2016高考题数学文真题汇编含答案

参考答案与解析

专题/集合与常用逻辑用语

1.解析:选B.因为A={1,3,5,7},8={x|2WxW5},所以AAB={3,5}.故选B.

2.解析：选D.易知8={x|—3Vx<3},又4={1,2,3},所以AC8={1,2}.

3.解析：选C.由补集的概念，得［八8={0,2,6,10},故选C.

4.解析：选A.由题知AUB={1,3,4,5},所以［i/（AUB）={2,6}.故选A.

5.解析：选C.由推不出由x>|y|能推出x>y,所以“x>y”是“%>川”的

必要而不充分条件.

匕

〃-

一

-一-

6.解析：选A.当6<0时，段）在2，+8上单调递增,2上单调递减,

°°,_

/〃

方

时

一

+於

不+\

_即./-2-/—--2

4

8

/,2

故与用有相等的最小值一了；另一方面，取〃『

4'y（x）（X））=o,Xx）=

与式/伏））=/有相等的最小值0,故选A.

专题2函数

1.解析：选B.法一：（通性通法）因为0<c<l,所以y=log”在（0,+8）单调递减，又

0<b<a,所以log,a<logc%,故选B.

111111

法二：（光速解法）取。=4,b=2,c=y则lo啊=_g>k）g2E，排除A；42=2>22,排

除C；（；）<（；）,排除D；故选B.

2.解析：选D.法一：（通性通法）函数尸=10怛，的定义域为（0,+8）,又当x>0时，y

=10©=x,故函数的值域为（0,+°°）.只有D选项符合.

法二：（光速解法）易知函数尸10的中x>0,排除选项A、C；又心，必为正值，排除

选项B.故选D.

3.解析：选B.法一：（通性通法）由火x）=/（2-x）知兀<）的图象关于直线x=l对称，又函

数），=上一级一3|=仆一1）2—4|的图象也关于直线1=1对称，所以这两个函数的图象的交点

也关于直线X=1对称.不妨设X1〈X2V…〈川"，则力）*"'=1,即Xl+x,"=2,同理有X2+X,"

mm

12,X3IX,"-22,又XmIX,”-1+所以2XjCXIH-Xni)+(X2IX,,rT)

i=l1=1

m

+…+(X,„+X|)—2m,所以Zx,'=M7.

i-l

法二：（光速解法）取特殊函数/（%）=0（XGR）,它与），=*一级一3］的图象有两个交

点(一1,0),(3,0),此时m=2,X)=—1,X2=3,故2打=2=机，只有B选项符合.

/=1

422J.22

4.解析：选A.因为〃=23=43>3'=/?,c=25'=5'>4'=a,所以AVQVC,故选A.

5.解析：选D.当x>0时，工+；斗

所以(+£+£)=人+白£),

即-x+i)=1A%)，

所以式6)=/(5)=犬4)=…=犬1)=一八-1)=2.

6.解析:选D.易知逃=2^—是偶函数,设於尸源一e1*1,贝IJ火2)=2x2?-e?=8—e?,

所以0〈遂2)<1,所以排除A,B；当0WxW2时，丫=2%2—-所以y=4x—e，，又(y)=4

一e',当0<x<ln4时，(/)，>(),当In4cx<2时，。)<0,所以？=4》一^在(0,In4)单调

递增，在(In4,2)单调递减，所以)，=4x-e，在［0,2］有一1WyW4(ln4—1),所以了=4工一炉

在［0,2］存在零点公所以函数)，=源一^在［0,。单调递减，在(£,2］单调递增，排除C,故

选D.

7.解析：选D.由于函数〉=5吊f是一个偶函数，选项A、C的图象都关于原点对称，

所以不正确；选项B与选项D的图象都关于)，轴对称，在选项B中，当工=琦时，函数y=

sin^<1,显然不正确，当工=±'y|时，y=sinf=l,而当故选D.

8.解析：选B.设经过x年后该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，贝IJ130(1+

2

2町"5la2—Is13030—011

12%/>200,即1即小心今元〉］丁丁育二।'.'二=3.8,所以该公司全年投入的研

发资金开始超过200万元的年份是2019年.

9.解析：法一：(通性通法之分离常数法加X)=吉=一曰一=1+昔Y，二”》？，.•/

11Y

-1^1,0<—j-^1,.,.1+—j-e(l,2］,故当x=2时，函数人幻=一二取得最大值2.

X1X1X1

法二:(光速解法之反解法)令'=Y言，

二

••xy^—y=xf•.x=y__1

：尤》2,

y—1

2一3'

2=20,解得l〈y<2,故函数7U)的最大值为2.

y—1厂1

法三：(光速解法之导数法)•••兀0=言，

x—1—x-1

,W)=(A-1)2=(X-D2<0,

...函数人处在［2,+8)上单调递减，故当x=2时，函数7U)=M■取得最大值2.

答案：2

专题3导数及其应用

1.解析：选D.函数y=ln(x+D在(-1,1)上都是增函数，函数y=cosx在(一

1,0)上是增函数，在(0,1)上是减函数，而函数丫=2-*=(；》在(-1,1)上是减函数，故选

D.

2.解析：当x>0时，一xVO,则火-x)=e*r+x.又兀v)为偶函数，所以共x)=/(—x)=-

+x,所以当x>0时，f(x)=eLi+l,则曲线y=/(x)在点(1,2)处的切线的斜率为/(1)=2,

所以切线方程为y—2=2(x—1),即y=2x

答案：y-2x

3.解析:由题意得/(x)=(2x+3)e*,则得/(0)=3.

答案：3

4.解：(1)f(x)=(A—1)eA+2a(x—1)=(x—1)(ev+2a).

⑴设a20,则当xd(—8,i)时，,(x)<0；当xd(l,+8)时，/(x)>0,所以,/(x)在(一

8,I)单调递减，在(1,+8)单调递增.

(ii)设aVO,由/(x)=0得x=l或x=ln(-2a).

①若〃=一呈则/(x)=(x—De—e),

所以人犬)在(-8,+8)单调递增.

②若a>—则ln(一24<1,故当xG(—8,皿一2"))U(1,+8)时,/(x)>0；当x£(ln(—

2a),1)时，/(x)<0,

所以式力在(-8,in(-2a)),(1,+8)单调递增,

在(ln(-2a),I)单调递减.

③若a<一|,则ln(-2a)>l,故当xG(—8,i)u(ln(-2a),+8)时,/。)>0；当xG(l,

In(-2助时，1(x)<0,所以_/(x)在(一8,1),(in(-2a),+8)单调递增,在。，In(-2a))单调

递减.

(2)⑴设。>0,则由⑴知，危)在(一8,1)单调递减,在(1,+8)单调递增.

又11)=-e,五2)=4,取b满足MO且6<ln今则.")>邹一2)+如一l)2=a(〃一全)

>0.

所以火x)有两个零点.

(ii)设。=0,则夫x)=(x—2)e",所以./(x)只有一个零点.

(iii)设“<0,若42一5，则由⑴知，於)在(1,+8)单调递增，又当XW1时，火x)<0,

故火x)不存在两个零点；若“V—泰贝岫⑴知，式x)在(1,In(—2a))单调递减，在(In(—2a),

+8)单调递增，又当xWl时，犬》)<0,故4X)不存在两个零点.

综上，。的取值范围为(0,+°°).

5.解：(1VU)的定义域为(0,+8).当〃=4时，

Xx)=(x+l)lnx-4(x-l),/(x)=lnx+1一3,八1)=一2,五1)=0.

曲线y=/(x)在(1,11))处的切线方程为2x+y—2=0.

Q(X--1)

(2)当xC(l,+8)时，«r)>0等价于Inx-一>0.

a(x-1)„.

设g(x)=lnx—-工不一，则

12a『+2(1-“)x+1

g(*)—x(x+1)n—x(x+1)2g(D=O.

(1)当后2,xG(l,+8)时，♦+2(l-a)x+l-2x+l>0,故g(x)>0,g(x)在(1,

+8)上单调递增，因此g(x)>0；

(日)当“>2时，令g<x)=O得

x\—a-1—\j(a-1)2—1，X2—a~1Ca-1)2—1.

由X2>1和X|X2=1得X1<1,故当X©(1,X2)时，g'(X)<0,g(x)在(1,及)上单调递减，此

时g(x)<g(l)=O.

综上，。的取值范围是(一8,2].

6.解：(1)由题设，兀v)的定义域为(0,+8),令/(幻=0解得》=1.

当0<x<l时，/(x)>0,/)单调递增；当x>l时，/(x)<0,/)单调递减.

(2)证明：由⑴知於)在犬=1处取得最大值，最大值为11)=0.

所以当xW1时，Inx<x~\.

故当x£(l,+8)时，InJC<X—1,In1,

Y---1

即IV不?7<工

(3)证明：由题设c>l,设g(x)=l+(c-Dx-cS则g<x)=c—1—Fine,令g'(x)=O,

c~1

侬田In年

解得“°=—

当xVxo时，g，(x)>0,g(x)单调递增；当x>xo时，

g，(x)VO,g(x)单调递减.

c-1

由(2)知1(记1<c,故OVxoVL又g(O)=g(l)=O,故当OVxVl时,g(x)>0.

所以当x£(0,1)时，1+匕一1)%>优

7.解：(1)由/(x)=lnx—2ax+2a,

可得g(x)=lnx—2or+2〃，x£(O,+0°).

11~2ax

n则lg，(x)=[-2a=---.

当aWO,xG(0,+8)时，g，(x)>0,函数g(x)单调递增；

当a>0,xG(0,时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增，

xG仕，+8)时，函数g(x)单调递减.

所以当“WO时，g(x)的单调增区间为(0,+8)；

当。>0时，g(x)的单调增区间为(0,灯，单调减区间为后，+8).

⑵由⑴知，/⑴=0.

①当“won寸，/(X)单调递增，

所以当xG(0,D时，/W<0,於)单调递减；

当XG(1,+8)时，/(x)>0,贝x)单调递增.

所以人尤)在尤=1处取得极小值，不合题意.

②当0<a<1时，^>1,由(1)知/(x)在(0,古)内单调递增，

可得当xG(0,1)时，/(x)<0,xG(l,勿时，/(x)>0.

所以1x)在(0,1)内单调递减，在(1,土)内单调递增，

所以7(x)在x=l处取得极小值，不合题意.

③当时，/=1,/(X)在(0,1)内单调递增，在(1,+8)内单调递减，

所以当x£(0,+8)时，/(x)wo,兀o单调递减，不合题意.

④当时，当xc七，1)时，/(尤)>。，/)单调递增，

当x£(l,+8)时，/(x)<0,人工)单调递减，

所以兀0在1=1处取得极大值，合题意.

综上可知，实数。的取值范围为

专题4三角函数与解三角形

1.解析：选D.由余弦定理，得4+〃一2X2反osA=5,整理得3〃一防一3=0,解得6

=3或/?=一；（舍去），故选D.

2.解析：选D.函数y=2sin0Y）的周期为贫，所以将函数y=2sin0Y）的图象向右

平移打单位长度后，得到函数图象对应的解析式为），=2sin[2（1）+*2a3—。故选

D.

3.解析：选A.由题图易知4=2,因为周期T满足£下（一§,所以7=0，3若=

JT_TTTTTT

2.由时，y=2可知2乂可+8=]+2也（ZEZ）,所以©=—％+2攵兀（攵WZ）,结合选项可知函

数解析式为y=2sin（2x-5）.

（3\211

4.解析：选B«v）=l—2sin2x+6sinx=­2（sinx—引+了，因为sinx£[—L1],

所以当Sinx=l时，段）取得最大值，且於）max=5.

5.解析：选D.法一：（通性通法）由tan<9=—得sin。=—cos俱或sin9

cos6=_3^^,所以cos20=cos20—sin20=^,故选D.

、q_i、士&口、上cos2^—sin2^1—tan2^^（3）4

法二：（光速解法）cos2'=20+i20=i+tan2，=j1丫=亍

1+H

6.解析：选D.设BC边上的高为AD,则8c=3A£>,DC=2AD,所以AC=，Z5r

=小4。由正弦定理，知第=悬，即蟹=熬，解得小人=需，故选D-

2

7.解析:选C.由余弦定理得。2=从+»-2bccosA=2接一2从cosA,所以2炉（1—sinA）

jr

=2fe2（l—cosA）,所以sinA=cosA,BPtanA=l,又OvAv丁,所以<=不

8.解析：选A.函数产sinx的图象向左平行移动就单位长度可得到尸sinQ+|）的图

象.

9.解析：法一：（通性通法）因为sin（。+：）='|，所以cos^-^=sin^+（6—=

sin（0+*|,因为8为第四象限角，所以甘+2EV6V2E,k《Z,所以一*2EV。一上

2E-?kRZ,

法二：（光速解法）因为。是第四象限角，

且sin（e+g=|,所以呜为第一象限角,

4

匹-

,45

4

答案-

-3

312

10.解析：由条件可得sinA=W，sin。=可，从而有sin3=sin［兀一（A+C）］=sin（A+O

•，…63,十分一^丁山ah,dsinB21

=smAcosC+cosAsin。=行•由正弦定理总工=而9可知

套案.—

u"13

11.解析：因为y=sinx—小cosx=2sin（x一鼻），所以函数y=sinx—geosx的图象可由

函数y=2sinx的图象至少向右平移,个单位长度得到.

答案：f

12.解析：2cos2x+sin2x=cos2x+sin2x+1

=#sin（2x+；）+l,故4=也，b=l.

答案:61

13.角翠：(1)因为次x)=2sincuxcosa)x+cos2cox

=sin2Gx+cos2cox

=V^sin(2s+：),

所以於)的最小正周期T=磊子.

依题意,­=7r,

co

解得(0=1.

(2)由(1)知J(x)=y［2sin(2x+^).

函数y=sinx的单调递增区间为［2攵兀甘，2E+，］(MZ).

JTTTTT

由2E—2〈2x+4W2E+](Z：eZ),

,37rJr

得(攵£Z).

oo

所以40的单调递增区间为[也一手，E+&eGZ).

14.解：(1)在ZkABC中，由总=备，可得asinB=AinA,

又由asin28=小加inA,得2asinBcos8=小加inA=y/3asinB,

所以cosB=乎，得B=*

2O

(2)由cosA=1,可得sinA=邛^,则

■JT

sinC=sin[兀~(A+B)]=sin(A+8)=sin(A+5)

V3.4,1.24+1

=TysmA+^cosA=".

4

15.解：⑴因为cos8=5，0<B<7t,

所以sin1—COS2B=^J1—=|.

由正弦定理知幼Ar=工AR，

rCKI…ACsinC6-2r-

所以A"§出8二万一=5隹

5

(2)在△ABC中，A+8+C=m所以A=7C—(8+0,

于是cosA=-cos(B+Q=—cos(B+：)

=­cosBcos]+sinBsiny,

43

又cosB--A

55，

正

4^3也

故

ASI十

cos-一5X22

5X10

因为0<A<7t,所以sinA=yj1—cos2A-

因此,cos(A一寿=cosAcos^+sinAsin*

V2A/3,7^2176一水

=-10X2+10X2=20-

专题5平面向量、数系的扩充与复数的引入

1.解析：选C.易知z=3-2i,所以z=3+2i.

2.解析：选口z.亩4—=3布i多4罟3等故选D-

l+2i(l+2i)(2+i)5i

3.解析：选A/

2-i(2—i)(2+i)=5=L

4.解析：选B.易知z=l+i,所以z=l-i.故选B.

威•BC2X22X2h

5.解析:选A.由题意得cosNA8C=—.v.=，所以NABC=30°，

\BA\\BC\1X12

故选A.

6.解析：选B.法一：（通性通法）如图，建立平面直角坐标系，则4（0,坐），B（-1,0）,

C（1,0）,E（0,0）,D（-1,孝），由5k=2赤，得F七，一乎），则后=《，一平），BC=（1«

0),所以

O

法二：（光速解法）第.病=（屐）+方流）•病=（短+泣）•反'=g矗.BC+^AC.病=一

131

4+8=-8-

2

7.解析：因为°=(元,x+1),b=(l,2),aJ_"所以x+2(x+l)=0,解得％=一?

答案：一：2

8.解析：由题意得，一2根-12=0,所以机=-6.

答案：一6

八zi.7j4.r-，一心・/八a，b2V§A/3

9.解析：〃力=2^/3,..cos(。，b)~]^ii^i~2x2=2J

又〈。，b)£[0,7r],

<a,b)=?.

o

答案需

2

10.解析：因为2=亩=1—i,所以Z的实部是1.

答案：1

11.解析：由a2=1,回=1,网=2可得两向量的夹角为60。，建立平面直角坐标系，

可设a=(l,0),6=(1,/),e—(cos0,sin0),则|a-e|+|"e|=|cos0|+|cos。+小sin0|W|cos

4+lcos6»|+V3|sin6|=#|sin6)|+2|cos4W币,所以|a-e|+|"e|的最大值为市.

答案：由

专题6数列

1.解：(1)由已知，©历+岳=",b\—\,岳=/，得ai=2.

所以数列｛的｝是首项为2,公差为3的等差数列，

通项公式为a„=3n—\.

(2)由⑴和a也+[+m1=也，得儿+产件，因此数列｛仇｝是首项为1,公比为g的等比数

列.记｛儿｝的前〃项和为S”，则s产

2.解：(1)设数列｛〃〃｝的公差为d,由题意有2m+5d=4,

m+5d=3.

2

解得〃i=l,d=不

所以｛知｝的通项公式为小=卷匕.

,,,2〃+3

(2)由(1)知，瓦=[—^一].

当”=1,2,3时，1W—^<2,仇=1；

当”=4,5时，2<二^—V3,与=2；

..2〃+3

当〃=6,7,8时，3W—<4,d=3；

2〃+3

当〃=9,10时，4<^—<5,bn=4.

所以数列｛d｝的前10项和为1X3+2X2+3X3+4X2=24.

3.解：(1)由题意可得。2=3，a3s.

⑵由届一(2。〃+1—\)an—2%+1=0得

2斯+1(如+1)=a,t(an+1).

因为｛〃〃｝的各项都为正数，所以誓=*

故｛3｝是首项为1,公比为£的等比数列，因此a“=£~r.

4.解：(1)等比数列｛儿｝的公比“=£=3=3,

所以也=£=1,仇=庆河=27.

设等差数列｛斯｝的公差为

因为〃]4=d=27,

所以l+13d=27,即d=2.

所以〃”=2〃-1(〃=1,2,3,…).

⑵由⑴知,斯=2〃-1,力〃=3”r.

n]

因此cn=an+bn=2n—l+3'~.

从而数列｛c〃｝的前〃项和

Z,-1

5W=1+3+-+(2H-1)+1+3+-+3

〃(1+2〃一1)1—3〃

=2+1-3

.3"-1

=n2+-5—•

112

5.解：⑴设数列｛斯｝的公比为“由己知，有言一肃=怠，解得4=2,或4=一1.又由

]--，61—2，

S()=ci\•=63,知qW—1,所以1=63,得〃]=1.所以a〃=2"L

1—qY1—2

(2)由题意,得为=g(log2a〃+log2%+i)=T(log22〃1+log22〃)=〃一提即｛瓦｝是首项为1公

差为1的等差数列.

设数列｛（一D"硝的前几项和为A，则

"〃=（—b彳+仪）+（一员+扇）H---卜（-1〃-1+庆力

=6+62+63+64H---Hfei-i+fei

2n（bi+岳”）

一2

田+。2=4,0=1,

6.解：（1）由题意得，则

。2=2“|+I,02=3.

又当”22时,由

a„+1—a„=(2Sn+1)—(2S„-1+1)=2a„,

得出+1=3a”.

所以，数列｛斯｝的通项公式为%=3"「，“GN".

(2)设/=|3"7—〃一2],“CN’,"=2,岳=1.

当"23时，由于3"-1>〃+2,故与=3"-1一“一2,〃》3.

设数列｛儿｝的前“项和为Z”则71=2,72=3.

当”23时，

,9(1一3"-2)(n+7)(n-2)3n-»2-5n+ll

T.=3+----1--z~--3------------25--------=------Z5------

2,n=1,

所以3"一〃2—5”+11*

------2------,n>2,“GN*.

专题7不等式、推理与证明

x+y—320

1.解析：选B.不等式组<2x—y—3W0表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A（l,

上一2》+3》0

2）、8（2,1）,当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A与8,又两平行直线

的斜率为1,直线AB的斜率为一1,所以线段48的长度就是过4、8两点的平行直线间的距

离,易得|4B|=啦，即两条平行直线间的距离的最小值是啦，故选B.

2.解析：选C.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A(0,-3),8(3,

一1),C(0,2),显然在点B处f+V取得最大值10

3.解析：设某高科技企业生产产品A和产品B分别为x件，y件，生产产品A、产品B

的利润之和为z元，依题意得

〃1.5x+0.5yW150,

x+0.3yW90,

〈5x+3yW600,

xGN,

〃3x+yW300,

10x+3yW900,

即《5x+3)W600,

xWN,

目标函数为z=2100A-+9003?.

其可行域为四边形OMNC及其内部区域中的整点，其中点0(0,0),M(0,200),N(60,

100),C(90,0),当直线z=2100x+900y经过点M60,100)时，z取得最大值,zmax=2100X60

+900X100=216000,即生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元.

答案：216000

4.解析：法一：(通性通法)作出可行域，如图中阴影部分所示，由z=x—2y得了=%—

1z,作直线y=%并平移，观察可知，当直线经过点43,4)时，Zmin=3—2X4=-5.

法二：(光速解法)因为可行域为封闭区域，所以线性目标函数的最值只可能在边界点处

取得，易求得边界点分别为(3,4),(1,2),(3,0),依次代入目标函数可求得=—5.

答柒：—5

5.解析：由丙所言可能有两种情况.一种是丙持有“1和2”，结合乙所言可知乙持有

“2和3”，从而甲持有“1和3”，符合甲所言情况；另一种是丙持有“1和3”,结合乙所

言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和2”，不符合甲所言情况.故甲持有“1和3”.

答案：1和3

6.解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知当z=2r+3y—5

经过点A（—1,一1）时,z取得最小值,Zmin=2X（-l）+3X（-l）-5=-10.

答案：一10

专题8立体几何

1.解析：选A.由正方体的体积为8可知，正方体的棱长。=2.又正方体的体对角线是其

外接球的一条直径，即2R=，§a（R为正方体外接球的半径），所以R=小，故所求球的表面

积S=4JTR2=12兀.

2.解析：选A.由三视图可知该几何体是半径为R的球截去!所得，其

O

图象如图所示，所以5乂,兀7?3=等，解得R=2,所以该几何体的表面积S

OJJ

71

=dX4兀/?2+3义彳兀A2=]7兀.故选A.

o4

3.解析：选C.该几何体的表面积由圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面圆

的面积组成.其中，圆锥的底面半径为2,母线长为抽（2事）2+22=4,圆柱的底面半径为

2,高为4,故所求表面积S=jtX2X4+2兀义2*4+兀乂22=28兀

4.解析:选B.由三视图，知该几何体是一个斜四棱柱，所以该几何体的表面积S=2X3X6

+2X3X3+2X3X3^5=54+18^5,故选B.

5.解析：选B.由正视图、俯视图得原几何体的形状如图所示，则该几何体的侧视图为

B.

6.解析：选C.选项A,只有当机〃"或时，m///；选项B,只有当,*JL£时，m

//n；选项C,由于/up,选项D,只有当机〃£或机时;加_1_〃.故选C.

7.解析：选A.如图，过点A补作一个与正方体ABCD-A出Ci。相同棱长的正方体，易

知平面a为平面AQE,则根,〃所成角为/E4Q,因为△£■/1八为正三角形，所以sin/EAFi

=sin60°=坐，故选A.

8.解析：选B.要使球的体积V最大，必须球的半径R最大.由题意，知当球与直三棱

柱的上、下底面都相切时，球的半径取得最大值，为自此时球的体积为飙3=*乂(1)=当，

故选B.

9.解：(1)证明：因为P在平面ABC内的正投影为。，所以

因为。在平面物8内的正投影为E,所以A8LOE.

所以AB_L平面PE£>,故4B_LPG.

又由已知，可得加=P8,所以G是AB的中点.

(2)在平面以B内，过点E作PB的平行线交力于点尸，尸即为E在平面以C内的正投

影.

理由如下：由已知可得P8_LR1,PB±PC,又EF//PB,所以EF_LB4,EFLPC,因此

平面41C,即点尸为E在平面B4C内的正投影.

连接CG,因为尸在平面A8C内的正投影为D,所以。是正三角形A8C的中心.

2

由(1)知，G是AB的中点，所以。在CG上，故CQ=]CG.由题设可得PC,平面办B,

21

£>E_L平面物B,所以。E〃尸C,因止匕PE=]PG,DE=^PC.

由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且加=6,可得。E=2,PE=2也

在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2.

114

所以四面体PDEF的体积V/X/X2X2X2,.

10.解：(1)证明：由已知得4C_L8。，AD^CD.

又由AE=CF得器=若，故AC〃EF.

由此得EF1HD',所以AC_L〃D'.

(2)由EF〃AC得器=器=/

由A8=5,AC=6得DO=BO=NAB2—AO2=4.

所以。"=1,D'H=DH=3.

于是0Zy2+042=(2^)2+]2=9=o，H2,

故OD'±OH.

由(1)知，AC±HD',又AC_LB。，BDCHD，=H,

所以AC_L平面BHD，，于是AC_LO。。

又由ACCOH=O,

所以平面ABC.

又由差=器得EF=±

11969

五边形ABCFE的面积S=2X6X8—2X2X3：=T,

所以五棱锥O'-ABCFE的体积竽X2吸=警.

2

11.解：(1)证明：由已知得AM=1A£>=2.

取8P的中点T,连接AT,TN,由N为PC的中点知川〃8C,

TN=^BC=2.

又AZ)〃BC,故77V触AM,四边形AMNT为平行四边形，于是MN〃A7.

因为ATU平面PAB,MNQ平面PAB,所以〃平面PAB.

⑵因为fi4_L平面A8CD,N为尸C的中点，所以N到平面A8CD的距离为夕%.

取8c的中点E,连接4E,由A8=AC=3得AEJ_BC,AE=yjAB2~BEr=y15.

由AM〃BC得M到BC的距离为小，故SABCM=3义4义木=2小.

1PA4击

所以四面体N-8CM的体积.

12.解：⑴证明：因为PCJ_平面ABC。，

所以PCLDC.

又因为DC-LAC,所以。CJ_平面以C.

(2)证明：因为A8〃OC,DC±AC,

所以AB_LAC.

因为PC_L平面4BCD,

所以PCLAB.

所以A8J_平面以C.

所以平面布8_L平面PAC.

(3)棱PB上存在点F,使得以〃平面CEE

证明如下：

如图，取PB中点尸，连接E凡CE,CF.

又因为E为A8的中点，所以E尸〃外.

又因为布C平面CEF,

所以以〃平面CEF.

13.解：(1)证明：取BO的中点0,连接0E,0G.在△BC。中，因为G是BC的中点,

所以OG〃OC且0G=))C=l,又因为EF〃AB,AB//DC,所以E尸〃0G且EF=0G,即

四边形0GFE是平行四边形，所以FG//OE.

又FGQ平面BED,0EU平面BE。，所以FG〃平面BED

(2)证明：在△AB。中，AD=1,AB=2,ZBAD=6Q°,由余弦定理可得小，进

而/AOB=90°,即BD_LAD又因为平面4EO_L平面A8CO,BDU平面4BC£>,平面AMD

ABCD=AD,所以8。_L平面AED又因为BOU平面BE。，所以平面BE£)J_平面AED

(3)因为EF//AB,所以直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所成的

角.过点A作于点H,连接BH.又平面BEDD平面AED=E。，由(2)知，4H_L平面

BED,所以直线A3与平面BED所成的角即为/ABH.

在△4£)£：中，AO=1,DE=3,AE=*,由余弦定理得cos/A£>E=],所以sin/AQE

-31

因止匕，4H=AZ>sin/AOE=坐.

在中，sin/AB”=^=W.

AD0

所以，直线EF与平面BE。所成角的正弦值为乎.

14.证明：（1）在直三棱柱48c481cl中，A\C\//AC.

在△ABC中，因为。，E分别为AB,8c的中点，

所以。E〃AC,于是OE〃4G.

又DEC平面4CF,4GU平面AICR

所以直线。E〃平面ACE

（2）在直三棱柱ABC481cl中，A/，平面Ai8G.

因为4GU平面ABC”所以4AJ_AIG.

又4G_LAiB|,ApAU平面ABBiAi，平面ABBA，A\AryA\B}=A\,

所以4G，平面ABBiA.

因为BQU平面A8B1A1，所以4G_LB|D

又BiQ_L4F,4C1U平面ACIF,AFU平面AiGF,尸=4,

所以平面AiGF.

因为直线SQU平面BQE,

所以平面SDE，平面AICIF.

15.证明：（1）因为E/〃08,

所以Ef■与。3确定平面8DEE连接DE.

因为AE=EC,。为AC的中点，

所以DELAC.

同理可得80_LAC.

又BDCDE=D,

所以AC_L平面BDEF,

因为fBU平面BDEF,

所以AC_LFA

（2）设FC的中点为/,连接G/,HI.

在aCE尸中，因为G是CE的中点，

所以GI//EF.

又EF〃DB,所以G/〃DB.

在△CFB中，因为H是FB的中点，

所以H11IBC,

又HICGI=I,

所以平面GH/〃平面ABC.

因为G”u平面GH1,

所以G4〃平面ABC.

16.解：（1）取棱AD的中点平面以。），点M即为所求的一个点.理由如下:

因为AQ〃BC,BC=^AD,所以8C〃AM,且8C=AM,

所以四边形AMCB是平行四边形，

从而CM//AB.

又A3U平面物8,CMC平面网8,

所以CM〃平面PAB.

（说明：取棱尸。的中点M则所找的点可以是直线上任意一点）

（2）证明：由己知，PALAB,PAA.CD,

因为A£)〃BC,8c=刃。，所以直线AB与C£>相交.

所以a_L平面ABCD.

从而PALBD.

连接BM,

因为AO〃BC,BC=^AD,

所以BC〃MQ,且BC=MD

所以四边形8CDM是平行四边形.

所以BM=C£>=gA£>,所以BOL4A

又ABCAP=4,所以8。_L平面以8.

又BOU平面PBQ,

所以平面B43_L平面PBD.

专题9平面解析几何

|。+4—11

1.解析：选A.由题可知，圆心为(1,4),结合题意得解得

W+i

2.解析：选D.由题意得2P=4,p=2,抛物线的焦点坐标为(1,0).

3.解析：选B.由题知圆M：f+(y—a)2=/,圆心(0,a)到直线x+y=0的距离Y,

所以2一3=2吸，解得〃=2.圆M,圆N的圆心距|M/V|=也，两圆半径之差为1,故

两圆相交.

4.解析：选