专题提升十三以圆为背景的相似三角形计算与证明

专题提升(十三 以圆为背景的相似三角形的计算Z13－1，DB为半圆的直径，ABD延长线上的一点，ACE，BC⊥ACCF.AC＝12，BC＝9AO图Z13－1 解：如答图，连结OE，设⊙O的半径是R，则OE＝OB＝R.在Rt△ACB中，由勾股定理，得AB＝∵ACO ∴BC＝AB，∴9＝15R＝8

＝8【思想方法】利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形，从而得AO的长．如图Z13－2Rt△ACB中，∠ACB＝90°，OAC边上的一点O为圆心，OC为半径的AB相切DOD.若⊙O1证明：(1)∵AB是⊙O

图(2)由(1)知 2．[2017·德州]Z13－3Rt△ABC，∠C＝90°，DBCAC为直径的⊙OAB(1)求证：DE是⊙O(2)AE∶EB＝1∶2，BC＝6AE图 中考变形2答解：(1)OE，EC，∵AC是⊙O∴∠AEC＝∠BEC＝90°，∵DBC∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∵∠ACB＝90°，∴∠OED＝90°，∴DE是⊙O(2)由(1)知Rt△BECRt△BCA AE＝xBE＝2x，BA＝3x，∵BC＝6，∴62＝2x·3xx＝6AE＝3．如图Z13－4AB是⊙O的直径，BC⊥ABOCAD∥OC，直CDBAE.(1)CD是⊙O(2)DE＝2BCAD∶OC 图 中考变形3答解：(1)又又∵D在⊙OCD是⊙O(2)由(1)

E.A作⊙OAFBCF.

＝4

DEEF，求证：EF是⊙O图 中考变形4答解：(1)证明：∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，又∴△OAC为等边三角形，即∵AF为⊙O∵DE为⊙O(2)∵△AOC

＝4

2＝，4，∴OA＝1，BC＝2，OB＝1，又∴BD＝23，BE＝3，∴DE＝3(3)OOM⊥EF∴∠OEB＝∠OEM＝30OE平分∠BEF，∴OM＝OB，∴EF为⊙O5．[2017·株洲]如图Z13－6，AB为⊙O的一条弦C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点FAE的延长线上，且BE＝EF，线段CE交弦AB于D.(1)(2)BD＝2EA∶EB∶EC＝3∶1∶5，求△BCD图 中考变形5答解：(1)AC，BE2∴∠F＝2∵C是︵︵＝︵

AE，即 3，5 5 2 15∴CB＝CE，即CB＝，5∴CB＝2CAB∴OC⊥AB，设垂足为G，则

∴CG＝

如图Z13－7，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AEC的切线互相E，AE交⊙ODECABP，连结求证：ACPB，AB图 中考变形6答解：(1)∵PE是⊙O∴AC平分(2)PB，ABAB＝3PB.∵AB是⊙O∵∠P 7．[2016·枣庄]如图Z13－8，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，P是⊙O外一PA，PB，AB，已知∠PBA＝∠C.(1)求证：PB是⊙O(2)OPOP∥BCOP＝8，⊙O22BC图 中考变形7答解：(1)∵AC是⊙O∴∠PBA＋∠OBA＝90∴PB是⊙O(2)⊙O22，∴OB＝22，AC＝4又∴BC＝AC，即BC＝42 28．[2017·聊城]如图Z13－9，⊙O是△ABC的外接圆，OBC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连结BD，CD，过点DBC的平行AB的延P.求证：PD是⊙OAB＝6，AC＝8PB图 中考变形8答解：(1)证明：∵OBC∴BC是⊙O∴∠BAC＝90∵AD平分∵PD∥BC，∴OD⊥PD，∵OD为⊙O∴PD是⊙O(2)(3)∵△ABC∵OD∵BC为⊙ORt△DBC中，DB2＋DC2＝BC22