角平分线平行线等腰三角形知识板块的应用

形D形DE形D形DE角平分遇平行线出现等腰三角形。分、b两情形：a如图：一直线与角的一边平行CD//

DODC、如乙：一直线角的平分线平行//ODOE．等腰三角形与角平分线往往出现平行线a如图甲：等腰三角形的一腰与角的一边平行

图甲O

B

C

CD

D

E、如图乙：等腰三角形的底边与顶角的外角平分线平行

图乙

AODAOB

1AOB21AOB2

DE．等腰三角形与平行线往往出现角平分线a如图甲：与一腰平行、如图乙：与底边平行

OA//DCDCOD//2

角平分线、平行线、等腰三角形关系密切，在题设中若见其一，应思其二，想其三；或作其二寻找发现其三这种解题思路方法往往能得到打开第一道大门的金钥匙破解题的一个难点使一类题目变难为成为可能学生对题目一看就会成为可能这思维方法称为“知识板块”思维。角分、行、腰角“识块的用例例如已在△ABC中ABC、ACB的分线交于点I过点I作DE//BC分别交AB、AC于点D、。证DE=BD+CE。

A证明：

DE//

DI同理CEEI

DECE

DIEBC例2如图2已知I是ABC的心DI//AB交于DEI//AC交BC于E证：△DIE的长等于。

A证明：DI//

DI

I

图（）B

D

E

C

AEABAEABBC4同理：EI=。∴△的长=DI++ED=例3如图：已知在△ABC，

ABC平分线与

ACB的角平分线交于点D，DE//BC交于点，交AC于点F，求证：=BECF。证明DE//BCBDEED同理：CF=FD∴=ED–FD=–CF

AEDB2CM例1例2例3都由角平分线、平行线现等腰三角形，并且同时出现两个，而这个发现是突破此类问题难点的关键。例、平行四边形ABCD中AB=3BC=4ABC的分线交AD于，的平分线交AD点FBE、于点，。：的数。解：

ADBC平行四边形BCDADADAEADBC4同理可证：DFCD=AB==1∴EF=AD－AF+）=4－2=2平行四边形ABCDABCDABCBCD180BCD

2BGC90015FG2

0∴30∴A120

0评注：①此题关键在于利用角平分线、平行线发现两个等腰三角形，ABE和△。②利用平行四边形的对边相等，分别得到AF=DE=1

0180角000180角000B③用平行线的同旁内角的平分线互相垂直得到Req\o\ac(△,T)，eq\o\ac(△,RT)BGF④如果直角边为斜边的一半则直角边所对的角为30。⑤用三角形内角和定理得

0

。例5矩形ABCD中与BD交点DE平

交BC于BDE=15，求

的度数。

AD解：

ADEADC

45BCD

B

E

45

0

∴

BDEODC0矩BDACODODOCAC

等△

∴

CE∵

OCE900030

0

∴

COE

180

0

2

0

0评注：①矩形的对角线相等且相互平分，即矩形的对角线把矩形分成四个等腰三角形。②有一个角为60度等腰三角形为等边三角形。③等腰三角形的一个底=

12

0④此题关键是

CDOCCDCE

OC

。⑤此题内含“角平分线遇平行线出现等腰三角形CDE例6

在△中，

CAB90

0

，AD⊥BC于D，点E在BC的长线上，且CAE

，，。：：的值。解：RTADE

4

作DF//CA，交E延长于点BAC90BC90

ADAD

AFAFCDDF//ACAE5评注：①关键由

B

发现AC平

DAE

。②作角平分线的平行线构造出等腰ADF③由勾股定理求出AE=5从而求出CD：值。例7

如图：

BAC0,AB

BD是角平分线DE//BC，交AB于E。求DE之。DE//解：AB

E

A

3

D设；DE=x

B

1

2

CDE//

∴

∴

x

∴

2xx

12

∴

DE评注：①发现△仍等腰直角三角形。②由角平分线、平行线发现等BED③设未知数，列方程求出DE之程想）例8如图知eq\o\ac(△,t)ABCAB为径的⊙O交边BC于D，OE//BC交AC于。求证：⊙O的切线。

DE//BD证明：ODOAODEOAEODEOAE

OE公有

∴圆O的线。评注：①只能利用定义证明直线与圆相切。②由等腰三角形和平行线，发现角平分线得1=∠。③利用全等三角形证等角，利用垂直证垂直。例9是O的直径BC是⊙O外一点PB⊥ABAC//OP交O于点求证：是的线。OCOA

证明：连结，则AC//OP

C

OPOPOPBOCOB

A3O

BPCOPBOPB90

PCO0PC是圆O的切线

。【切线的判定方法：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线评注：①由等腰AOC的造出现，进而可发现∠。②利用直角B证了PCO为角。③具体判定直线与圆相切的两个判别方法：⑴作垂足，垂足在圆上。⑵连半径，证明半径的外端就是垂足。例10、已知：AB是⊙O的径BC是O的线。切点为点，DC是⊙O的线。求证：OC//AD。

CODOA证明:连结则CD//OC公有OBC

DA2O

BODODC90

DC是圆的切线

评注：欲证相切，找垂直。利用直角证直角。例、如图知梯形ABCD中点O上半圆与ADCDBC相，且AD=5，BC=3求AB的。解法一）连结OC、OD则有ABCDOB

A

DCO

B同理：OAAD=5∴ABOA+=53=（方法二）延长DA至E，延长至F，使、BF=BC；连结，则，且⊙O切。则

ABCD)()(2ADBC(102（圆外切四边形的对边之和相等例、已知P为⊙O一点，通过作⊙O的两条割线，分别交O于AB和C、点，且AB是⊙O的径。已知，。⑴求长⑵求cosB的。解：连结BC、。

ACCD

DOBOCPOOCBDCD

B

O

A

设y,CD=x∵PO=,OB4∴y(y+x)=4×

∴

8yx42x)46

x22CD2242圆O直径

BAC

0

2

AB

2

2∴BC=

8

2

2

5614P

于PCB

OO2

ADAP4BC2144

∵∠BDA=90∴

BD

8

2

27

6

63AB8评注：①平行线截得成比例线段。②割线定理可变成为成比例线段。③代数法解几何题（方程思想④引申说明：BC是周角的平分线，因此一定会出现等腰三角形ACD;是∠ABD的平分线AB又⊙O的径OC得腰三角形BOC,而观察联想到OC//BD.此题在这里又一次体现了角平分线腰三角形平分线三者的密切关系同也体现利用这个“知识板块”思想解题的奥妙。例13如图O直径是O上点，直线DE切于C,AB的长线交ED于E，G⊥AB于A⊥CD于点D,AD交⊙O于点求证：A·=AD·DF.

H证明法）连结OC,则OC//ADADED

B

G

O

AFE

C

D

⑴AB延长CG交于H.