微积分课后习题答案

微积分第八章课后习题答案习题8-1（1）一阶；（2）二阶；（3）一阶；（4）三阶；（5）三阶；（6）一阶；（7）二阶；（8）一阶。（1）、（2）、（3）、（4）、（5）都是微分方程的通解。y=1x+2.4.将所给函数及所给函数的导数代人原方程解得：u（x）=）（1+x）dx=1x2+x+C.2 2习题8-21.（1）原式化为：x—=yInydx分离变量得：---dy=—dxylnyx两边积分得：Jdy=\1dxylnyx计算得：J—d（lny）=J—dxIny x即：In（lny）=Inx+C］整理：Iny=Cx所以：原微分方程的通解为：y=ecx；（2）原式化为：yQ-1）dy=-x（y2一1）dx分离变量得:一 -x分离变量得:一 -x-dy二Edx两边积分得：』（~丹dy=」仁］）dx计算得：2J（yh）d（y2一3一2,占d（x2一］）即:ln(y2_1)二一ln(x2一1)+即:整理：(y2-1)(x2-1)=C所以：原微分方程的通解为：（y2-1）（x2-1）=C；（3）原式化为：y'1-x2dy=-xydx仅供个人学习参考分离变量得：—dy=^^=dxya_x2两边积分得：\-dy=\-^^dxy Ji-心计算得：Iny=—f G-x2)271^7即：Iny二a二2+Ci整理：y=Ce4-n所以：原微分方程的通解为：y=CeU；j：€-y=1-Cx；y=Csinx-1；10,+10-y=C；Iny2-y2=2x-2arctanx+C；TOC\o"1-5"\h\z(8)当面上划时，通解为lnltan)l=C—2sin)；当而上4时，特解为y=2点(左=0,±1,±2,)；2 4 2 2x2+y2-21nx=C；♦♦・ln2x+ln2y=Co(1)y=etan2;(2)(l+^x)secy=272；(3)(、2+l)e)，-2y=2；(4)—=aln\x-a-1\ ；(5)x^y=4；(6)2y3+3y2一213一3元2=5；(7)y=sinx；(8)cosx-\/2cosy=0o(1)y+Jy2-x2-Cx2；(2)y=xecx+i；(3)sin—=InIxI+C；(4)y=-xlnIC-InxI；(5)x '孙=C*arctan：；(6)比=Cx+1；(7)丁2=工2(2山IXI+C)；(8)X3~2y3=CXoX(1)y=-xln(l-lnx)；(2)>2=2x(lnx+2)；(3)y-2xtan(lnX2+^-)；(4)lnx2；(5)y=x；(6)y2=2x2(Inx+2)o「z、 1cp(x)= o2x3仅供个人学习参考

习题8-31.(1)y=Ce2x-ex；(2)y=xn(ex+C)；(3)y=e-sinx(x+C)习题8-31.(1)y=Ce2x-ex；(2)y=xn(ex+C)；(3)y=e-sinx(x+C)；(4)y=(1+x2)(x+C)；(5)y=sinx(x2+C)；(6)y=e-x(x+C)；(7),、 1- ,、 4x3+3Cy=-2x+Cx2；(8)y=Ce-2x-e-x2；(9)y= ；3(1+x2)(10)y=1+C(x+1)。, 2 ex(1)y=-(4-e-3x)；(2)y——；(3)

3x—-1-cosxy= ；(4)xy———；(5)y=ex(x+1)；(6)cosxy=2lnx-x+2；(7)y=2e-sinx+sinx-1；(8)y=‘,nx_-x2-1…，一、 5 - 1 .3一.一3.一一一一.，,、(1)y-5=Cx5+-x3；(2)y-4=-x++Ce-4x；(3)-x2+lnI1+-I=C(C=lnI3CI)；(4)2 4 2 y 1C3 廿 3 . 1 2 11 2y-3= ———x(2lnx-1)或xy-3+—x2(2ln x-1)=C；(5) y-3=Cx3——x3或 7y-3 =Cx3-x3 ；x4 4 7习题8-41.(1)y=(x-2)ex+Cx+C；(2)1 2y二一lnIcos(x+C)I+C；y=1+CeC1x(C丰0)；(5)y——x4-2 2 12-cos3x+Cx+C；(6)y=Cex-1C2.(1)y=y'2x-x2；(2)y=-iln(ax+1)；(3)y=Insecx；(4)y=(—x+1)4；(5)y=ln(ex+e-x)-ln2；a(6)y——ex-—e-x；(7)y=—x3-cosx+x+1；(8)2 2 6习题8-51 1—x2--)y=Ccosx+Csinx；y=e-4x(Ccos31 1—x2--)y=Ccosx+Csinx；y=e-4x(Ccos3x+Csin3x)；6)y=e2x(Ccosx+Csinx)；(7y—Ce-2x+Ce5x； (8)y=e2x(Ccos3x+Csin3x)； (10y=Ccosv'2x+Csin<2xxx、 、2.(1)y=(2+x)e-2；(2)y=3e-2xsin5x；(3)y=4ex+2e3x；(4)y=exsinx；(5)y=-3excos3x；(6)y=cos兀x+—sin兀x。仅供个人学习参考3.y—2y+y=0。4.y—3y+2y=0。(1)y*—bx+b；(2)y*—bx2+bx；(3)y*3.y—2y+y=0。4.y—3y+2y=0。(1)y*—bx+b；(2)y*—bx2+bx；(3)y*=bex；(4)y*=(bx2+bx+b)ex；(5)y*=bcos2x+bsin2x；(6)y*=x(bcosx+bsinx)。(1)y=C+Ce-3x+2x2-3x；(2)y=C+Cex+2(cosx-sinx)；<7人,万、1 1 7y—e2(Ccos x+Csin—x)+—x2-—x-—；y=Ccosax+Csinax+「 . ，1 13、y—Ccosx+Csinx+(—x-—)e3x；1 2 10 50…「、 ,3 4.、y—e3x(C+Cx)+ex(—cosx— sinx)。1 2 25 25y—ex(Ccosx+Csinx)+2(x+1)2；xy―Ce3x+C+x2；(9)y—Ce2+C(10)y―(C+Cx)e2x+2x+2+4x2e2x。7.(1)y—-5ex+2e2x+2；(2)y—ex-e-x+x(x-1)ex；y=2e2(cosx一sinx)+2exsinx；y—J02(37cos4x-29sin4x)e3x+^^(5sinx+14cosx)；1• ,1 11।5, 5y―—cosx-3sinx+3sin2x；(6)y—记+记e4x-4x。习题8-61.(1)三阶；(2)六阶。2.略。3.(1)y=C21；(2)y=C(一1>；(3)t t(4)y=C+1(1-11+112)；(5)t62 34.5.=C(-1)t+12t；(6)y

3(1)y=2+3t；(2)t(1)(2)y=t(3)y=(C1+C21)31；；(4)yt=+2)t+42t仅供个人学习参考,.、 一 兀 一兀，.、(4)y=2t(Ccos—t+Csin—t)；(5)y=C(-1)t+C41；TOC\o"1-5"\h\zt i2 2 2 ti -(6)y=21(Ccos—t+Csin—t)。t1323一 ,、 1 ,一、 1 兀 /一、 .1— —(1) y=--[1+(-3)t] ；(2) y=——=41sin—t； (3) y=(y2)t -2cos—t。t2 t2\?3 3 t 4习题8-7略

总复习题八(1)三；(2)y--5y'+6y=0；(3)y+y-2y=9。(1)C；(2)B；(3)D；(4)A；(5)D。3.略。x X4.(1)1+y2=C(x2-1)；(2)(1+ex)(1-ey)=C；(3)ln[C(y+2x)]+ =0；(4)2yey+x=C；y+2x(5)y=ax+Inx-3xlnx-4x或—=C-3x3(5)y=ax+Inx-3xlnx-4x或—=C-3x3(lnx+1)(7)；,'(x2+y)3=x3+1xy+C；(8)x2+y2-2arctany=C；(9)y=Cx2；(10)2xy-y2=C。x(1)1+ex-2c2cosy或(1+ex)secy=2t2；(2)x2+y2-x-y=0；(3)x2+y2=25；(4)一 一,一、 1—5ecosx e2x—exx(1+2lny)-y2=0；(5)y=——； 或ysinx+5ecosx=1；(6)y sinxy(x)-ex(x+1)。7.y-x(InInx+e-1)。、 2— 3 _ ■—(1) x-C2±[3&'y+C1)2-2C12+C1]2 (2) —、：Cy-1=±x+CC、1 2「「”1 3 7y-C+Ce2x+—x3--x2+——x；1 2 3 5 25y-Ce-x+Ce-2x+3x('x-1)e-x

1 2 2y-ex(Ccos2x+Csin2x)--xexcos2x； (61 2 4)y-Cex+Ce-x--+—cos2x1 2 210xy-e-2x(Acos3x+Bsin3x)；(8)y-Ce2+Ce-x+ex。1 29.(1)y-e-x-e4x；(2)y-e2xsin3x；(3)y=(7-3x)ex-2；(4)y-2arctanex。10.(cosx+sinx+ex)/甲(x)一 「2。11.12.(1)Ay -21+1； (2)Ay -21+1；(3) Ay-2cos a(t+—)-sina ；t ，t