福建省福州市四校高一下学期期末联考数学试卷含解析

福州四校2122下期末联考高一数学试卷单项选择题1．“幸福感指数〞是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满足程度的指标，常用区间[0,10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满足度越高.现随机抽取10位嘉祥县居民，他们的幸福感指数为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.那么这组数据的80%分位数是A．7.5 B．8 C．8.5 D．9【答案】C【解析】数据3，4，5，5，6，7，7，8，9，10共10个，且，所以分位数是.2．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为，用随机模拟的方法估量概率，利用计算机产生0到9之间的取整数值的随机数，假如我们用1，2，3，4，5，6表示下雨，用7，8，9，0表示不下雨，顺次产生的随机数如下：907028191925277932218478569683630278027556730189139976123034，那么这三天中恰有两天下雨的概率约为〔

〕A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意，模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数，这20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：028191925932218569683027139，共9组随机数，所以所求概率为.3．假设，，且，那么的最小值为〔

〕A． B． C． D．【答案】B【解析】由于，，且，所以，当且仅当时等号成立，所以，的最小值为.4．，那么的大小关系是〔

〕A． B．C． D．【答案】C【解析】,5．某数学老师在统计班级50位同学的一次数学周测成果的平均分与方差时，计算完毕才发觉有位同学的分数还未录入，只好重算一次.原平均分和原方差分别为91，2700，新平均分和新方差分别为，，假设此同学的得分恰好为91，那么〔

〕A． B． C． D．【答案】B【解析】由题知，，方差为.6．据?九章算术?记载，“鳖臑〞为四个面都是直角三角形的三棱锥．如下图，现有一个“鳖臑〞，底面，，且，三棱锥外接球外表积为〔

〕A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，将三棱锥补形为正方体，那么外接球半径.所以三棱锥外接球外表积.7．钺〔yuè〕的本字其实是“戊〔yuè〕〞，是一种斧头．在中国古代，长江流域以南的少数民族都被称为越人，由于民族很杂部落众多，也称“百越〞，有学者指出，“越人〞的“越〞，其含义可能由“戊〞而来，意指这些都是一帮拿着斧头的人．此外，“戊〔wù〕〞的本意和“戊〞一样，也是指斧头．如图是一把斧子，它的斧头由铁质锻造，它的外形可以近似看做由上下两个多面体组合而成，上部是一个长方体，下部是一个“楔〔xie〕形〞，其尺寸如图标注〔单位：cm〕，铁的比重为，斧头上用作安装斧柄的洞眼仍看作实心，这只斧头的质量〔单位：g〕所在的区间为〔

〕

A． B． C． D．【答案】A【解析】由题得几何体有一个长方体、一个三棱柱和两个三棱锥组成，长方体的体积：；三棱柱的体积：；两个三棱锥的体积：；所以几何体的体积为，所以这只斧头的质量为.8．如图，在中，，，为上一点，且满足，假设，，那么的值为〔

〕A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，∵∥，∴，即，又∵，那么，∴，∴，，.二、多项选择题9．假设复数，其中为虚数单位，那么以下结论正确的选项是〔

〕A．对应的点在第三象限 B．C．为纯虚数 D．的共轭复数为【答案】AB【解析】由于，对于A：的虚部为，正确；对于B：模长，正确；对于C：由于，故不是纯虚数，C不正确；对于D：的共轭复数为，D不正确.10．，，以下结论正确的选项是〔

〕A．与同向共线的单位向量是B．与的夹角余弦值为C．向量在向量上的投影向量为D．【答案】ACD【解析】，故A正确；，故B．错误；向量在向量上的投影向量为，故C．正确；，故D．正确；11.正方体的棱长为分别为的中点.那么〔〕A.直线与直线AF垂直B.直线与平面AEF平行C.平面AEF截正方体所得的截面面积为D.点和点D到平面AEF的距离相等【答案】BCD【解析】由于，而与明显不垂直，因此与不垂直，A错；取中点，连接，，由分别是中点，得，又，，是平行四边形，所以，，平面，所以平面，平面，而，平面，所以平面平面，又平面，所以平面．B正确；由正方体性质，连接，那么截面即为四边形，它是等腰梯形，，，等腰梯形的高为，截面面积为，C正确，设，易知是中点，所以两点到平面的距离相等．D正确．12．在锐角中，角、、所对的边分别为、、，，且，那么〔〕．A．B．角的取值范围是C．的取值范围是D．的取值范围是【答案】AD【解析】由于，所以，，，那么，所以或．由于，所以，所以，那么，故A正确；由于，所以．由于是锐角三角形，所以，即，解得，所以，那么，故B错误，D正确；由于，所以，所以，那么C错误．三、填空题13．水平放置的的直观图如下图，，，那么边上的中线的实际长度为______．【解析】依据斜二测画法的原那么,由直观图知，原平面图形为直角三角形，且，所以，所以，故边上中线长为.14．，为实数，是关于的方程的一个根，其中是虚数单位，那么______．【答案】0【解析】是关于的方程的一个根，是关于的方程的另一个根，那么，即，15．等边的边长为2，D为边BC的中点，点是边上的动点，那么的最大值为______________.【答案】

【解析】如图，以所在的直线为轴，以的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，那么，，，，，，，，对称轴为，所以在区间单调递减，在单调递增，当时，最大为，故答案为：.16．如图，三个全等的三角形，，拼成一个等边三角形ABC，且为等边三角形，假设，那么的值为__________.【答案】【解析】设，，由于三角形，，互为全等三角形，且是等边三角形，所以，，，且,在中，依据正弦定理有，所以，所以，即，.五、解答题17．函数.(1)求其最小正周期；(2)当时，求函数的值域.【解】(1)依题意，，那么所以，函数的最小正周期为.由〔1〕知，因，那么，所以函数的值域为.18．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，且．(1)求角B的大小；(2)假设，求△ABC的面积．【解】(1)∵,∴,即2sinAcosB+sin〔B+C〕＝0，即，,;(2)由b＝，a+c＝4，可得，即12＝16﹣2ac+ac，那么ac＝4，又a+c＝4，∴a＝c＝2，那么△ABC的面积．19．如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面平面ABCD，，，E，F分别为AD，PB的中点．求证：(1)∥平面PCD；(2)平面平面PCD．【解】(1)如图，取PC的中点G，连接FG，DG．∵F，G分别为PB，PC的中点，∴，．∵四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，∴，．∴，．∴四边形DEFG为平行四边形．∴．又∵平面PCD，平面PCD，∴平面PCD．(2)∵底面ABCD为矩形，∴．又∵平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，∴平面PAD，∵平面PAD，∴．又∵，，∴平面PAB．∵平面PCD，∴平面平面PCD．20．2021年秋季学期，某省在高一推动新教材，为此该省某市教育部门组织该市全体高中老师在暑假期间进行相关学科培训，培训后进行测试〔总分值100分〕，从该市参与测试的数学老师中抽取了100名老师并统计他们的测试分数，将成果分成五组，第一组[65，70〕，其次组[70，75〕，第三组[75，80〕，第四组[80，85〕，第五组[85，90]，得到如下图的频率分布直方图．(1)求a的值以及这100人中测试成果在[80，85〕的人数；(2)估量全市老师测试成果的平均数〔同组中的每个数据都用该组区间中点值代替〕和中位数〔保存两位小数〕；(3)假设要从第三、四、五组老师中用分层抽样的方法抽取6人作学习心得沟通共享，并在这6人中再抽取2人担当共享沟通活动的主持人，求第四组至少有1名老师被抽到的概率．【解】(1)由题意得：，解得；这100人中测试成果在[80，85〕的人数为〔人〕；(2)平均数为：〔分〕，设中位数为m,且，那么，解得，故第50%分数位76.67分；(3)第三组频率为，第四组频率为，第五组频率为，故从第三、四、五组老师中用分层抽样的方法抽取6人作学习心得沟通共享，三组人数为3人，2人和1人，记第三组抽取的人为,第四组抽取的人为,第五组抽取的人为,那么抽取2人的全部状况如下：共15种，其中第四组至少有1名老师被抽到的抽法有共9种，故第四组至少有1名老师被抽到的概率为.21．随着小汽车的普及，“驾驶证〞已经成为现代人“必考〞证件之一，假设某人报名参与了驾驶证考试，要顺当地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在每一次报名中，每个学员有5次参与科目二考试的时机〔这5次考试时机中任何一次通过考试，就算顺当通过，即进入下一科目考试，假设5次都没有通过，那么需要重新报名〕，其中前2次参与科目二考试免费，假设前2次都没有通过，那么以后每次参与科目二考试都需要交200元的补考费，某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参与科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参与科目二考试，每次通过的概率均为，现有这个驾校的一对夫妻学员同时报名参与驾驶证科目二考试，假设这对夫妻每人每次是否通过科目二考试相互，他们参与科目二考试的原那么为：通过科目二考试或者用完全部时机为止．(1)求这对夫妻在本次报名参与科目二考试通过且都不需要交补考费的概率；(2)求这对夫妻在本次报名参与科目二考试通过且产生的补考费用之和为200元的概率．【解】(1)分别表示丈夫和妻子第i次通过考试的大事，那么，夫妻二人都不需要交补考费的大事，那么，所以这对夫妻在本次报名参与科目二考试通过且都不需要交补考费的概率是.(2)由〔1〕知，夫妻二人共交200元补考费的大事，那么，所以这对夫妻在本次报名参与科目二考试通过且产生的补考费用之和为200元的概率.22．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点．〔1〕假设平面交于点，求证：；〔2〕求证：