求图形阴影部分面积

精锐教学教师辅讲讲义编号：学编：：时：学姓：导目

学教：学组/带人名日

黄祥2012-1-11）课

题

组图阴部面的法授时：2012-1-13教目重、点考及试求

备时：掌握常见的面积计算方法和运算计巧常用运算技巧的掌握。熟练掌握，灵活运用。我们主要学习根已知平面图的特点以及图中各部分之间的关系用式或其他数量关系算出该图形（或其中某个部分）的面积或图形中有关线段的长度。到目前为止，我们已经学过了长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形这五种简单图形，们的概念、性质（特征）与它们的周长、面积的意义的计算公式，课本上都作了介绍。这些都是我们解答“图形算”问题所必需的基础知识。用等量换求面积一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。例1两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一，求阴影部分的面积。分析与：阴影部分是一个高3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不道，因而不能直接求出它的面积。因为三角形ABC三角形DEF完全相同，都减去三角形后，根据差不变性质差应相等即阴影部分与直角梯形OEFC面相等所以求阴影部分的面积就/

转化为求直角梯形OEFC面积。直角梯形的上底为10-3=7（厘米），面积为（×2÷（厘米2）。所以，阴影部分的面积是厘米2。例2在右图中，平行四边ABCD的边BC10米，直角三角形的直角边长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG面积大10厘米2，求平行四边形的积。分析与因为阴影部分比三角形EFG面积大10米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行直角三角形ECB的积大10米2，所以平行四边形ABCD的面积等于108÷2+10=50（厘米）。例3在右图中，AB=8厘米，厘米，BC=6米，三角形AFB三角形面积大18米2。求ED的长。分析与求ED的长，需求的长；求的长，需求出直角三角形的面积。因为三角形AFB比三角形EFD的面积大厘米，这两个三角形都加上四边形后，其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米就是说要求出梯形ABCD的面积，就能依次求出三角形的面积和的长，从而求出的长。梯形ABCD面积=（8+4）×62=36（厘米2），三角形ECB面积=36-18=18（厘米2），EC=18÷6×2=6（厘米），ED=6-4=2（厘米）。例4下页上图中，ABCD7×4的长方形，×的长方形，求三角形与三角形EFO的面积之差。/

分析：直接求出三角形BCO与三角形的面积之差，不太容易做到。如果利用不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差而这两个图形的面积之差容易求出那么问题就解决了。解法一结B（见左下图）。三角形BCO三角形加上三角形，则原来的问题转化为求三角形与三角形BEF面积之差。所求为×（）÷2-2（）÷解法二结C（见右上图）。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形，则原来的问题转化为求三角形三角形ECF面积之差。所求为4×（10-7）÷×（）÷解法三长交于H（见下页左上图）。三角形与三角形EFO加上梯形，则原来的问题转化为求三角形BHF与矩形的面积之差。所求为（）×（）÷2-2×（10-7）。解法四延长AB，FE交于H（见右上图）。三角BCO与三角形EFO都加上梯形，则原来的问题转化为求矩形BHEC直角三角形BHF的面积之差求为10-74+2）÷2=3。例5左下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是厘米，求三角形ABC的面积。分析与：这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系。连结（见右上图），可以看出，三角形与三角形ACD的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等。因为三角形是三角形ABD与三角形ACD的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABF与三角形FCD面积仍然相等。根据等量代换，求三角形的面积等于求三角形面积，等于44÷2=8（厘米）。用割补求面积方法总：在组合图形中，除了多边形外，还有由圆扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形为了计算它们的面积常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。例1在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两边等分成三段（见右图），求图中阴/

影部分的面积占整个图形面积的几分之几。分析与阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。（1）割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角（2）拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。积和平行四边行面积同时除以2商不变。所以原题阴影部分占整个图形面（3）等分法将原图等分成9小三角形（见右上图），阴影部分占3小三角形，注意，后两种方法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。分析与：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（上页右下图），图中阴影部分是边长9米与边长5厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的4。所以所求梯形面积是（99-5×5）÷4=14（厘米）。例4在左下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。/

分析与：题中给出了两个似乎毫无关联的数据，无法沟通与矩形的联系。我们给这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角（见右上图因为A与A′BB′面积分别相等所以甲、乙两个矩形的面积相等。乙的面积是4×，所以甲的面积，即所求矩形的面积也是其他的型1．如图，已知四条线段的长分是厘米CE=6厘米厘，厘，并且有两个直角。求四边形ABCD的面积。3．求阴影部分的面积位：厘米）4．下页左图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是，中间有两条道路，一条是长方形，/

一条是平行四边形，那么，有草部分（阴影部分）的面积有多大？（单位：米）例题5、计算右图甲阴影部分面积比乙阴影部分面积大多少平方厘米？例题6、求图中阴影部分的面积厘米）练习与思考1．求图中阴影部分的面积。2．求图中阴影部分的面积。6/8

3．下左图的长方形中，三角形ADE四边形和三角形CDF的面积分别相等，求三角形的面积。4平等四边形ABCD的边BC长10厘米三形BCE的角边EC长8厘米阴部分的面积比三角形的积大10平方米，求CF的。5．图中三角形的高为4，面积16长方形的宽为，长方形的面积是三角形面积的多