高中全程复习方略配套课件：函数与方程北师大·数学理·陕西专用

第九节函数与方程三年12考高考指数:★★★结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数.1.函数零点个数、存在区间及方程解的确定与应用是高考的热点.2.常与函数的图像与性质交汇命题，主要考查函数与方程、转化与化归、数形结合思想.3.题型以选择题和填空题为主，若与导数综合，则以解答题形式出现，属中、高档题.1.函数的零点(1)定义：函数y=f(x)的图像与____________________称为这个函数的零点.(2)几个等价关系：横轴的交点的横坐标f(x)=0有实数根f(x）的图像与x轴有交点f(x)有零点【即时应用】(1)函数f(x)=x3-x的零点是________;(2)函数f(x)=lgx-的零点个数是_______.【解析】(1)令f(x)=0，即x3-x=0,解得x=0,1,-1,∴f(x)的零点为-1，0，1.(2)由等价关系、零点个数转化为方程lgx-=0的根的个数⇔lgx=即又转化为函数y=lgx与y=图像的交点个数，由图像得有一个交点,即函数f(x)=lgx-有1个零点.答案：(1)-1，0，1(2)12.函数零点的存在性定理条件结论函数y=f（x）在上y=f(x)在(a,b)内至少有一个零点(1)图像是连续曲线(2)f(a)·f(b)<0【即时应用】(1)若函数y=f(x)在区间［a,b］上的图像为连续曲线，判断下列命题是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”)①若f(a)f(b)>0，则不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0;()②若f(a)f(b)<0,则存在且只存在一个实数c∈(a,b)使得f(c)=0;()③若f(a)f(b)>0，则有可能存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0;()④若f(a)f(b)<0,则有可能不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0.()(2)在函数零点的存在性定理的条件下，当f(x)是_____时，在区间(a,b)内f(x)有唯一的一个零点.(3)已知函数f(x)=x3-x-1仅有一个正零点，则此零点所在的最短区间为_____.(区间端点为整数)(4)函数f(x)=mx-1在(0，1)内有零点，则实数m的取值范围是_______.【解析】(1)如图甲的情况可判断①错③正确，如图乙的情况可判断②不正确，由零点存在性定理可知④不正确.(2)由零点存在性定理容易判断f(x)是单调函数即可.(3)由于f(0)=-1<0，f(1)=-1<0,f(2)=5>0,f(3)=23>0,f(4)=59>0,故只有区间(1，2)满足.(4)由f(0)f(1)<0,得(-1)·(m-1)<0，∴m>1.答案：(1)①×②×③√④×(2)单调函数(3)(1，2)(4)m>1确定函数零点所在的区间【方法点睛】确定函数f(x)的零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f(x)=0易解时，可先解方程,然后再看求得的根是否落在给定区间上；(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间［a,b］上的图像是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a，b)内必有零点.(3)数形结合法：通过画函数图像，观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断.

【例1】悄(1色)(堡20须12棍·豫南寄九校史联考)函数仁的零贝点所在楼的区毒间为(爬)(A调)(振0，1)迁(B盟)(色1，2)(C谷)(例2，3)盏(D拖)(烘3，4)(2亚)(肌20垂12振·九江像模拟)函数f(昌x)=学ln星(x跃-2锋)-的零景点所增在的敌大致区间吵是(厨)(A祝)(帖1，2)运(B编)(尼2，3)(C疗)(哨3，4)敏(D厘)(智4，5)【解题鼻指南】(1缺)根据践函数厦零点混的存宽在性倘定理品，只坚需验对证各房诚选项烘中区沾间的窜端点展值是禁否异关号即浑可作墙出判亲断.(2轮)根据伟题意溜先把模不在咏定义侍域中贸的区闲间排妹除掉采，然抽后通冷过求裁所给伙区间旺的两刻个端东点的坡函数锡值进烘行判瞧断.【规范管解答】(1析)选B.扮∵f占(0葱)=慨(磨)0-庭2-0趴=4底>0，f(僻1)肠=(纽奉)1-法2-13=1娃>0，f(厚2)竭=(罪)2-俗2-23=-汁7<冲0,f(吨3)紧=(占)3-叼2-33=菠<0涉,f(递4)琴=(蓬)4-肉2-43=侍<0门,∴f丙(1街)·概f(陆2)副<0害,故函鹅数f(拨x)=扶(奥)x-渡2-x3的零树点所信在的罗区间匀为(1，2)田.(2宅)选C.由题俯意知秩函数f(奔x)的定许义域梨为{x|未x>2愈},∴排除A.∵f待(3至)=御<0垮,f迟(4演)=授ln怨2-投>0矛,f(易5)根=l叶n3案-骗>颗0，∴f(闯3)谎·f造(4蒸)<炮0,世f(坚4)艳·f雕(5宣)>哄0，∴函响数f(肌x)的零恼点所浓在的报大致掏区间稠是(3，4)亮.【互动蔽探究】把本肿例(1酷)中的济函数设改为麻方程lo演g3x+贵x=迫3,判断肆其解所厕在的灿区间.【解析】构造恼函数蒸，转讽化为珍求函彩数的违零点商所在树的区兄间.令f(籍x)=认lo游g3x+桂x-煌3,则f(非2)庄=l校og32+犬2-默3=形lo糟g3<0贞,f朝(3抬)=近lo穗g33+首3-3虽=1忌>0芽,又因滔为函议数f(戚x)在(0，+∞滔)上是康连续袖且单违调的刻函数结，所以受方程lo域g3x+繁x=凤3的解诞所在劳的区姜间为(2，3)葵.【反思·感悟】1.判断干函数炸零点戒所在窑的区臣间，今当方锅程f(从x)=砌0无法疮解出聪或函越数y=f(怠x)的图问像不醋易作崖出时柄，常撞用函蒸数零旅点存丈在性敏定理夜判断.2.判断喂方程下的解肚所在绍的区伙间常清转化股为函捞数的既零点浸问题.【变式廉备选】函数f(闪x)=袖ex+x翠-2的零弹点所巷在的晒一个搭区间服是(券)(A纱)(池-2，-1刑)扶(豪B)邪(-酬1，0)(C触)(林0，1)啊(D苹)(呀1，2)【解析】选C.因为f(华0)椒=-窄1<占0,参f(钻1)每=e屑-1禁>0蚂,所以屋零点壤在区辈间(0，1)上，守故选C.判断饮函数希零点险个数【方法淋点睛】判断魂函数蒜零点果个数攻的方忍法(1课)解方与程法纠：令f(木x)=援0，如锦果能汪求出艺解，班则有朋几个踪蝶解就表有几滔个零烛点；(2绸)零点否存在眯性定下理法厕：利侄用定所理不砍仅要扫求函蔑数在纳区间围［a,孩b］上碰是连举续不屈断的瘦曲线飞，且f(赔a)坝·f渣(b)＜0,还必茶须结己合函魔数的柳图像亚与性兵质(如单催调性渡、奇泄偶性绞、周雨期性负、对邮称性)才能旦确定击函数乱有多袍少个滔零点马或零堵点值材所具释有的竟性质芝；(3房诚)数形砍结合云法：恳转化覆为两泼个函仪数的峰图像认的交凭点个令数问父题；丢先画叛出两郊个函闹数的呼图像望，看音其交放点的楼个数统，其殖中交叛点的惰横坐朗标有栽几个峡不同唱的值乒，就测有几叶个不病同的叛零点.【例2】潮(2微01因1·陕西阵高考)函数f(绝x)=讲-co栽sx在［0，+∞楚)内(佳)(A敌)没有舟零点(B愉)有且逼仅有言一个幼零点(C肤)有且宝仅有鸣两个封零点(D戴)有无惨穷多僚个零隙点【解题硬指南】解决蔽本题径可转应化为且两函设数y=和y=co倘sx在［0，+∞渡)内的月交点轿个数励或根伏据零贫点存牌在性苦定理木及函愁数的旧性质津进行研判断.【规范黎解答】选B.方法太一：候数形璃结合子法，浑令f(施x)=岭-co笨sx=0睬,则=co洁sx,设函勒数y=和y=co码sx,它们液在［0，+∞灭)内的亚图像如图真所示救，显立然两演函数乓的图帆像的酱交点镰有且遇只有合一个滥，所贵以函感数f(株x)=胖-co拐sx在［0，+∞手)内有坛且仅捡有一艺个零附点；方法抓二：连当x∈［,+纺∞)时，>1彩,c是os带x≤刘1,所以f(抖x)=躺-co喇sx>0裕;当x∈容(0街,］时,f′萄(x)=崭+si料nx>0未,所以吗函数f(尾x)=相-co叛sx是增猪函数算，又耗因为f(类0)缎=-功1,赖f(狗)=勉>0昆,所以f(求x)=惹-co渣sx在x∈丧(0轮,伐)上有岗且只切有一板个零补点.【反思·感悟】在判狭断函鱼数y=f(佳x)的零行点个坟数或绣方程f(朵x)=抢0根的拴个数云时，僚若方宪程f(鹊x)=茎0易解纱，则爱用解悼方程扩法求右解；机若可沃转化丢为两浸熟悉素的函猪数图丧像的劈燕交点脚个数慢问题深，则农用图阔像法裳求解狗，此麦时应饮注意则画图柔要尽铺量精孙确，显若图形像画玻得太各粗糙牢则易蒸出现早失误捏；若酒图像哨不易瓦画则属可利津用零东点存龟在性眼定理汽及函康数的数性质慈综合糖求解.【变式泻训练】函数y=si恋nx絮-l续gx的零纯点个寺数为(茎)(A写)0漠(B约)1太(C堆)2俊(D群)3【解析】选D.令函兰数y=si真nx察-l劝gx=0浸,即si响nx=lg坛x,设y1=s件in棵x,族y2=lg钉x,这两年个函演数的订图像叉的交辨点个唐数就苏是所脑给函件数的何零点通的个旗数，雹∵y2=lg户x过(1，0)点和(1晃0，1)点，欠与y1=si钉nx的交往点个御数是3，∴窃函数渐的零源点的艺个数社是3，故架选D.【变式姜备选】(1挂)判断节函数f(捧x)=景lo屯g2(x光+2撇)-畏x(叮-1谈≤x旋≤3仪)是否孩存在疾零点.【解析】方法支一：码在同丧一平嚼面直哗角坐暗标系五中画艘出函洪数y=lo嘱g2(x岔+2崭)与函颗数y=铲x的图默像，恰观察艳知：离两函投数在使［-1，3］上辫有一究个交详点，祸即函廉数f(吓x)=念lo品g2(x眉+2加)-岗x(权-1谁≤x盟≤3愤)存在萝零点.方法减二：开显然稍函数f(舱x)=罚lo吐g2(x革+2沙)-很x在［-1悄,3］上说是连僵续不化断的南，∵f(野-1浆)=根lo卡g2(-束1+介2)阻+1踢=1＞0,愁f(欧3)拖=l就og2(3罪+2情)-轿3=车lo换g25-米3＜0,等∴f芽(x隙)=屯lo艰g2(x开+2决)-撞x(递-1顽≤x扎≤3僻)存在版零点.(2皱)判断眯函数浅在［-1，1］上死零点刃的个诸数，并说发明理梨由.【解析】显然区函数奋在［-1，1］上软是连买续不断厌的，瘦∵f(透-1保)=业×(般-1往)3+(裁-1壮)2+4速×(残-1报)=＜0,又∵当-1勇≤x再≤1时，0≤闯f′放(x帆)≤∴在［-1，1］上虎是单孕调递浊增函景数，∴f(怕x)在［-1字,1］上号只有宜一个这零点.由函卖数零居点的巴存在狂情况面求参陵数的段取值【方法戏点睛】已知大函数毫有零舞点(方程值有根)求参安数取锐值常务用的晴方法炊和思便路:(1棍)直接降法：偶直接糖求解驻方程黑得到搅方程枝的根骡，再腿通过盈解不存等式煤确定旅参数标范围膝；(2拘)分离剂参数麦法：储先将笼参数喝分离涂，转疯化成奇求函旋数值膨域问晓题解走决；(3东)数形顿结合她法：闯先对柱解析甲式变决形，赛在同新一平快面直部角坐凉标系军中，薯画出遥函数距的图陶像，宇然后活观察舌求解.【例3】纤(2雅01碧2·济南揪模拟)已知依函数(1笛)若g(郑x)=奏k有零压点，递求k的取遥值范片围；(2扫)确定m的取肺值范太围，意使得g(灭x)基-f宣(x)=睛0有两差个相摧异实狸根.【解题以指南】(1衫)可用招基本誉不等慈式求论出最钟值或性数形乒结合锤法求网解.(2味)转化辩为函坐数f(虹x)与g(铸x)有两缠个交榨点，秃从而预数形瞎结合渔求解.【规范录解答】(1粘)方法椒一：汇∵吃等号成立互的条婶件是x=屋e,故g(饭x)的值肢域是捧［2e霸,+社∞)，因棕此，饺只需k≥能2e神,则g(刻x)=失k就有粥零点.方法志二：慎作出响的大晶致图财像如系图：可知断若使g(溉x)=馆k有零推点，拉则只钞需k≥徐2e抚.xg(x)yo2ey=ke(2修)若g(杀x)伶-f范(x)=劝0有两刻个相奇异的卵实根引，即g(恼x)与f(昆x)的图血像有两个牵不同塑的交辛点，与作出镜的大区致图罗像.xyo2eg（x）f（x）e∵f(姓x)=俊-x2+2虫ex李+m删-1型=-皇(x程-e缝)2+m边-1如+e2.∴其图始像的远对称柄轴为x=躬e,开口催向下笑，最富大值岭为m-喘1+联e2.故当m-夫1+交e2>2穴e,即m>挪-e2+2绩e+觉1时，g(映x)与f(俘x)有两飘个交朗点，徒即g(择x)比-f谎(x)=励0有两伶个相连异实摔根.∴m的取啄值范功围是(-灭e2+2烛e+者1,软+∞屯).【反思·感悟】有些背二次拢、高墓次、奸分式享、指啄数、住对数疗及三活角式给、含伯绝对揉值方音程根券的存完在问振题，枝常转医化为葵求函晃数值怨域或蛮两熟饼悉函传数图立像的常交点吧问题毅求解.【变式脂训练】(2炊01公2·长沙每模拟)已知塔函数f(想x)=诱ax3+b寒x2+(c悼-3漠a-垒2b抢)x愉+d同(a太>0瞎)的图咳像如惭图所枕示.(1大)求c,赤d的值盒；(2商)若x0=5的,方程f(眉x)=屋8a有三寄个不见同的勾根，老求实狸数a的取晋值范贝围.【解析】函数f(垮x)的导夕函数跌为f′支(x)=卡3a齿x2+2狮bx变+c付-3夹a-针2b付.(1晶)由题麦干图亏可知接，函扫数f(剑x)的图屠像过曲点(0，3)，且(2罪)依题沿意f(遭x)=明ax3+b死x2-(夏3a拐+2砌b)辉x+庆3(攻a>津0)撤,f′漫(x)=侄3a隙x2+2裂bx领-3崖a-疾2b俩,由图梨知f′送(5鸟)=设0，得b=波-9开a洪①若方选程f(这x)=育8a有三混个不灭同的宰根，樱当且牢仅当宽满足f(俭5)丹<8怜a<粒f(水1)虫②由①②循得-2辜5a汉+3谷<8围a<何7a累+3魄,解得<a住<3很,所以加，当<a州<3时，离方程f(凉x)=棕8a有三龄个不浴同的溪根.【创新叠探究】函数闭零点纯命题们的新料动向【典例】(穴20秋11记·山东尺高考)已知伪函数f(妖x)=lo屠gax+毯x-贷b(韵a>0画,且a≠临1)板.当2<擦a<泰3<认b<脱4时，剑函数f(姐x)的零幻玉点x0∈(戚n,耳n+亏1)叉,n概∈N+，则n=疾__争__续__顶_.【解题鲁指南】由条芹件易咐知函积数f(父x)在(0，+∞贯)上为笋增函弓数,然后己根据a,览b满足硬的条率件及紧对数除的运墓算性够质探介究出f(汇x)零点翁所在驶的区其间，母从而房诚对照x0∈(滴n,浇n+椅1)逐,n巨∈N+,确定要出n的值.【规范叔解答】∵2首<a沿<3挡,∴射f(愚x)气=lo设gax+击x-跨b为定巧义域险上的怀单调师递增函准数，f(设2)炉=l牲oga2+心2-咏b,回f(济3)恶=l阿oga3+肚3-辞b,∵2捉<a敌<3投<b控,∴像lg绩2<lg找a<l雄g3泄,又∵b>文3,纳∴-班b<吵-3伞,∴湾2-晴b<使-1且,∴l厌oga2+节2-第b<丛0,即f(粪2)供<0腐,3<吓b<旺4,员∴-棕1<西3-局b<忌0,∴l宽oga3+叼3-披b>纷0,舌∴f慢(3烂)>详0,即f(旧2)所·f犬(3砍)<痰0由x0∈(旧n,给n+追1)影,n般∈N+，知n=办2.答案冰：2【阅卷兰人点办拨】通过驶对本肯题的混深入询研究廉，可握以得亭到以胞下创亏新点抚拨及叼备考掠建议芒：创新点拨本题避开函数零点的常规命题考向,即确定零点所在区间或判断零点的个数，而是通过以下角度进行命题：改变了考查单一零点知识点的命题方式，而是与函数的单调性相结合命题.需要利用对数的运算性质及对数函数的单调性去探究零点所在区间.备考建议对函数的零点除掌握好常规的考向外，在复习中还应关注以下几个问题:(1)与函数的单调性、奇偶性、周期性、值域等性质的综合问题.(2)与指数、对数及三角函数图像与性质的综合问题.(3)与导数的应用综合在一起的解答题.1.渡(2摸01占1·新课绳标全防国卷)在下卫列区堡间中碎，函身数f(专x)=耻ex+4咬x-愚3的零惨点所礼在的统区间枪为(赞)【解析】选C.让∵f瓣(x)是R上的则增函才数且氧图像悟是连肠续的斑，又∴f(松x)在鹊内存假在唯警一零视点.2.艰(2搬01孟1·浙江吸高考)设函闲数栏若f(貌a)=建4,则实该数a=尖(隔)(A惯)-摔4或-2辣(B悠)-象4或2(C遮)-透2或4猛(杰D)源-2或2【解析】选B.当a≤乎0时，