吉林大学本科运筹学课件

第七章动态规划动态规划的基本方法动态规划应用举例1清华大学出版社动态规划什么是动态规划解决多阶段决策过程最优化的一种数学方法。动态规划的形成产生于20世纪50年代。1951年美国数学家贝尔曼(R.Bellman)等人，根据一类多阶段决策问题的特点，把多阶段决策问题变换为一系列互相联系的单阶段问题，然后逐个加以解决。与此同时，他提出了解决这类问题的“最优性原理”，研究了许多实际问题，从而创建了解决最优化问题的一种新的方法——动态规划。动态规划的应用在工程技术、企业管理、工农业生产及军事等部门中都有广泛的应用，并且获得了显著的效果。2清华大学出版社动态规划动态规划在企业管理中的主要应用领域最优路径问题资源分配问题生产调度问题库存问题装载问题排序问题设备更新问题生产过程最优控制问题等等

动态规划是求解某类问题的一种方法，是考查问题的一种途径，而不是一种特殊算法(如线性规划是一种算法)。因而，它不像线性规划那样有一个标准的数学表达式和明确定义的一组规则，而必须对具体问题进行具体分析处理。3清华大学出版社动态规划动态规划模型的分类根据多阶段决策过程的时间参量是离散的还是连续变量，分为离散决策过程和连续决策过程。根据决策过程的演变是确定性的还是随机性的，又可分为确定性决策过程和随机性决策过程。组合起来可分为离散确定性离散随机性连续确定性连续随机性本书主要研究离散确定性决策过程。4清华大学出版社第8章动态规划的基本方法

第1节多阶段决策过程及实例第2节动态规划的基本概念和基本方程第3节动态规划的最优性原理和最优性定理第4节动态规划和静态规划的关系5清华大学出版社第1节多阶段决策过程及实例例1最短路线问题

给定一个线路网络，两点之间连线上的数字表示两点间的距离(或费用)，试求一条由A到G的铺管线路，使总距离为最短(或总费用最小)。6清华大学出版社第1节多阶段决策过程及实例多阶段决策过程在生产和科学实验中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分为若干个互相联系的阶段，在它的每一个阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。因此，各个阶段决策的选取不是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展。当各个阶段决策确定后，就组成了一个决策序列，因而也就决定了整个过程的一条活动路线。这种把一个问题可看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，也称序贯决策过程。7清华大学出版社第1节多阶段决策过程及实例例2机器负荷分配问题某种机器可以在高低两种不同的负荷下进行生产。在高负荷下进行生产时，产品的年产量g和投入生产的机器数量u1的关系为

g=g(u1)这时，机器的年完好率为a，即如果年初完好机器的数量为u，到年终时完好的机器就为au，0＜a＜1，在低负荷下生产时，产品的年产量h和投入生产的机器数量u2的关系为

h=h(u2)相应的机器年完好率为b,0＜b＜1。假定开始生产时完好的机器数量为s1。要求制定一个五年计划，在每年开始时，决定如何重新分配完好的机器在两种不同的负荷下生产的数量，使在五年内产品的总产量达到最高。8清华大学出版社第2节动态规划的基本概念和基本方程例1中求A到G的最短路线问题是动态规划中一个典型例子。现通过讨论它的解法，说明动态规划方法的基本思想，并阐述有关基本概念。由图8-2可知，从A点到G点可以分为6个阶段。在第一阶段，A为起点，终点有B1、B2两个，因而这时走的路线有两个选择，一是走到B1；一是走到B2，若选择走到B2的决策，则B2就是第一阶段决策的结果。它既是第一阶段路线的终点，又是第二阶段路线的始点。在第二阶段，再从B2点出发，有一个可供选择的终点集合｛C2，C3，C4｝；若选择由B2走至C2，则C2就是第二阶段的终点，同时又是第三阶段的始点。递推下去可看到：各个阶段的决策不同，路线就不同。显然，当某阶段的始点给定后，会影响后面各阶段的行进路线和整个路线的长短，而后面各阶段路线的发展不受这点以前各阶段决策的影响。故此问题的要求是：在各个阶段上选则一个恰当的决策，使得由这些决策组成的一个决策序列所决定的一条路线是总路程最短的一条。9清华大学出版社2.1动态规划的基本概念

1．阶段把所给问题的过程，恰当地分为若干个相互联系的阶段，以便能按一定的次序去求解。描述阶段的变量称为阶段变量，常用k表示。阶段的划分，一般是根据时间和空间的自然特征来划分，但要便于把问题的过程能转化为多阶段决策的过程。如例1可分为6个阶段来求解，k分别等于1、2、3、4、5、6。10清华大学出版社2.1动态规划的基本概念

2．状态状态表示每个阶段开始所处的自然状况或客观条件，它描述了研究问题过程的状况，又称不可控因素。在例1中，状态就是某阶段的出发位置。它既是该阶段某支路的起点，又是前一阶段某支路的终点。通常一个阶段有若干个状态，第一阶段有一个状态就是点A，第二阶段有两个状态，即点集合｛B1，B2｝，一般第k阶段的状态就是第k阶段所有始点的集合。11清华大学出版社2.1动态规划的基本概念

描述过程状态的变量称为状态变量。它可用一个数、一组数或一向量(多维情形)来描述。常用Sk表示第k阶段的状态变量。如在例1中第三阶段有四个状态，则状态变量Sk可取四个值，即C1、C2、C3、C4。点集合｛C1，C2，C3，C4｝就称为第三阶段的可达状态集合。记为S3＝｛C1，C2，C3，C4｝。有时为了方便起见，将该阶段的状态编上号码1，2…这时也可记S3＝｛1，2，3，4｝。第k阶段的可达状态集合就记为Sk。马尔科夫性这里所说的状态应具有下面的性质：如果某阶段状态给定后，则在这阶段以后过程的发展不受这阶段以前各段状态的影响。换句话说，过程的过去历史只能通过当前的状态去影响它未来的发展，当前的状态是以往历史的一个总结。这个性质称为无后效性(即马尔科夫性)。12清华大学出版社2.1动态规划的基本概念3．决策决策表示当过程处于某一阶段的某个状态时，可以作出不同的决定(或选择)，从而确定下一阶段的状态，这种决定称为决策。在最优控制中也称为控制。描述决策的变量，称为决策变量。它可用一个数、一组数或一向量来描述。常用uk（sk）表示第k阶段当状态处于sk时的决策变量。它是状态变量的函数。在实际问题中，决策变量的取值往往限制在某一范围之内，此范围称为允许决策集合。常用Dk(sk)表示第k阶段从状态sk出发的允许决策集合，显然有uk（sk）∈Dk(sk)。13清华大学出版社2.1动态规划的基本概念3．决策如在例1第二阶段中，若从状态B1出发，就可作出三种不同的决策，其允许决策集合D2(B1)＝｛C1，C2，C3｝，若选取的点为C2，则C2是状态B1在决策u2(B1)作用下的一个新的状态，记作u2(B1)=C2。14清华大学出版社2.1动态规划的基本概念4．策略策略是一个按顺序排列的决策组成的集合。由过程的第k阶段开始到终止状态为止的过程，称为问题的后部子过程。由每段的决策按顺序排列组成的决策函数序列称为k子过程策略，简称子策略，记为，即当k=1时，此决策函数序列称为全过程的一个策略，简称策略，记为，即在实际问题中，可供选择的策略有一定的范围，此范围称为允许策略集合，用P表示。从允许策略集合中找出达到最优效果的策略称为最优策略。15清华大学出版社2.受1动态职规划苍的基期本概并念5．状舅态转乖移方造程状态宴转移瓜方程里是确烫定过禾程由槽一个肃状态塞到另尘一个晌状态遍的演煎变过劝程。劳若给疏定第k阶段皆状态砌变量竖的值蛮，如睛果该缸段的学决策渐变量uk一经委确定捆，第k+1阶段狠的状藏态变撕量sk+1的值夜也就货完全硬确定货。即sk+1的值灶随sk和uk的值熟变化共而变环化。枣这种南确定采的对摇应关脱系，织记为上式滴描述财了由k阶段童到k+滨1阶段进的阶段胃的状御态转膛移规泡律，饱称为充状态读转移故方程匆。Tk称为墨状态旺转移拢函数将。如冶例1中，店状态置转移翅方程椅为16清华臂大学摇出版侨社2.自1动态抱规划抄的基弃本概俊念6．指弊标函搜数和馅最优匹值函搂数用来腿衡量棕所实雄现过告程优辅劣的仅一种齿数量胶指标沾，称辟为指碌标函辜数。劳它是客定义材在全穷过程勉和所插有后拾部子闻过程固上确顾定的朝数量非函数挨。常筐用Vk,何n表示蜘，即对于榜要构市成动叔态规很划模才型的指标斜函数，应战具有质可分晚离性口，并满足闪递推叔关系。即Vk,障n可以驼表示旗为sk、uk、Vk+1氏,n的函闻数，樱记为在实跑际问背题中紧很多蚊指标贼函数洲都满后足这纠个性怪质。17清华酬大学倚出版瞎社2.锋1动态议规划李的基魄本概寻念(1吴)过程污和它顽的任伤一子鸟过程善的指纤标是静它所藏包含煎的各阶际段的佳指标命的和。即其中表示肠第j阶段嫂的阶良段指凤标，吐这时贫上式乐可写括成(2应)过程走和它哄的任能一子咬过程榆的指盗标是朗它所缘瑞包含药的各阶完段的虹指标兄的乘轰积。即这时年就可虑写成常见茎的指夏标函树数形萌式18清华棵大学产出版映社2.拔1动态日规划保的基孕本概捧念指标遮函数滚的最擦优值茂，称宵为最甚优值翠函数尾，记佩为。它盟表示爆从第k阶段梁的状炮态sk开始翼到第n阶段的终杀止状慈态的灾过程芝，采疲取最步优策详略所斗得到币的指恒标函砖数值晒。即“op虏t”是最葵优化(o泄pt税im疮iz约at恼io臣n)的缩膊写，打可根母据题托意而属取mi眨n或ma债x。19清华番大学良出版亲社2.苹2动态桂规划钩的基使本思惰想和狭基本栗方程结合拆最短刃路线领问题恨介绍咸动态间规划芬方法捐的基脸本思勉想。生活层中的寺常识扭告诉晴我们辨，最你短路竖线有羞一个尿重要风特性忍：如蛇果由岂起点A经过P点和H点而宅到达染终点G是一距条最匪短路燥线，灰则由敌点P出发妈经过H点到筛达终字点G的这枪条子悄路线白，对返于从像点P出发巴到达脚终点导的所撕有可吊能选摸择的傅不同叔路线被来说魔，必拐定也违是最休短路搭线。醒例如此，在茎最短饥路线家问题浙中，旷若找赴到了A→趟B1→C2→D1→E2→F2→G是由A到G的最惰短路域线，舍则D1→E2→F2→G应该科是由D1出发饿到G点的展所有载可能杨选择融的不指同路等线中鬼的最诊短路保线。证明追：（妄用反益证法先）如迁果不刑是这针样，拾则从雄点P到G点有语另一臭条距股离更坛短的责路线膝存在侮，把剩它和置原来练最短内路线转由A点到血达P点的兼那部霜分连勿接起卡来，两就会丑得到词一条议由A点到G点的嘉新路惹线，忠它比浓原来不那条贵最短诸路线简的距练离还居要短渴些。驾这与口假设碎矛盾拳，是偷不可歉能的烤。20清华违大学驱出版款社2.残2动态辱规划季的基壮本思甩想和要基本尾方程根据则最短财路线酸这一销特性扰，寻芦找最夫短路梁线的珠方法简，就粘是从最乌后一辣段开弯始，驾用由嘉后向引前逐筐步递挎推的母方法，求爪出各遍点到G点的柿最短痛路线帮，最痒后求床得由A点到G点的款最短追路线摘。所液以，游动态割规划慰的方玩法是势从终旋点逐顶段向吼始点券方向愤寻找称最短棵路线凳的一匠种方木法。下面补按照浩动态坊规划灯的方滤法，皮将例1从最遇后一侵段开钱始计邻算，闸由后牙向前霞逐步以推移惨至A点。21清华颗大学像出版锐社2.阵1动态苹规划疲的基奶本概勇念22清华寻大学案出版鼻社2.碌2动态贡规划边的基肝本思得想和迟基本缘瑞方程当k=6时，窜由F1到终雨点G只有淡一条糖路线驾，故。同栏理，当k=5时，巩出发桌点有披三筛个。存若从E1出发规，则此有两胆个选符择①至F1，②至F2，则其相穗应的字决策颠为这说夕明，贷由E1至终火点G的最短辣距离脾为7，其景最短闷路线掀是23清华难大学扫出版会社2.纲2动态介规划安的基济本思狂想和约基本刘方程同理射，从E2和E3出发众，则涝有其相旅应的日决策狐为且24清华份大学江出版劲社2.鞠2动态光规划旧的基减本思饿想和剂基本闯方程当k=袄4时，绣有当k=幼3时，堡有当k=族2时，救有当k=茫1时，跪出发增点有薄一个A点，简则且。于凶是得首到从安起点A到终在点G的最好短距枣离为18。25清华鉴大学断出版测社2.倡2动态呼规划待的基匙本思盘想和阿基本桐方程为了泉找出逐最短抚路线恳，再随按计送算的格顺序功反推祸之，可蹄求出卵最优籍决策戏函数归序列，即简由组成乞一个馅最优接策略婚。因豆而，找出养相应扛的最华短路归线为26清华浓大学排出版辅社2.凑2动态国规划轧的基啦本思讨想和况基本弱方程从上尤面的辟计算倦过程著中可叔以看冶出，芹在求吵解的陕各个承阶段阁，我聋们利泊用了k阶段盖与k+滋1阶段梨之间伸的递层推关尖系：一般薄情况健，k阶段索与k+浸1阶段微的递愁推关趣系式滋可写烈成边界右条件垂为递推渐关系披式(8胆-1基)称为动态租规划变的基眉本方谦程。27清华青大学麦出版蹈社2.链2动态耳规划已的基码本思长想和搏基本滑方程动态揭规划毙方法交基本估思想铁归纳摊：动态腐规划谊方法幻玉的关酱键在猛于正似确地营写出臣基本必的递窗推关撇系式努和恰继当的味边界详条件(简言肉之为辆基本堵方程)。要抛做到嫁这一睬点，垦必须货先将娃问题择的过耕程分戚成几隐个相包互联京系的庭阶段复，恰公当地视选取季状态弟变量按和决道策变财量及关定义航最优免值函煮数，刊从而翅把一抵个大趣问题船化成一族挑同类湿型的堆子问逼题，然俯后逐谎个求塌解。测即从遥边界越条件陶开始胞，逐费段递袜推寻叹优，展在每舞一个鼠子问险题的万求解浆中，秆均利信用了轿它前收面的麦子问羊题的姜最优肝化结逐果，岗依次个进行铜，最私后一帮个子秩问题隶所得孤的最澡优解井，就柿是整组个问孕题的嫂最优张解。在多过阶段会决策傲过程茎中，准动态岔规划眠方法熔是既芒把当感前一泼段和页未来踏各段定分开勺，又滑把当避前效欲益和首未来兰效益绒结合炊起来出考虑倚的一附种最虫优化介方法帐。因辞此，种每段疏决策章的选或取是从全读局来节考虑窄的，与坟该段侨的最修优选朵择答俘案一睬般是异不同菌的。28清华机大学继出版达社2.绍2动态身规划会的基耕本思蜘想和喷基本雁方程在求横整个题问题常的最院优策订略时骡，由萝于初能始状乐态是鹊已知女的，当而每懂段的宜决策潜都是灿该段呜状态耳的函催数，着故最盯优策煮略所舅经过烦的各塑段状椅态便幼可逐券次变达换得柜到，恶从而罪确定枣了最禾优路驴线。如例1最短而路线早问题黑，初符始状削态A已知案，则票按下锐面箭畜头所望指的祸方向脊逐次醋变换觉有从而牧可得比最优沉策略鄙为｛u1(A),u2(B1),添…,u0’(F2)｝，浩相应背的最肆短路强线为29清华忘大学装出版果社2.酬2动态躬规划架的基浸本思复想和妄基本东方程求解侦最短庸路问呢题的给标号巴法——逆序毅解法30清华泉大学佛出版造社2.炉2动态案规划沾的基透本思恋想和其基本间方程求解注最短财路问键题的由标号互法——顺序泪解法31清华永大学卧出版俗社2.时2动态让规划叫的基趴本思刑想和哪基本茧方程动态刘规划逢的方滤法比坦穷举驾法有卸以下亡优点冤：(1机)减少逢了计缠算量僚。计茫算例1若用挽穷举俱法，盟就要湖对48条路妖线进箭行比鱼较，夹运算洒在计顷算机陕上进得行时烦，比家较运班算要扭进行47次；总求各宏条路颠线的垮距离付，即炼使用泡逐段击累加康方法洲，也精要进林行6+扣12瓦+2毛4+讽48圣+4研8＝13咸8次加袄法运纺算。思用动跨态规批划方笔法来待计算煌，比尖较运绸算(从k=莲5段开趁始向加前算)共进泽行3+免3+球4+亲4+旅1＝15次。置每次缎比较营运算理相应兆有两融次加庙法运其算，骄再去灿掉中地间重修复两驼次(即B1→C1，B2→C4各多技算了悉一次)，实臭际只取有28次加言法运末算。奔可见切，动畏态规鸟划方加法比侍穷举胡法减线少了蚁计算浸量。存而且嘴随着穴段数悉的增翅加，少计算翅量将扰大大大地减演少。(2园)丰富放了计姻算结洋果。拍在逆株序(或顺挂序)解法校中，赠我们吹得到粪的不移仅仅姻是由A点(或G点)出发头到G点(或A点)的最蹦短路珍线及胜相应纱的最剖短距攻离，块而且葛得到荐了从扛所有旺各中拥间点术出发奇到G点(或A点)的最恐短路趋线及挺相应它的距述离。疮这就飞是说蜘，求净出的初不是准一个义最优险策略获，而粪是一蜓族的耻最优捞策略字。32清华室大学虏出版拖社2.竹2动态讨规划闻的基单本思徒想和轧基本戏方程建立晕动态宴规划凉模型韵的五稿个要疑点：(1漆)将问恢题的冰过程愁划分翠成恰讲当的赞阶段很；(2霉)正确辩选择盈状态陷变量sk，使觉它既盒能描沿述过淋程的潜演变显，又膀要满搏足无缠后效明性；(3得)确定希决策筋变量uk及每底阶段英的允尾许决侨策集灰合Dk(sk)；(4疮)正确铺写出缴状态僵转移曲方程铜；(5瓣)正确猜写出溉指标临函数皱的关愚系，嫩它应示满足跑下面乘性质姿：①旺是定应义在躁全过降程和萍所有索后部讯子过最程上破的数缸量函塘数；②炒要具培有可饰分离体性，时并满壮足递羡推关娇系。卫即33清华买大学粪出版充社2.凑2动态夫规划炉的基缘瑞本思断想和瓦基本验方程所以旬，得投到动态嘉规划印逆序贪解法血的基智本方联程：边界妥条件为式中求解内过程碍，根味据边坟界条斥件，从k=纲n开始鞋，由元后向膛前逆手推，从理而逐漆步可冲求得抹各段气的最该优决占策和华相应璃的最杰优值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