线性代数课件

线性代数的主线线性方程组

§3.3带度量的向量空间

在解析几何中，对平面上的有向线段与可做点乘运算其中，表示有向线段与的夹角，和分别有向线段与的长度。利用点乘可得取定平面直角坐标系后，设则易得

在几何中，与均有直观的几何意义。但对一般的n元实向量则无法直接讨论它们的长度与夹角。我们仿照点乘的坐标运算法，把当作向量与的“点乘”，就可反向引入向量的长度与夹角的概念。

一、向量的内积

定义设V是实向量空间。任取，设则与的内积规定为

设，则

性质设V是实向量空间。对任意及，均有（1）

（2）

（3）

（4）

，等号成立当且仅当

定义定义了内积运算的实向量空间称为Euclid空间，简称为欧氏空间。二、向量的度量

定义设V是欧氏空间，任取，则的长度规定为定理设

V是欧氏空间，则对任意均有上式称为Cauchy-Schwarz不等式。

注

(1)

(2)为单位向量

(3)是单位向量（称上述过程

为对单位化）

(4)

证明

(1)，结论成立；(2)，对任意实数x，均有即因的系数大于零，故

即于是

定义设V是欧氏空间，，且均不是零向量，则与的夹角规定为这里

。▌

定义若，则称向量与向量正交，记为。

例设，则对任意与任意，均有。

定理设V是欧氏空间，与是V中任意两个向量，则有（1）三角不等式：

（2）勾股定理：若，则三、标准正交基

定义设V是欧氏空间，是V中m个非零向量。若两两正交，则称是正交向量组。由单位向量构成的正交向量组称为标准正交向量组。

例在欧氏空间中，自然基是标准正交向量组。

例在欧氏空间中，一个单位向量本身也是标准正交向量组。

定理设是欧氏空间V的一个正交向量组，则线性无关。

证明设是正交向量组，令两边同时与做内积，得因两两正交，故

于是又，故，由此得。

同理可证。所以线性无关。▌

把两个线性无关的向量化为两个正交的向量：

设1,2

线性无关，令

则因要求，故又，故。从上式解得

已知线性无关，故。于是1,2是正交向量组。

令，则是标准正交向量组。此外，

定理设V是欧氏空间，是V中m个线性无关的向量，则V中存在m个标准正交的向量，并且,Schmidt正交化方法：已知线性无关1.

正交化：

2.

单位化：

例已知中的，求三个标准正交的向量。解

1.

正交化

2.

单位化则即为所求的一个标准正交向量组。▌

定义设V是欧氏空间，则V中由正交向量组构成的基称为正交基，V中由标准正交向量组构成的基称为标准正交基。

例欧氏空间V的自然基即是标准正交基。

定理设是欧氏空间，且，则V一定存在标准正交基。

例已知欧氏空间中的两个标准正交向量把扩充为的标准正交基。解

1．把扩充为的一个基：

取向量，易证线性无关，因此它们是的一个基。2．把化为的一个正交基：

则两两正交，且都不是零向量，因此它们是的一个正交基。令3．把化为的一个标准正交基：

令

则即为的一个标准正交基。▌四、正交矩阵

定义设，若，则称A是正交矩阵。显然，正交矩阵A满足。设是正交矩阵，其列向量组为

由得

所以又（欧氏空间），且

（与的内积）故有即是中的标准正交向量组。

定理设，则A是正交矩阵的充分必要条件是A的列（行）向量组是标准正交的。

例设，其中。证明：B是正交矩阵。证明

∵B的列向量组标准正交∴B是正交矩阵。

（另法）∵

∴又，而故。所以于是，B是正交矩阵。

例设，证明：若A可逆，则A可表示为其中

Q是n阶正交矩阵，R是n阶可逆上三角阵。上式称为实方阵A的正交分解。▌小结

1.

向量空间