矩阵地各种运算详解

实用标准文案一矩的性算定1设两个

矩阵

和

矩阵

与

的和记作

规为注只有两个矩阵是同型矩阵时，才能进行矩阵的加法运两同型矩的和，即为两个矩阵对应位置元素相加得到的矩.设矩阵

记称

为矩阵

的负矩阵,显然有由此规定矩阵的减为定2数与阵A的积作

或

规定为数与矩阵的乘积运算称为数乘算矩阵的加法与矩阵的数乘两种运算统称为矩阵的线性运它足下列运算规律：设

都是同型矩阵，;

是常数，则注在数学中，把满足上述八条规律的运算称线运算二矩的乘定3设矩阵

与矩阵

的乘积记作

规为精彩文档

实用标准文案其中，记号常作左或右乘.注:只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数,两矩阵才能进行乘法运若

，则矩阵

的元素

即为矩阵

的第行素与矩阵

的第列应元素乘积的和即矩阵的乘法满足下列运算规律假定运算都是可行)：（1（2（3（4注:矩阵的乘法一般不满足交换律,即例如设

则而于是且从上例还可看出:两个非零矩阵相可是零矩,故能从或

必然推出此外矩乘一般也不满足消去,即能从

必然推出

例如设则但定4如两矩阵相乘,有则称矩阵A与阵可换简称A与可换注对于单位矩阵容证明或简写成可见单位矩阵在阵的乘法中作用类似于数1.更进一步我们有命1设是个n矩阵是一个数量矩阵的充分必要条件是与何n矩阵

可换。精彩文档

命2设（1（2（3（4

实用标准文案均为矩阵，则下列命题等价：三线方组矩表设有线性方程组若记则利用矩阵的乘,线方程组可表示为矩阵形式：其中矩阵如果

称为线性方程组(1)系数矩方程(又称为矩阵方程是方程组(1)的解,记矩阵则这时也称

，是矩阵方程的;反之如列矩阵

是矩阵方程的解即矩阵等式成立,则即

也是线性方程组1)的解.这,对性方程组的讨论便等价于对矩阵方(的讨论.特地齐线性方程组可以表示为将线性方程组写成矩阵方程的形式仅书写方便且可以把线性方程组的理论与矩阵理论联系起来，这给线性方程组的讨论带来很大的便四矩的置定把阵

的行换成同序数的列得到的新矩阵,称

的转置矩阵,记

(或).即则精彩文档

实用标准文案矩阵的转置满足以下运算规律假设运算都是可行):五方的定5设阵称为的次幂.

规方阵的幂满足以下运算规律（假设运算都是可行的）：注:一般地,

为自然数命3设

均为阶阵，

则有

为自然数反不成立。六方的列定7由阶阵记作或

的元素所构成的行列各元素的位置不),称为方阵

的行列注方与行列式是两个不同概念阶阵是个数按一定方式排成的数表阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数值（实数或复数.方阵

的行列式

满足以下运算规(设

为阶方阵

为常数:七对矩

进一步定8设

为阶阵,如果

即则称为称矩阵.显然，对称矩阵，均为对称矩.精彩文档

的元素关于主对角线对.例如

如果八共矩定9设

则称

实用标准文案为反对称矩为复（数）矩阵,记其中

表示

的共轭复数,称

为A的轭矩阵共轭矩阵满足以下运算规(例题选：矩的性算例1(讲义例已例2讲义例已知

为复矩为数,且算都是可行的:求且

求注:n阶量矩

=例3讲义例若

求例4设

，。A一个

矩阵，是

矩阵，因此AB有意义，BA有意义；但。精彩文档

实用标准文案例5设，

。（这种记法表示主对角线以外没有注明的元素均为零），则（1）；（2）；（3）例讲义例某地区有四个工厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、生产甲、乙、丙种产,矩A表示一年中各工厂生产各种产品的数量,矩阵B表各种产品的单位价格(元)及位利润(元矩C示各工厂的总收入及总利润.其中,

是第个厂生产第

种产品的数量

及

分别是第种品的单位价格及单位

及

分别是第个厂生产三种产品总收入及总利润.则阵

的元素之间有下列关:其中，即精彩文档

实用标准文案例7讲义例求与矩阵例8讲义例证明如例9讲义例解矩阵方程

可交换的一切矩阵.则有为二阶矩阵例（），。（2），。例11讲例8)已知

求例12(讲例9)设

求例13设，，则，又，因此地精彩文档