习回归教材1.(选修23P36复习题8改编)设n为自然数，那么2n2n1+…+(1)k2nk+…+(1)n=.【答案】1【解析】2n2n1+…+(1)k2nk+…+(1)n=(21)n=1.2.(选修23P31例3改编)(1+2x)5的绽开式中，x2的系数等于.【答案】40【解析】=(2x)r=2rxr，当r=2时，T3=40x2.3.(选修23P36复习题7改编)假设的绽开式中含x3项的系数是84，那么实数a=.【答案】1【解析】Tr+1=x9r=(1)rarx92r，令92r=3，得r=3，所以x3的系数是(1)3a3=84a3=84，解得a=1.4.(选修23P36复习题12改编)假设(x1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，那么a0+a2+a4的值为.【答案】8【解析】令x=1，那么a0+a1+a2+a3+a4=0，令x=1，那么a0a1+a2a3+a4=16，所以a0+a2+a4=8.1.二项式定理的有关概念(1)二项绽开式(a+b)n=an+an1b+…+anrbr+…+bn，n∈N*.上述公式所表示的定理叫作二项式定理，右边的多项式叫作(a+b)n的二项绽开式.(2)二项绽开式的特点：①共有n+1项.②a按降幂排列，b按升幂排列，且a，b的指数和为n.(3)绽开式中的各项的系数(r=0，1，2，…，n)叫作二项式系数.(4)绽开式中的第r+1项记为Tr+1=anrbr.2.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离〞的两个二项式系数相等，即===，…，=.(2)增减性与最大值：二项式系数(r=0，1，2，…，n)，当r<时，二项式系数是渐渐增大的.由对称性知它的后半局部是渐渐减小的，且在中间取得最大值.当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项相等，即=，且同时取得最大值.(3)(a+b)n的绽开式的各个二项式系数的和等于2n，即+++…++…+=2n.二项绽开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即+++…=+++…=2n1.【要点导学】要点导学各个击破二项式中有关特定项的问题例1(1)假设二项式的绽开式中，第4项与第7项的二项式系数相等，那么绽开式中x6的系数为.(2)的绽开式中常数项是.【思维引导】(1)由题意可得=，可求n，然后写出绽开式的通项，令x的指数为6求出r，即可求解.(2)据二项绽开式的通项公式求得第r+1项，令x的指数为0，得常数项.【答案】(1)9(2)160【解析】(1)由题意可得，=，解得n=9.由于的绽开式的通项为Tr+1=x9r=，令9=6，解得r=2，此时的系数为=9.(2)绽开式的通项为Tr+1=(2)rx3r，令3r=0，得r=3，所以绽开式的常数项为(2)3=160.【精要点评】求二项绽开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k+1，代回通项公式即可.变式(2014·南京模拟)在的绽开式中，x的幂指数是整数的项共有项.

【答案】5【解析】=()24r=，故当r=0，6，12，18，24时，幂指数为整数，共5项.二项式系数和或各项系数和问题例2在(2x3y)10的绽开式中：(1)求二项式系数和；(2)求各项系数和；(3)求奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)求奇数项系数和与偶数项系数和；(5)求x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.【思维引导】求二项式系数和或各项系数的和的问题，常用赋值法求解.【解答】设(2x3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10，(*)各项系数和为a0+a1+…+a10，奇数项系数和为a0+a2+…+a10，偶数项系数和为a1+a3+a5+…+a9，x的奇次项系数和为a1+a3+a5+…+a9，x的偶次项系数和为a0+a2+a4+…+a10.(1)二项式系数和为++…+=210.(2)令x=y=1，各项系数和为(23)10=(1)10=1.(3)奇数项的二项式系数和为++…+=29，偶数项的二项式系数和为++…+=29.(4)令x=y=1，得到a0+a1+a2+…+a10=1，①令x=1，y=1(或x=1，y=1)，得a0a1+a2a3+…+a10=510，②①+②得2(a0+a2+…+a10)=1+510，所以奇数项系数和为；①②得2(a1+a3+…+a9)=1510，所以偶数项系数和为.(5)x的奇次项系数和为a1+a3+a5+…+a9=；x的偶次项系数和为a0+a2+a4+…+a10=.【精要点评】(1)“赋值法〞普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax+b)n，(ax2+bx+c)m(a，b∈R)的式子求其绽开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x=1即可；对形如(ax+by)n(a，b∈R)的式子求其绽开式各项系数之和，只需令x=y=1即可.(2)假设f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn，那么f(x)的绽开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=，偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=.变式(12x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7.(1)求a1+a2+…+a7；(2)求a1+a3+a5+a7；(3)求a0+a2+a4+a6；(4)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|.【解答】令x=1，那么a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=1.①令x=1，那么a0a1+a2a3+a4a5+a6a7=37.②(1)由于a0==1，所以a1+a2+a3+…+a7=2.(2)(①②)÷2，得a1+a3+a5+a7==1094.③(3)(①+②)÷2，得a0+a2+a4+a6==1093.④(4)由于(12x)7的绽开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=(a0+a2+a4+a6)(a1+a3+a5+a7)，所以所求即为④③(亦即②)，其值为2187.二项式系数或系数最大项问题例3(+x2)2n的绽开式的二项式系数和比(3x1)n的绽开式的二项式系数和大992.在的绽开式中：(1)求二项式系数最大的项；(2)求系数的肯定值最大的项.【解答】由题意知22n2n=992，即(2n32)(2n+31)=0，所以2n=32，解得n=5.(1)由二项式系数的性质知，的绽开式中第6项的二项式系数最大，即=252.所以二项式系数最大的项为T6=(2x)5=8064.(2)设第k+1项的系数的肯定值最大，=·(2x)10k·=(1)k·210k·x102k，所以得即解得≤k≤，由于k∈Z，所以k=3.故系数的肯定值最大的项是第4项，T4=·27·x4=15360x4.变式在二项式的绽开式中：(1)求二项式系数最大的项；(2)求系数最大的项和系数最小的项.【解答】(1)二项式系数最大的项即绽开式的中间项，即第5项，所求项为T4+1=()4=.(2)先求系数肯定值最大的项，设第r+1项的系数的肯定值最大，那么即所以5≤r≤6，即第6项和第7项的系数肯定值最大，由于第6项的系数为负，第7项的系数为正，所以第7项是系数最大的项，这一项为T6+1=()2=1792x11，第6项是系数最小的项，这一项为T5+1=()3=1792.1.(2014·浙江五校联考)在的绽开式中x的系数为.【答案】10【解析】由于=(x2)5r·=x103r，令103r=1，得r=3，所以x的系数为=10.2.假设的绽开式中x4的系数为7，那么实数a=.【答案】【解析】=ar，令8r=4，得r=3，故a3=7，易得a=.3.假设(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，那么a3=.【答案】80【解析】二项式绽开式的通项公式为Tr+1=·(2x)r，故x3的系数为a3=·23=80.4.的绽开式中，前三项的系数成等差数列，那么绽开式中全部的有理项为.【答案】x4，x，【解析】由于前三项的系数1，成等差数列，所以2×=1+，即n29n+8=0，所以n=8或n=1(舍去)，所以其通项为=()8r·=··，所以绽开式中的有理项，仅在4为整数时成立，又3与4互质，故r是4的倍数.又由于0≤r≤8，所以r=0，4，8，所以绽开式的有理项是T1=x4，T5=x，T9=.5.设(2x+1)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7.(1)求第四项二项式系数及含有x3的项的系数；(2)求a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7的值.【解答】(1)第四项二项式系数为=35；又T5=(2x)3·14=280x3，即含有x3项的系数为280.(2)当x=1时，a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=37，当x=0时，有a0=1，于是a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=371.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成?配套检测与评估?中的练习第133~134页.【检测与评估】第67课二项式定理及其应用一、填空题1．在二项式的绽开式中，各项的系数之和为A，各项的二项式系数之和为B.假设A+B=72，那么n=.2．假设的绽开式中全部的二项式系数之和为64，那么绽开式中的常数项为.3．假设二项式的绽开式中的常数项为5，那么实数a的值为.4．在二项式(x2+x+1)(x1)5的绽开式中，含x4项的系数是.5．设(2x1)6=a6x6+a5x5+…+a1x+a0，那么|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=.6．假设二项式的绽开式中的第6项的系数最大，那么其常数项为.7．假设二项式的绽开式中的第3项与第7项的二项式系数相等，那么该绽开式中的系数为.8．“n=5〞是“二项式的绽开式中含有常数项〞的(从“充分不必要〞“必要不充分〞“充要〞或“既不充分也不必要〞中选填一个)条件.二、解答题9．(1)求证：1+2+22+…+25n1(n∈N*)能被31整除；(2)求S=++…+除以9的余数.10．二项式的绽开式中的前三项的系数的肯定值依次成等差数列.(1)求证：绽开式中没有常数项.(2)求绽开式中全部的有理项.11．(1)求证：32n+28n9(n∈N*)能被64整除；(2)求证：2<<3(n∈N*，n≥2).【检测与评估答案】第67课二项式定理及其应用1．3【解析】令x=1，得绽开式中的各项的系数之和A=4n，又各项的二项式系数之和B=2n，所以A+B=4n+2n=72，即(2n8)(2n+9)=0，所以2n=8，解得n=3．2．160【解析】由于的绽开式中的二项式系数之和为64，所以2n=64，所以n=6．由通项公式可知Tr+1=(2)6r=26r·(1)rx3r，当r=3时，绽开式中的常数项为23(1)3=160.3．1【解析】Tr+1=(ax2)5r()r=a5r，令10=0，解得r=4，所以a=5，故a=1.4．5【解析】由于(x2+x+1)(x1)=x31，所以原式可化为(x31)(x1)4，故绽开式中含x4项的系数为(1)3=41=5．5．729【解析】由于Tr+1=(2x)6r(1)r=(1)r26rx6r，所以ar+1=(1)r26r，所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=a0a1+a2a3+a4a5+a6=[2×(1)1]6=36=729．6．210【解析】二项式的绽开式的通项为Tr+1=，所以绽开式中各项的系数与二项式系数相等.由于二项式的绽开式中的第6项的系数最大，所以n+1=6，解得n=5，所以绽开式的通项为Tr+1=，令5=0，解得r=6，所以常数项为=210．7．56【解析】由题意知=，所以n=8，所以Tr+1=·x8r·=·x82r，当82r=2时，r=5，所以的系数为=56．8．充分不必要【解析】由于的绽开式的通项为Tr+1=2nr·，当的绽开式中含有常数项时，满意=0.当n=5时，=0，此时含有常数项；反之，当n=10时，r=6，也有常数项，但是不满意n=5．故“n=5〞是“二项式的绽开式中含有常数项〞的充分不必要条件.9．(1)由于1+2+22+…+25n1==25n1=32n1=(31+1)n1=31n+31n1+…+31+1=31(31n1+31n2+…+)，明显31n1+31n2+…+为整数，所以原式能被31整除.(2)S=++…+=2271=891=(91)91=×99×98+…+×91=9(×98×97+…+)2．明显×98×97+…+是整数，所以S被9除的余数为7．10．依题意知前三项系数的肯定值依次是1，，那么2·=1+，即n29n+8=0，所以n=8(n=1舍去)，所以Tr+1=()8r=··=(1)r··.(1)假设Tr+1为常数项，那么=0，即3r=16．由于r∈Z，所以这不行能，所以绽开式中没有常数项.(2)假设Tr+1为有理项