电力系统迭代法高斯迭代法迭代法的收敛性

计算方法第八章线性方程组的解法计算方法课程组§8.0 引言

重要性：解线性代数方程组的有效方法在计算数学和科学计算中具有特殊的地位和作用。如弹性力学、电路分析、热传导和振动、以及社会科学及定量分析商业经济中的各种问题。

求解线性方程组的求解方法，其中，。假设非奇异，则方程组有唯一解.§8.0 引言

分类：线性方程组的解法可分为直接法和迭代法两种方法。直接法：对于给定的方程组，在没有舍入误差的假设下，能在预定的运算次数内求得精确解。最基本的直接法是Gauss消去法，重要的直接法全都受到Gauss消去法的启发。计算代价高.迭代法：基于一定的递推格式，产生逼近方程组精确解的近似序列.收敛性是其为迭代法的前提，此外，存在收敛速度与误差估计问题。简单实用,诱人。§8.1雅可比Jacobi迭代法(AX=b)

一、迭代法的基本思想

二、例题分析

三、Jacobi迭代公式与解f(x)=0的不动点迭代相类似，将AX=b改写为X=BX+f的形式，建立雅可比方法的迭代格式：其中，B称为迭代矩阵。其计算精度可控，特别适用于求解系数为大型稀疏矩阵(sparsematrices)的方程组。§8.1雅可比Jacobi迭代法(AX=b)迭代法的基本思想

问题:(a)如何建立迭代格式？(b)向量序列{x(k)

}是否收敛以及收敛条件?2例题分析:

其准确解为X*={1.1,1.2,1.3}。考虑解方程组

(1)3.1Jacobi迭代法2例题分析:

建立与式(1)相等价的形式：

(2)其准确解为X*={1.1,1.2,1.3}。考虑解方程组

(1)3.1Jacobi迭代法2例题分析:

其准确解为X*={1.1,1.2,1.3}。建立与式(1)相等价的形式：考虑解方程组取迭代初值据此建立迭代公式：

迭代结果如下表：迭代次数x1

x2

x3000010.720.830.8420.9711.071.1531.0571.15711.248241.085351.185341.2828251.0950981.1950991.29413861.0983381.1983371.29803971.0994421.1994421.29933581.0998111.1998111.29977791.0999361.1999361.299924101.0999791.1999791.299975111.0999931.1999931.299991121.0999981.1999981.299997131.0999991.1999991.299999141.11.21.3151.11.21.3设方程组AX=b,通过分离变量的过程建立Jacobi迭代公式，即

由此我们可以得到Jacobi迭代公式：§8.1Jacobi迭代公式雅可比迭代法的矩阵表示

写成矩阵形式：A=LUDBJacobi迭代阵§8.2高斯-塞德尔迭代法(AX=b)注意到利用Jacobi迭代公式计算时，已经计算好了的值，而Jacobi迭代公式并不利用这些最新的近似值计算，仍用这启发我们可以对其加以改进,即在每个分量的计算中尽量利用最新的迭代值，得到上式称为Gauss-Seidel迭代法.…………写成矩阵形式：BGauss-Seidel迭代阵§8.2高斯-塞德尔迭代法其准确解为X*={1.1,1.2,1.3}。考虑解方程组高斯-塞德尔迭代法算例高斯-塞德尔迭代格式迭代次数

x1

x2

x3

000010.720.9021.164421.043081.1671881.28205431.093131.1957241.29777141.0991261.1994671.29971951.099891.1999331.29996561.0999861.1999921.29999671.0999981.1999991.29999981.11.21.3开始TFTFT逐次椒超松钉弛迭田代法(Su裤cc逢es繁si汤ve狸O涌ve晚r享Re虎la酿xa则ti欺onMe欠th初od，简商写为SO蹈R)可以某看作宽带参枯数ω的高捉斯-塞德尔迭汇代法依，是G-爪S方法柔的一腐种修飘正或援加速漠，是外求解秀大型稀遵疏矩管阵方适程组惯的有荒效方细法之桨一。§8傲.3超松星驰迭民代法SO休R方法1.删SO废R基本抖思想设方休程组AX=b叫,其中晃，A=负(aij)为非佛奇异压阵，x=(x1,x2,营…,xn)T,葬b肆=(b1,b2,穗…,bn)T.假设解已算睁出x(k)，§8澡.3超松奴驰迭适代法SO消R方法2.款SO劝R算法掩的构散造ω称为内松弛脉因子利用总高斯-塞德潮尔迭喂代法昼得:§8凤.3超松那驰迭逝代法SO佳R方法2.邻SO为R算法踏的构阀造(基于G-丹S迭代)解方减程组AX=b的逐到次超移松弛舟迭代环公式引：显然张，当木取ω=1时，钻上式椒就是灭高斯-塞德肉尔迭保代公仁式.§8芳.3超松娱驰迭播代法SO晕R方法2.炊SO票R算法印的构泽造(基于Ja锣co裙bi迭代)得到傅解方痰程组AX=b的逐其次超浸松弛衬迭代把公式冷：显然厘，上互式就碌是基于Ja仪co蚂bi迭代叹的SO规R方法.下面假令记，希望印通过孝选取派合适页的来加摆速收脾敛，役这就失是松弛霸法。3.泉SO南R算法关的进家一步乞解释SO种R方法其中ri(k+1)=相当于在的基础上加个余项生成。0<<1低松弛法=1Gauss-Seidel法2>>1(渐次)超松弛法利用SO弄R方法解方染程组SO直R例题芝分析:其准赶确解级为x*={岩1,珍1已,香2}闹.建立旗与式(1粒)相等初价的植形式税：据此常建立G-松S迭代呼公式明：取迭风代初壁值:,ω=1非.5招,迭代毅结果留如下积表.SO译R迭代墨公式虾为：GS迭代菜法须擦迭代85次得保到准洋确值x*={郊1,晃1鸦,兵2}排;而SO垃R方法摧只须55次即疾得准鲁确值.由此锦可见录，适场当地判选择芒松弛因子ω，SO掏R法具国有明显涌的加快速收舅敛效慕果.

逐次超松弛迭代法次数x1

x2

x310.6250000.0625001.75000020.3906250.8828131.46875031.0175780.5166021.80859440.5568850.8809811.71044951.0237120.7434231.868103…………

150.9915210.9853181.987416…………250.9985960.9982341.998355…………551.000001.00002.0000关于SO街R方法搬的说滨明：显然珍，当关时，SO缝R方法约就是Ga民us死s-乳S衔ei移de让l方法悲。SO均R方法瞒每一炕次迭公代的哑主要童运算负量是虎计算赴一次灵矩阵先与向半量的已乘法优。时称有为超逝松弛拐方法习，并时称竞为低欢松弛辞方法斗。计算监机实纯现时买可用控制巩迭代串终止术，或咐用SO红R方法腹可以厅看成煮是Ga钓us习s-拢Se喂id晃el方法以的一咬种修游正。（迭致代法扯基本厅定理券）设有窄方程边组挎，对渣于任府意的锁初始登向量慕，迭练代公深式孝收敛住的充霜要条丝式件是分迭代矩镇阵俊的谱古半径.8.矿4迭代英法的旋收敛粉性-充要更条件迭代遣法的仍基本桌定理档在理池论分说析中沫有重婶要意幼义。定理2：设X*是方锹程组AX茧=铸b的同缘瑞解方贵程X=从BX步+山F的准荷确解，若迭弯代公骂式中昆迭代碰矩阵B的某姜种范探数，(1)(2)则有在具体使用上，由于，因此，我们利用范数可以建立判别迭代法收敛的充分条件。

关于句解某划些特您殊方间程组泄迭代亩法的捐收敛傲性定义危：(对角助占优闲阵)设(1享)如果任元娘素满跌足称路为严格说对角梁占优塑阵(2桥)如果茶元畜素满舰足且上厨式至朱少有馒一个遥不等献式严硬格成翅立，称唐为弱对稻角占汉优阵。设漏，宿如果桃：为严吹格对屠角占砍优，府则解插的Ja然co洒bi迭代释法，Ga腹us幸s-抽Se仍id柱el迭代烧法均丘收敛开。Se翅id谷el迭代豆格式俘为从式原中解亦出故可拳得Se清id凑el迭代