七年级思维探究(3)有理数的运算

23346060603杨辉，中国南宋时期杰出的数学家，大约3世中叶至末叶生活在钱塘（今杭州）一带．他一生著作很多，著名的数学书共种卷．大家熟悉的“杨辉三角”数表就在年所著的《详解九章算术》一书里记载着，他在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的“纵横图”及有关的构造方法．有理数的运算23346060603有理数及其运算是整个数与代数的基础，有关式的所有运算都是建立在数的运算基础上．深刻解有理数相关概念，掌握一定的有理数运算技能是数与代数学习的基础．有理数的运算不同于算术数的运算：这是因为有理数的运算每一步要确定符号，有理数的运算多是字母运算，也就是常说的符号演算．运算能力是运算技能与推理能力的结合．这就要求我们既能正确地算出结果，又善于观察问题结构特点，选择合理的运算路径，提高运算的速度．有理数运算常用的技巧与方法有：利用运算律；以符代数；恰当分组；裂项相消；分解相约；错位相减等．问题解决例

（）已知

aan23,

，记

，„达式b________含n的数式表示）（2若a、b互为相反数，、是为倒数，x绝对值等于，则x的是___．试一试对于2用关概念的特征解题．例已整、、、d满25，且，那么A0B．10．D．12试一试解题的关键是把25表示成个不整数的积的形式．例算

等于（（1

1223

；（2

1111

；（3

7371738172713271739172739

．试一试对于原，将各括号反序相加；对于计每个分母值，则易掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形入手；对于除数为一整体，从寻找被除数与除数的关系入手，1例数学活动中，小明为了求2222

的值（结果用

n

表示计如图所示的几何图形．12

212

1

1242图①

…

图②1（1请你用这个几何图形求222

的值；111（2请你用图②，再设计一个能求2

的值的几何图形．试一试求原式的值有不同的解题方法，而剖分图形面积是构造图形的关键．例，„前面任意添上正号和负号，求非负和的最小值．分析与解首先确定非负代数和的最小值的下限，然后通过构造法证明这个下限可以达到即可．数的和差仍是整数，而最小的非负整数是．数和的最小值能是0吗？能是1？由于任意添“”号或“-”号，形式多样，因此，可能一一尝试再作解答，从奇数、偶数的性质入手．

因与的偶性相同，所求代数和的奇偶性与12002数和不会小于1．

20022

10012003的偶性相同，即为奇数．因此，所求非负代又

∵

，∴求非负代数和的最值为类比类比是一种推理方法据两种事物在某些特征上的相似它在其他特征上也可能相似的结．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法．例察下面的计算过程11111141344

．问）上的解题方法中，你发现了什么？用字母表示这一规律．（2问要学会解答，又要学会发问．爱因斯坦曾说问题比解决问题更重要请用类比的方法尽可能多地提出类似的问题．分析与解（1）

1n

．（2从连续自然数到连续偶数，从个个从分数到整数，类比可提出下列计问题：11①20122014

；1②220122014③；

；④1

2012

．数学冲浪知识技能广场．如图，每一个小方格的面积为1，则可根面积计算得到如下算式1n表，是正整n

31

4n．某数学活动小组的20位学成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序数的倒数加，位学报

，第位学报

位同学报

，这样得到的个的积为．．计算：（1

545

_________（22

_______学王子”高从小就善于观察和思考，在他读小学时就能在课堂上快速地计算出198，天我们可以将高斯的做法归纳如下：S99100①1009998②①+②有

S

，S5050．

aa2aa2若

为正整数，

，则

_______．．设a，代数式，，a

，

，，

中负数的个数是（）A1．．3D．我邮政国内外邮寄印刷品邮资标准如下克以内0.7元增加100（不足按1计）元某人从成都邮寄一本书到上海，书的质量为克则他应付邮资（）元A2.3B．C．3D．3.5．为了求

的，可令S

，2

，因此

，所以1

．仿照上面推理计算出的是（A5

B5

．

5D．

．下面是按一定规律排列的一列数：第1数：

12

；1第数：324

；1第个：1423456„„

；第n数：

1n22n

．那么，在第1个、第个、第个、第13个中最大的数是（）A第个B第个数C．第12个D第个数．观察图形，解答问题：1-1

5

17

5y

12

-1

3

①

②

③

④

⑤（1按下表已填写的形式填写表中的空格：图①图三个角上1三个数的积

图③三个角上1

三个数的和积与和的商（2请用你发现的规律求出图④中的数y和⑤中的．．观察下列等式：第1等式：

a

111

；第等式：第个式：

a

1132517

；；

第等式：

29

；„„请解答下列问题：（1按以上规律列出第5个式：；（2用含的数式表示第个式：_______=________（n为整数（3求a的．思维方法天地11．计算：（1

1239798

．51941711（21_______．61220427290（3

551119933119911

_________．设三个互不相等的有理数，既可分别表示1，a式，则．

的形式，又可分别表示为0，，b的形．已知

x

，则

．．已知a、b、c满

且，代数式

bcbc

的值是______．．

111111626

的值是（）A．．D．．如果不同的正整数m、、、q满足

，那么

m

等于（）A10B．21

．24

D．E．．如果A

ttttttB

，那么．

ttt的值为（）tttD．确．观察下列各式：（11；（22；（33

；（44

；„„请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是（）A100510073016

B100510062011

C．1006100710083016．观察下面的等式：，2；；，411；，333．，4

D．10081009

（1归纳上面各式得出一个猜想数的积等于这两个有理数的和猜想正确吗？

1为什么？1（2请你观察上面各式的结构特点，归纳出一个猜想，并证明你的猜想．．同学们，我们曾经研究过n的方网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为

．为时应如何计算正方形的具体个数呢？下面我们就一起来研究并解决这个问题．首先，通过探究我们已经知道03（1观察并猜想：

时，我们可以这样做：1

，

，1

；„„（2归纳结论：2

2

=（）（）_______

；（3实践应用：通过以上探究过程，我们就可以算出当为00时，正方形网格中正方形的总个数________．应用探究乐园．我国著名数学家华罗庚曾说过形少直观，形少数时难入微数形结合百般好，隔离分家万事休学，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系问题，或者把数量系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行成功方案．例如，求的，其中是整数．对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加虽可以解决，但在求和过程中，需对的偶进行讨论．如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观，现利用形的性质来求的，方案如下：如图，斜线左边的三角图案是由上到下每层依次分别为1，„

个小圆圈排列组成的，而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共n

行每有

个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为

个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为

n

2

，即1

n2

．

……………

……

……

……

…

（1仿照上述数形结合的思想方法；设计相关图形，1

的值，其中

n

是正整数求：画出图形，并利用图形作必要的推理说明）（2试设计另外一种图形，

的值，其中n是整数求：画出图形，并利用图形作必要的推理说明）．在“eq\o\ac(□,1)eq\o\ac(□,)□eq\o\ac(□,2)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,3)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,4)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,5)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,6)eq\o\ac(□,8)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,9)eq\o\ac(□,)”小方格填上+，如果可以使其代数和为n，称数n是“可被表出的数可被表出的数，这是因为是1一种可被表出的方法（1求证：是可被表出的数，而8是可被表出的数；（2求25可被表的不同方法的种数．

344606060．有理数的运算344606060问题解决n例（1）（2）n例

，a，，，例（1）885原式，

12

2

，两式相加得2S591770，以885；1200（2101

11nn2

；（32原

34A39

12，其中A27

．例（1）原式数学冲浪

n

）．．n

．

））62n．由，2

n

．6．470．．A提：第个为）

2

，把第0、、、个分别求．（2图④：

5

，

5

，

y

；图⑤：

，解得x．）

1211

）

11n2n2n

）式

10020111）1.98）1

910

）．2两个三数组在适当的顺序下对应相等，于是可以断定，a与中一个为，一个为，可推得，4．．15．B．E．A．）明的猜想显然是不正确的，易举出反例，2，得出如下猜想n是整数，则（2将第一组等式变形为，1nnnn

与中证明：左边

右