微积分基本定理第二课时教案

学习必备欢迎下载积分基本定理【学情分析】：在上一节教学中，学生已经学习了微积分基本定理，并且初步学会使用微积分基本定理进行求定积分的计算.本节需要在上一节的基础上，进一步理解定积分的几何意义，以及利用几何意义求几何图形的面积.学生在学习了几种初等函数，必然会设法计算它们的一些定积分.另外学生在之前还学习一些具有特殊函数性质(奇偶性)的函数，这些函数也是可以作为研究的对象.【教学目标】：(1)知识与技能：进一步熟悉运用基本定理求定积分；增强函数知识的横向联系；(2)过程与方法：理解定积分的值与曲边梯形面积之间的关系；(3)情感态度与价值观：培养学生的探究精神与创新思想。【教学重点】：(1)运用基本定理求定积分(2)定积分的值与曲边梯形面积之间的关系【教学难点】：(1)求函数f(%)的一个原函数F(%)(2)理解定积分的值与曲边梯形面积之间的关系【教学突破点】：合理利用复合函数的求导法则来求原函数F(%)【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图 提出问题师：上一节课，我们学习微积分基本定理(投影微积分基本定理)，并且使用微积分基本定理计算了一些简单的定积分.下面我们看看试试计算这些定积分，看看你能发现什么结论？生：计算，讨论.例题1:计算下列定积分：(1)』2(2cos%+sin%-1)d%；(2)f-1-^d%0 -2%解：(1) (2sin%-cos%-%)'=2cos+sin%-1.— 需 冗••原式=2sin%-cos%-%|2=3--(2)：%<0时，Gn|%|)'=1%，原式二Gn|%|)-1=In|-1|-In|-2|=-ln2-2师(总结)：运用微积分基本定理求定积分的关键是求出满足F'(%)=f(%)的函数F(%).(课本P60)例题2：计算下列定积分：(1)Jksin%d%；(2)f2"sin%d%；(3)J2"sin%d%0 " 0解：(-cos%)'=sin%/.f"sin%d%=(-cos%)卜=(-cos")-(-cos0)=2,0 0温故而知新⑵题主要是学生容易忽视定义域，误为ln%|-1=ln(-1)-ln(-2)导致无-2法计算.学习必备欢迎下载f2.sm/TCOS%)W-(。。，2兀)(COS兀)-2sinxdx—(—cosX) —(—COS2儿)一(—cos儿)—一2,f2.sinxdc_ZC0SX)b._Zcos2k)Zcos0).OSinXdX—(—cosX)| —(一COS2儿)一(—COSO)—0教师利用函数图象引导学生归纳教师利用函数图象引导学生归纳二、生：（可能会回答）f2.sinxdx—f.sinxdx+f2Ksinxdxn n tt探师：这是一一个定积分的性质fbf(x)dx—fcf(x)dX+fbf(x)dx(其中a<c<b).索a ac师：试试利用曲边梯形的面积表述所发现的结论.生：定积分的值可以是正值、负值或0.生：（书本P60）（1）当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正值，等于曲边梯形的面积；（2）当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值

学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载为负值，等于曲边梯形的面积的相反数.师：根据你们的结论，我们可以进一步补充课本P51页的定积分的几何意义：则J则Jaf(x)dx=.并证明你的结论。给出一般结论着重说明定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：令位于x轴上方的曲边梯形的面积取正值，位于x轴下方的曲边梯形的面积取负值，这样定积分的值就是曲边梯形面积的代数一般情况下(如下图)，定积分Jbf(x)dx的几何意义是a介于x轴、函数f(x)的图象以及直线x=a,x=b之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号；在x轴下方的面积取负号.师：如果f(x)在区间［a,b］上恒为正，则定积分Jbf(x)dx〉0，为面积值；但是Jbf(x)dx〉0，不能推出f(x)a a在区间［a,b］上恒为正.师：由上图我们还可以等出一个结论：若f(x)在区间［a,b］上不是恒为非负的，则函数与x轴以及直线x=a,x=b所围的图形的面积为Jb|f(x出x.例a如上图中，Jb|f(x)dx=Jcf(x)dx+Jd[-f(x)]ix+Jbf(x)dxa a c d=Jcf(x)dx-Jdf(x)dx+Jbf(x)dx

a c d例题3：已知f(x)在［-a,a］上连续，若f(x)是奇函数，附证明：(1)：f(x)在［-a,a］上连续，是奇函数，；.f(x)=-f(-x),xe[-a,a]设F'(x)=f(x)，则有F'(-x)=f(-x),F(x)=f(x)=-f(-x)=-F'(-x)=(-x)'F'(-x)=[F(-x)]'・•・F(x)=F(-x)+C(C为常数)令x=0,则有F(0)=F(0)+C,・•・C=0学习必备欢迎下载二F(%)=F(—%)・•・』af(%)d%=F(%)卜=F(a)—F(—a)=F(a)—F(a)=0—a —a・••原式得证师：本题从几何直观上是非常容易理解的，但是要使用微积分基本定理证明，关键是证明奇函数的原函数是偶函数这个性质.和显示出数形结合的威力

复合函数的求导法则的逆运用容易误为F(x)=F(-x)再次强调运用微积分基本定理求定积分的关键是求出原函数F(x)三：实践新知练习：若f(%)是偶函数，则Jaf(x)dx=21af(x)dx.一a 0证明：•・•f(x)在La,a]上连续,是偶函数，'f(x)=f(-x), xe[-a,a]设F'(x)=f(x)，则有F'(-x)=f(-x),F'(x)=f(x)=f(-x)=F'(-x)=-(-x)'F(-x)=[-F(-x)]'F(x)=-F(-x)+C(C为常数)令x=0,则有F(0)=-F(0)+C,・•・C=2F(0)•・Jaf(x)dx=F(x)a=F(a)-F(-a)=2F(a)-C-a -a2Jaf(x)dx=2F(x)a=2[F(a)-F(0)]=2F(a)-C0 0••原式得证学习必备欢迎下载

巩固新知练习：P62习题1.6B组第1题(1)(3)P62习题1.6B组第2题(1)(3)总结归纳定积分的几何意义：一般情况下，定积分Ibf(x)改的几何意义是介于％轴、a函数f(X)的图象以及直线x=a,x=b之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号；在X轴下方的面积取负号.布置作业P62习题1.6B组第1题(2)(4)P62习题1.6B组第2题(2)(4)P62习题1.6B组第3题学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载设计

反思(A)0(B)7设计

反思(A)0(B)7(C)2⑻4对于例题3，在证明某些关键的地方要提示，也可以采用老师讲授的方法，再进行模仿练习。如果实在困难，略去严格的数学证明也未尝不可。(基础题)1.J2(sin%+cos%)d%的值是()«-答案:解释:cos%+sin%)2J2(sin%+cos解释:cos%+sin%)23五2.曲线y=cos%(0<%<—)与坐标轴所围成的面积是()21(A)2⑻3(C)2(D)4答案:解释:JT|cos%d%=J2(A)2⑻3(C)2(D)4答案:解释:JT|cos%d%=J23ncos%d%+2(一cos%)d%

后2=sin%|2击一sin%3=1+2=3三2.y=sin%(0<%<2几)与％轴所围成图形的面积为答案：4解释：J2nsin%d%=Jnsin%d%+J2nsin%d%=cos%卜一(一cos%)10 :12n=4汽[2%.设f(%)=L求J2f(%)d%。0解释:J2f(%)d%=J1f(%)d%+J2f(%)d%=J12%d%+J25d%=600(难题).求J2max{%,%2}d%.-2学习必备欢迎下载%2-2<%<0解释：由图形可知f(%)=max{%,%2}=<%0<%<1%21<%<2；.二.；.二.原式=f0%2d%+-2%2d%=11.设f(%)为R上以T为周期的连续函数，证明对任何实数a，有f°+Tf(%)d%=fTf(%)d%a 0证明：•・•f(%)为R上以T为周期的连续函数•・f(%+T)=f(%),%gR设F'(%)=f(%)，则有F'(%+T)=f(%+T)F'(%)=f(%)=f(%+T)=F'(%+T)=(%+T)'F'(%+T)=[F(%+T)]'•・F(%