向量的数乘运算课件 【核心知识 精讲精研】 高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

2.3.1向量的数乘运算第二章平面向量及其应用1．向量的数乘及其几何意义；2．向量数乘的运算律及其应用．向量的线性运算．1．掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义以及数乘运算律；2．了解向量的线性运算性质及几何意义；3．在速度的倍数引导下学习数乘向量，进一步体会数学和物理学的联系，通过学习向量的数乘运算，重点提升学生的逻辑推理和数学运算素养．

情景二：2021年4月1日是“中美南海撞击事件”20周年．2001年4月1日，美国一架EP—3电子侦察机侵犯我南海领空，我军派出两架歼—8Ⅱ战斗机跟踪拦截，美军飞机突然撞向我战机，致使我战机坠毁，飞行员王伟牺牲．EP—3电子侦察机最大时速为800km/h(0.7马赫)，歼—8Ⅱ战斗机最大时速为2500km/h(2.2马赫)．歼—8Ⅱ战斗机最大时速约是EP—3电子侦察机的3倍．以上实例说明存在这样的两个向量，它们是共线的，且大小具有倍数关系．因此，有必要定义实数与向量的乘积运算．我们知道数是可以做乘法的，平面向量既有大小，又有方向，平面向量可以做乘法吗?它和实数可以做乘法吗？可以．1．已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)．3a与-3a还是向量；3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，即|3a|=3|a|；-3a的方向与a的方向相反，-3a的长度是a的长度的3倍，即|-3a|=3|a|．

2．请观察3a与-3a是否还是一个向量？若是向量，它们的长度和方向有何变化？通过对问题1及其探究的理解，我们如何来定义平面向量和实数的乘法呢？

一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa．它的长度与方向规定如下：（1）|λa|=|λ||a|；（2）当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；

当λ<0时，λa的方向与a的方向相反．

特别地，当λ=0或a=0时，λa=0．向量数乘的定义1．结合向量数乘的定义，你对零向量，相反向量有什么新的认识?数零乘任何向量的结果为零向量，零向量与任何数的乘积为零向量；−1乘任何向量得到这个向量的相反向量．2．向量数乘有什么几何意义?如图，把向量a沿着a的方向或a的反方向，将a的长度扩大（或缩小）|λ|倍．如2a的几何意义就是沿着向量a的方向，长度放大到原来的2倍．3．如果把非零向量a的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量b，向量b该如何表示？向量a，b之间的关系怎样？

b=3.5a

，b的方向与a的方向相同，b的长度是a的长度的3.5倍．我们知道实数的乘法有很好的运算律，那么，向量数乘运算有哪些运算律呢?请你写出来并加以验证．设λ，μ为实数，a，b为向量，那么根据向量数乘的定义，可以得到如下运算律：(1)(λ＋μ)a＝λ

a＋μ

a；（第一分配律）(2)λ(μa)＝λμ

a；（结合律）(3)λ(a＋b)＝λa＋λb．

（第二分配律）特别地，我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a)，

λ(a-b)=λa-λb．验证如图：

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b．

概念辨析提示:若λa＝0，则λ＝0或a＝0．

解：

(1)真命题．∵2a＝a＋a与a方向相同，且|2a|＝|a＋a|＝|a|＋|a|＝2|a|．

(3)真命题．∵－2a＋2a＝(－2＋2)a＝0，故－2a与2a是一对相反向量．(4)假命题．∵－(b－a)＝a－b，∴两者为相等向量．向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．向量也可以通过列方程来解—把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解．在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．方法总结

解：(1)由数乘运算的运算律，得：(－3)×(4a)=(－3×4)a=－12a；(3)由数乘运算的运算律，得：(2λ－μ)a－λb－(λ－μ)

(a－b)=2λa－μa－λb－λ(a－b)－μ

(a－b)=2λa－μa－λb－λa＋λb＋μa－μb=λa－μb．向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”，但这里的“同类项”指向量，实数看作是向量的系数．

求解思路：结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中．结合向量的三角形法则或平行四边形法则用已知向量表示未知向量．当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程(组)．已知a＝5e，b＝－3e，c＝4e，则2a－3b＋c＝(

)A．5e B．－5e

C．23e D．－23e解：2a－3b＋c＝2×5e－3×(－3e)＋4e＝23e．