高等数学线性代数初步

第七章线性代数初步 线性代数主要是研究矩阵和向量间的线性关系的一个数学分支。它在科学技术各领域中有着重要的应用，特别是计算机技术的飞速发展，促进了线性代数的应用。线性代数是学习医学统计、生物数学等课程的不可缺少的基础知识。第一节行列式 行列式是为求解线性方程组的有力工具，可由求二元和三元线性方程组着手，引进2阶和3阶行列式，然后推广到阶行列式用消元法解二元线性方程组一、行列式的概念和计算方程组的解为由方程组的四个系数确定.

由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表定义即主对角线副对角线对角线法则二阶行列式的计算若记对于二元线性方程组系数行列式则二元线性方程组的解为注意

分母都为原方程组的系数行列式.例1解三阶行列式定义记（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.(1)沙路法三阶行列式的计算列标行标(2)对角线法则注意

红线上三元素的乘积冠以正号，绿线上三元素的乘积冠以负号．说明1

对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．

2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.例２解按对角线法则，有全排列及其逆序数引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解123123百位3种放法十位2个位1232种放法1种放法种放法.问题定义把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）.个不同的元素的所有排列的种数，通常用表示.由引例同理

在一个排列中，若数则称这两个数组成一个逆序.例如排列堵32舒51嫂4梦中，定义我们潮规定早各元庆素之辜间有蔬一个戴标准林次序鸟,n个不扭同的叹自然卡数，房诚规定笑由小固到大珍为标准闲次序.排列吵的逆云序数3婆2凶5固1吸4逆序逆序逆序定义一个麦排列结中所搬有逆姻序的图总数市称为分此排春列的逆序涉数.例如排列件32途51窗4毙中，3镇2图5氧1武4逆序种数为与31故此矮排列挣的逆求序数众为3拼+1转+0剖+1伴+0驼=5脂.n阶行考列式定义n阶行招列式沫(n-柜or死de红r来de幅te亡rm题in眉an匀t)说明1、途行列睛式是揪一种趣特定唇的算饶式，付它是睬根据磁求解旷方程疫个数斥和未徒知量料个数史相同略的一嘴次方子程组春的需衣要而府定义友的;3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列个元素的乘积;5、的符号为6、一阶行列式,不是的绝对值。在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式(complementminor)，记作叫做元素的代数余子式(algebraiccomplement)．例如余子葛式与歪代数难余子刊式定理行列召式等健于它惧的任顺一行刺（列毒）的购各元喉素与付其对悲应的挪代数扯余子牧式乘素积之方和，筐即有了音代数显余子高式的腥概念碗，可创以把汉高阶损行列铅式化恩为一脂些较跌低阶重的行战列式称的代责数和抗来计抖算行孝列式莫的值铲。通常痛，我损们总相是按畜含0饿最多贫的行掏或列扎来展灾开展鹅开行核列式墨，因洋为0镇位置咏的代就数余摩子式胆乘0亮后仍是然是院0例1解：二、史行列爬式的凝性质侦与计礼算性质1行列致式的求值等父于它伍的转足置行撑列式泄的值.行列式称为行列式的转置行列式.记说明行列衬式中糊行与特列具射有同悉等的渔地位,因此垃行列式的巩性质鸦凡是也对行仆成立京的对甩列也滚同样箱成立.1.行列新式的撒概念梨和计孕算性质木2互换纺行列救式的北两行稠（列煤）,快行列悦式变执号.性质顺3如果西行列积式有她两行味（列祸）对卧应相竖同，若则行编列式套的值干为零植.性质4

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.性质袍5若行俩列式膀的某基一列疾（行虏）的栋元素淹都是喉两项择之和识，则巷些行右列式凶等于景两个董行列无式之雄和，愧即.性质两6行列慈式中吉如果夕有两榨行（腥列）加元素羞成比吵例，征则此桃行列妄式为约零．证明性质业7把行堪列式忠的某拐一列越（行倘）的闸各元颠素乘左以某左一常徒数后框加到鸽另一止列(旬行)址对应服的元为素上澡去，羽行列受式不伞变，筛即性质与8若行捡列式轮中有财一行鼠（列群）元腹素全稻是零数，则辆行列呈式等扛于零谊。例１计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．2.腹行列动式的愁计算解对任意的阶行列式可利用行列式的性质将其化为三角形行列式，这时再计算行列式的值推论行列婚式任统一行谜（列框）的岁元素井与另扶一行跑（列鄙）的止对应分元素判的代化数余制子式滑乘积陵之和输等于怠零，片即证同理相同二阶呢和三仔阶行虾列式持是由库解二瞎元和调三元压线性临方程组谣引入棒的.对角线法则二阶与三阶行列式的计算三、熔小结排列惜具有禽奇偶软性.计算坡排列矛逆序枪数常厅用的咏方法锻有2种.个不同的元素的所有排列种数为(行钢列式抵中行碰与列胡具有廉同等您的地趁位,婶行列猪式的色性质财凡是彩对行公成立