线性规划问题的的应用举例

【课题】．线性规划问题应用举【教案标】知目：六个案例介绍了线性规划模型在生产实际中的应能目：过六个案例，学习线性规划模型建立的方法和技【教案点】【教案点】【教案计】

用适当的方法，解决线性规划问.用适当的方法，解决线性规划问.．本节分别介绍了投资问题，生产安排问题，环境保护问题，混合问题，运输问题下料问题等六个案例，通过这些具体的案例，使学生认识线性规划的应.

．①案例是个投资计划制定问题，要在可承受的亏损范围内，使获利尽可能的多，因此目标函数是获得利润，约束条件是资金限制和亏损的承受范.这是二元线性规划问题，故可用图解法解得.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。②案例是一个简单的生产安排问题，生产所获利润取决于三种产品的产量，因此以种产品产量为决策变量，表格中列出了资源限制条件，据此可得约束条.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。③案例是个环境保护问题，其中各种因素已经作了简化，在列出的三个条件中，）成立必使（2）立，因此条件有冗余，作简化后得约束条.

④案例混合问题，类似于案例⑤案例是运输调配问题，这是一类典型的问题，一般的运筹学教材中都会专门介绍本例是产销平衡的，要使总费用最低，必须知道各调运路线的运量，因此所设决策变量较多，为便学生理解，变量写成教材的形式，有时我们也可用双下标的形式来表示变.彈贸⑥案例下料问题，与前面所举例一样，只是截法增多.教过

学程

教师行为

学生行为

教案意图

时间*阶学导语线性规划是目前应用非常广泛也非常成功的一种数学方法，但由于实际问题是复杂的，千变万化的，因此下面仅举一些经过简化的几种不同类型的问.

介绍

倾听了解

引领学生了解新阶段的学习的重点

*揭课了前面我们已经学习了三种解线性规划问题的方法分别为图解法、

引入教

表格法、Excel软法.们各有利弊，本节就实际问题，选用式当的方法解决线性规划问题.

介绍说明

了解

案内容这就是我们将要研究学习的线规划问题的应用举.

*设景兴导案投资题制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资甲、乙两个工程，根据预测，甲、乙两个工程可能的最大盈利率分别为100%和，可能的最大亏损率分别为和10%，投资人计划投资金额不超过万，要求确保可能的资金亏损不超过万元，问投资人对甲、乙两个工程如何投资，才能使可能的盈利最大？试建立线性规划模型，并用图解法求.

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从实际问题出发，学生自然的学习知识点解投资人投资甲工程

x

万元，投资乙工程

万元目标函数最大化

maxZ0.5y

，满足1.80.

引导分析

思考自我建构105

0.3x+0.1y=1.8Ax+y=10

图像法解决Oz=0

10

画出可行域，如图-作出目标函数x0.5y的等线。即x0.5y将0等线项可行域内平行移动至点A.此时目标函数取最大xy10解方程组0.30.1y得点的坐标为（4，）所以，当=4,时目标函数取最大值Z40.57答题的最优解为分别投资甲、乙两项为4万和万，可能盈利最大

找出行域

明确可行域为阴影部分

回忆图像法的解题步骤为万元案生产排题一个毛纺厂用羊毛和涤纶生产、、三混纺面料，生产单产品需要的原料如下表（表5.15）所示：表原产羊涤ABC这三种产品的利润分别为、每月可购进的原料限额为羊毛单位，涤纶为6000单，问此毛纺厂应如何安排生产能获得最大利润？请建

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分析题

立线性规划模型，并用表格法求

BBBB解生产产品A为单位，产品为x产品为单目标函数Zxx，13x13x6000满足123x0.1

单位，

课件

意，选择解题方法表格计算过程如下（为简便起见，将3张合并一起，用左边的序号表示格的顺序）表6C

j

41500

引导1

C00

Xxx

5

32

x

11

x2(4)

x10

x

501

bi80006000

i4000[1500]

分析

思考讨论

表格法解决

j

4

1

[5]

0

0

02

0

4

(2)

12

0

1

12

5000

[2500]5

x

12

1

0

14

1500

30003

4

1

j

[

3]24114

00

012

5414

750025005

x

0

18

1

14

250

j

5008

34

78

11250得到最优解：生产A为2500单，B为0单位C为250位，最大利润为11250单案3环保问某河流旁设置有甲、乙两座化工厂，如图5-11所示已知流经甲厂的河水日流量为

4m3,在厂之间有一条河水日流量为

的支流.甲乙两厂每天生产工业污水分别为

2

4m和1.4m

，甲厂排出的污水经过主流和支流交叉点P后已有20%自然净.按保要求，河流中工业污水的含量不得超过0.2%，此两厂必须自行处理一部分工业污水，甲、乙两厂处理每万立方M污的成本分别为1000元和800元.问：在满足环保要求的条件下，各厂每天应处理多少污水，才能使两厂的总费用最少？试建立规划模型，并求解.

污水厂

乙厂甲厂解甲、乙两厂每天分别处理污水量为x、y（位：m）.目标函数

minZ1000800

.在甲厂到P点间，河水中污水量不得超过0.2%所以满足2≤5001000在点P到乙之间，河水中污水含量也不得超过0.2%所以应满足(20.2)2≤500200流经乙厂以后，河水中污水含量仍不得超过0.2%，以应满足(20.2)y)≤5002001000综上，得线性规划模型：目标函数

1000x800y利用Excel软件求解结果为总费用最少为1640元案4混问

x1.6满足1.40,yx4,0.8

3某养猪场所用的混合饲料由A、、

三种配料组成，表5.17给单位各种配料所含的营养成分，单位成本以及1份合饲料必须含有的各种营养成分，问如何配制饲料时成本最小？表5.17配料

营养成分D

单位成本ABC1份料应含量

11120

1212146

21110

632

BCBBCB1解

设

j

为混合饲料中第

j

中配料的含量，

jABC

,目标函数

Z62x

,满足

xx201xx24xx10BCxxBC

利用Excel软件求解（请读者完）结果为总费用最少为44.案5运问题

xxC设有两座铁矿山B，有三个炼铁厂甲、乙、丙需要矿石，各矿日产量和各厂日需量及对应的运价（元）如表给出，问怎样调运送矿石才能使总费用最小？表铁矿山

甲

炼铁厂乙

丙

产量AB345矿石需求量

解设x为A运甲厂的运量，1为从运乙的运量，2

为从A运到丙厂的运量，

1

为从B到厂的运量，为从B到厂的运量，y为从B到厂的运量，3根据表中给出的条件，建立线性规则模型如下：minZxxxy12

3x6013yyy123y满足xy302x3,iii利用Excel软求解（请读者完成），结果为

xx10,0,y0,25,1212案下问

总费用最少为元将长为5M的管，分别截成0.98m和两规格的材料，长的需1000根长0.78m的根问怎样截法，才能使所用钢管最少？解将长5M的管分别截成和0.78m种规格的材料，共有如表所可截.表截法

0.98m0.78m

料头（）

根根根根根根

0.10.30.50.7显然，为了节省钢管，不能一根钢管只截一段一种规格的材料，而应采用合理套截方法，为此，必须综合考虑这截法.设采用第j种法的钢管数为x根j6j建立线性规划模型：

）目标函数

6minjjxx10001满足x2000234x0,j6.j利用Excel软求解，结果为x120,0,0,x0,126

最少钢管数为根

*用识强练练5.5食品A、B中都含有维生素、淀粉和蛋白质，但单位含量各不相同，价格各不相同，数据如下表所示：成分食A食最需要90维生素

提问巡视

思考

及时了解学生淀粉蛋白质价格

1.2

1.9

指导

动手求解

知识掌握今有一消费者购买上述两种产品，要求其中维生素、淀粉和蛋白质的单位数不能低于、100、该消费应购买A、B各少才能使营养适当而价格最低？现有一长钢管，生产某产品需长2.9m,2.1m,1.5m三种钢管各为，100，120根问如何截取才可使原材料最省？

情况

*论华整建本次课重点学习了选用