2021届宁夏银川高三第三次月考数学(理)试题

银川一中2021届高三年级第三次月考理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则的子集个数为（）A.2 B.3 C.4 D.8答案D【分析】先求出集合元素个数，再根据求子集的公式求得子集个数．解：因为集合，所以所以子集个数为个故选：D2.下列命题中错误的是（）A.若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“”为真命题B.命题“若，则或”为真命题C.命题“若，则或”的否命题为“若，则且”D.命题，，则为，答案C【分析】根据含有逻辑联结词命题真假性，判断A选项是否正确.根据原命题的逆否命题的真假性，判断B选项是否正确.根据否命题的知识判断C选项是否正确.根据特称命题的否定是全称命题的知识，判断D选项是否正确.解：对于A选项，由于为假命题，所以为真命题，所以“”为真命题，故A选项正确.对于B选项，原命题的逆否命题是“若且，则”为真命题，原命题也是真命题，故B选项正确.对于C选项，命题“若,则或”的否命题为“若,则且”，故C选项错误.对于D选项，根据含有一个量词的命题的否定，易得D选项正确故选：C3.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆(为坐标原点)的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题：①对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个；②函数可以是某个圆的“优美函数”；③正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形．A.①④ B.①③④ C.②③ D.①③答案D【分析】根据定义分析，优美函数具备的特征是，函数关于圆心（即坐标原点）呈中心对称.解：对①，中心对称图形有无数个，①正确对②，函数是偶函数，不关于原点成中心对称.②错误对③，正弦函数关于原点成中心对称图形，③正确.对④，充要条件应该是关于原点成中心对称图形，④错误故选D点评：仔细阅读新定义问题，理解定义中优美函数的含义，找到中心对称图形，即可判断各项正误.4.已知复数（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案A【分析】利用复数代数形式的乘除，求模，化简运算，求出的坐标得出答案.解：因为，所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限．故选:A．点评：本题考查复数代数形式的乘除求模运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.5.将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是()A. B.C. D.答案B【分析】直接利用三角函数平移法则得到答案.解：函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是：.故选：B.点评：本题考查了三角函数平移，属于简单题.6.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线方程为（）A. B. C. D.答案A【分析】由曲线在点处的切线方程为可求出，，由此可求出，，根据点斜式即可求出.解：由切线方程为切线方程为可知，，∴，∴切线为，即.故选：A.点评：本题考查利用导数求切线方程，属于基础题.7.设向量，，则下列结论中正确的是（）A. B.C.与的夹角为 D.在方向上的投影为答案C【分析】利用向量平行，垂直，夹角以及向量投影坐标公式对各个选项进行检验即可.解：A.，即两个向量不满足平行的坐标公式，故错误；B.，即不满足向量垂直的坐标公式，故错误；C.，，所以夹角为，正确；D.在方向上的投影为，故错误.故选：C点评：本题考查两个向量平行，垂直以及两个向量的夹角坐标公式，考查向量投影的计算方法，属于基础题.8.已知正项数列满足：，，则使成立的的最大值为（）A.3 B.4 C.24 D.25答案C【分析】由等差数列的定义可知是首项为1，公差为2的等差数列，可求得，所以，带入不等式．即可求解．解：由等差数列的定义可知是首项为1，公差为2的等差数列所以，所以，，又，所以，即解得，又，所以，故选C点评：本题考查等差数列的定义，通项公式，及一元一次不等式解法，突破点在于根据等差数列的定义，得到为等差数列，再进行求解．而不是直接求，属基础题．9.已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A.[–1，0） B.[0，+∞） C.[–1，+∞） D.[1，+∞）答案C分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.10.已知函数的部分图象如图所示，，则下列判断正确的是（）A.函数的最小正周期为4B.函数的图象关于直线对称C.函数的图象关于点对称D.函数的图象向左平移2个单位得到一个偶函数的图象答案C解：根据函数，的部分图象，，，．再根据五点法作图可得，，．故它的周期为，故不对．令，，的值不是最值，故不对．令，，的值为零，故函数的图象关于点，对称，故正确．把函数的图象向左平移2个单位，可得的图象，显然所得函数不是偶函数，故错误，故选：．故选C.11.已知函数在定义域上的值不全为零，若函数的图象关于对称，函数的图象关于直线对称，则下列式子中错误的是（）A. B.C. D.答案D【分析】由题设条件可得函数的图象关于对称，且关于直线对称，从而得到为偶函数且为周期函数，从而可判断各项的正误.解：∵函数的图象关于对称，∴函数图象关于对称，令，∴，即，∴…⑴令，∵其图象关于直线对称，∴，即，∴…⑵由⑴⑵得，，∴…⑶∴，由⑵得,∴；∴A对；由⑶，得，即，∴B对；由⑴得，，又，∴，∴C对；若，则，∴，由⑶得，又，∴，即，与题意矛盾，∴D错.故选：D.点评：本题考查函数图象的对称性、奇偶性、周期性，注意图象的对称性与函数解析式满足的等式关系之间的对应性，本题属于中档题.12.若函数，则满足恒成立的实数的取值范围为（）A. B.C. D.答案A【分析】判断是上的奇函数，利用导函数可判断是上的增函数，恒成立等价于，分离得，令，则，经过分析知是上的偶函数，只需求在上的最大值，进而求得的取值范围.解：因为，所以是上的奇函数，，，所以是上的增函数，等价于所以，所以，令，则，因为且定义域为，所以是上的偶函数，所以只需求在上的最大值即可.当时，，，则当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，可得：，即，故选：A点评：本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，考查导数研究函数单调性、最值以及恒成立问题，属于较难题.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是_________.答案试题分析：由已知可得在上恒成立在上恒成立.考点：1、导数及其应用；2、函数与不等式.【方法点晴】本题考查导数及其应用、函数与不等式，涉及数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.利用导数处理不等式问题,在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决.由已知可得在上恒成立在上恒成立.14.在边长为2的正方形中，为的中点，交于.若，则________.

答案【分析】根据向量加法的三角形法则得，根据三角形相似可得，，代入可得，结合已知，根据平面向量基本定理可得，，即可求解解：因为在正方形中，E为CD中点，所以，又为，所以，所以，，所以，又已知，根据平面向量基本定理可得，，所以，故答案为：点评：关键点睛：本题的解题关键在于利用，证得，进而，可以求出，难度属于基础题15.已知是等比数列的前项和，若存在，满足，，则数列的公比为______．答案3【分析】根据等比数列前项和公式和通项公式化简已知式，可得，解出，进而根据求得结果.解：由得：由得：则则本题正确结果：点评：本题考查等比数列通项公式和前项和公式求解基本量的问题，关键是能够将已知关系式化成关于和的形式，构成方程组，解方程组求得结果.16.在中，角、、所对的边分别为、、，若，，则当角取最大值时，的周长为_________.答案【分析】先利用已知条件化简整理得，再根据化简，结合基本不等式和取最值的条件得到三角，最后求边长即得周长.解：因为，所以，即是钝角，是锐角，，即得，故，因为，所以，当且仅当时，即时最大，为，故角取最大值，，故，又由，故，即周长为.故答案为：.点评：本题解题关键在于灵活运用两角和与差的正弦公式，由弦化切得到，结合展开，利用基本不等式求解.三角形中常用的诱导公式有：，，等等.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知函数的图像过点，且函数图像又关于原点对称.（1）求函数的解析式；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.答案（1）；（2）.【分析】（1）根据图象关于原点对称得图象过点和，再用待定系数即可求解；（2）将化为，再用分离参数法求解即可.解：（1）依题意，函数的图象过点和.所以，故.（2）不等式可化为.即对一切的恒成立.因为，当且仅当时等号成立，所以实数的取值范围为.点评：本题考查待定系数法求解析式，不等式恒成立问题，是中档题.根据不等式恒成立求解参数范围的两种方法：（1）分类讨论法：根据参数的临界值分类讨论参数的取值是否满足要求；（2）参变分离法：将参数从不等式中分离出来，通过函数或者不等式确定最值，由此得到参数范围.18.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若，角为钝角，（1）求的值；（2）求边的长.答案（1）（2）【分析】（1）由，分别求得，得到答案；（2）利用正弦定理得到，利用余弦定理解出．解：(1)因为角为钝角，，所以，又，所以，且，所以.(2)因为，且，所以，又，则，所以.19.已知数列满足，（，），（1）证明数列为等比数列，求出通项公式；（2）数列的前项和为，求证：对任意，.答案（1）证明见解析，；（2）证明见解析.【分析】（1）由l两边同时除以得到有，再构造等比数列得解（2）放缩，再利用等比数列求和得解.解：（1）由有，∴∴数列是首项为，公比为2的等比数列.∴，∴（2），∴，.点评：本题考查利用递推关系证明等比数列及求通项，并用放缩法证明不等式，属于基础题.20.已知函数，在上的最大值为3．（1）求的值及函数的周期与单调递增区间；（2）若锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，求的取值范围．答案（1），周期为，单调递增区间为，，（2）【分析】（1）化简得，根据最大值求出p的值，再求出函数的周期和单调递增区间；（2）根据得到，,化简得，再求范围得解.解：（1）依题意，∵的最大值为3，∴，∴，∴，其中，，其周期为．因为，时，单调递增，解得．∴的单调递增区间为，，．（2）∵，且为锐角，∴，∴，∴．又∵，为锐角，所以∴．∴，其中，∴．点评：本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，考查正弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21.设函数．（1）当时，求函数的最大值；（2）当，，方程有唯一实数解，求正数的值．答案（1）；（2）.【分析】（1）先写解析式，利用导数判断函数函数单调性并求最值即可；（2）先写解析式代入方程，把方程有解问题转化成构造函数的零点问题，研究其导数、最值情况，构建关系求解参数即可.解：解：（1）依题意，知的定义域为，当时，，令，解得．（∵），当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减．所以的极大值为，此即为最大值；（2）由，，得因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，设，则，令，即．因为，，所以（舍去），，当时，，在上单调递减，当时，，在单调递增，当时，，取最小值．因为有唯一解，所以，则，即．所以，因为，所以（*）设函数，易见当时，是增函数，所以至多有一解．因为，所以方程（*）解为，即，解得．点评：本题考查了函数导数与函数的单调性、最值和零点问题，属于中档题.22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线的极坐标方程为，射线与曲线交于点，点满足，设倾斜角为的直线经过点．（1）求曲线的直角坐标方程及直线的参数方程；（2）直线与曲线交于、两点，当为何值时，最大？求出此最大值．答案（1）曲线的直角坐标方程为，直线的参数方程为，