新教材人教A版必修第二册第8章82立体图形的直观图学案

8.2立体图形的直观图学习任务核心素养1．了解“斜二测画法〞的概念并把握斜二测画法的步骤．(重点)2．会用斜二测画法画出一些简洁平面图形和立体图形的直观图．(难点)通过学习空间几何体直观图的画法，培育直观想象、规律推理、数学运算的数学素养．美术与数学，一个属于艺术，一个属于科学，看似毫无关系，但事实上这两个学科之间有着千丝万缕的联系，在美术画图中，空间图形或实物在画板上画得既富有立体感，又能表达出各主要局部的位置关系和度量关系．问题：在画板上画实物图时，其中的直角在图中肯定画成直角吗？学问点1水平放置的平面图形的直观图画法1．斜二测画法我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．斜二测画法是一种特别的平行投影画法．2．平面图形直观图的画法及要求1．相等的角在直观图中还相等吗？[提示]不肯定．例如正方形的直观图为平行四边形．1．思索辨析(正确的画“√〞，错误的画“×〞)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图．(1)原来相交的仍相交． ()(2)原来垂直的仍垂直． ()(3)原来平行的仍平行． ()(4)原来共点的仍共点． ()[答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．长方形的直观图可能为下列图中的哪一个()A．①② B．①②③C．②⑤ D．③④⑤C[由斜二测画法知，平行线依旧平行，但是直角不再是直角，所以②⑤正确．]3．梯形的直观图是()A．梯形 B．矩形C．三角形 D．任意四边形A[斜二测画法中平行性保持不变，故梯形的直观图仍是梯形．]4．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，假设∠A的两边平行于x轴、y轴，那么在直观图中，∠A′＝________．45°或135°[由于∠A的两边平行于x轴、y轴，故∠A＝90°，在直观图中，按斜二测画法规那么知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°．]学问点2空间几何体直观图的画法(1)与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，直观图中与之对应的是z′轴；(2)平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面；(3)图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．(4)成图：去掉帮助线，将被遮挡的局部改为虚线．2．空间几何体的直观图唯一吗？[提示]不唯一．作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不同．5．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20m,5m,10m，四棱锥的高为8m．假如按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为()A．4cm,1cm,2cm,1.6cmB．4cm,0.5cm,2cm,0.8cmC．4cm,0.5cm,2cm,1.6cmD．4cm,0.5cm,1cm,0.8cmC[由比例尺可知，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4cm,1cm,2cm和1.6cm，再结合直观图的画法，知长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4cm，0.5cm，2cm,1.6cm．]类型1画平面图形的直观图【例1】(对接教材P108例1)(1)如下图，一个水平放置的正方形ABCD，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，那么在用斜二测画法画出的正方形的直观图A′B′C′D′中，顶点B′到x′轴的距离为________．(2)用斜二测画法画出图中五边形ABCDE的直观图．(1)eq\f(\r(2),2)[正方形的直观图A′B′C′D′如图：由于O′A′＝B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，所以顶点B′到x′轴的距离为1×sin45°＝eq\f(\r(2),2)．](2)[解]画法：①在下列图①中作AG⊥x轴于G，作DH⊥x轴于H．②在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°．③在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝eq\f(1,2)OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝eq\f(1,2)GA，H′D′＝eq\f(1,2)HD；④连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去帮助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③)．①②③画平面图形的直观图的技巧(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．eq\o([跟进训练])1．画水平放置的直角梯形的直观图，如下图．[解](1)在的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图①②所示．(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝eq\f(1,2)OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC．连接B′C′，如图②．(3)擦去帮助线，所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③．类型2画空间几何体的直观图【例2】画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．(底面边长尺寸不作要求，侧棱长为2cm)[解]画法：(1)画轴．画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°．(2)画底面．依据x′轴，y′轴，画正六边形的直观图ABCDEF．(3)画侧棱．过A，B，C，D，E，F各点分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′都等于侧棱长2cm．(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，F′，并加以整理(去掉帮助线，将被遮挡的局部改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图．画空间几何体时，首先依据斜二测画法规那么画出几何体的底面直观图，然后依据平行于z轴的线段在直观图中长度保持不变，画出几何体的各侧面，所以画空间多面体的步骤可简洁总结为：eq\x(画轴)→eq\x(画底面)→eq\x(画侧棱)→eq\x(成图)eq\o([跟进训练])2．一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3cm，高(两底面圆心连线的长度)为4cm，圆锥的高(顶点与底面圆心连线的长度)为3cm，画出此几何体的直观图．[解](1)画轴．如图①所示，画x轴、z轴，使∠xOz＝90°．(2)画圆柱的下底面．在x轴上取A，B两点，使AB＝3cm，且OA＝OB，选择椭圆模板中适当的椭圆且过A，B两点，使它为圆柱的下底面．(3)在Oz上截取OO′＝4cm，过点O′作平行于轴Ox的轴O′x′，类似圆柱下底面的画法画出圆柱的上底面．(4)画圆锥的顶点．在Oz上取点P，使PO′＝3cm．(5)成图．连接A′A，B′B，PA′，PB′，整理(去掉帮助线，将被遮挡局部改成虚线)得到此几何体的直观图，示意图如图②所示．①②类型3直观图的复原与计算【例3】(1)如图①，Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，假设O′B′＝eq\r(2)，那么这个平面图形的面积是()A．1B．eq\r(2)C．2eq\r(2)D．4eq\r(2)①②(2)如图②所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．假设A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝eq\f(2,3)C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1．试画出原四边形，并求原图形的面积．1．如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC斜二测画法的直观图，能否推断△ABC的外形？[提示]依据斜二测画法规那么知：∠ACB＝90°，故△ABC为直角三角形．2．假设尝试与发觉1中△A′B′C′的A′C′＝6，B′C′＝4，那么AB边的实际长度是多少？[提示]由得△ABC中，AC＝6，BC＝8，故AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝10．3．如下图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，那么在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是哪个？[提示]由直观图可知△ABC是以∠B为直角的直角三角形，所以斜边AC最长．(1)C[由题图知，平面图形△OAB为直角三角形．∵O′B′＝eq\r(2)，∠A′O′B′＝45°，∴A′B′＝eq\r(2)，O′A′＝2．∴在原△OAB中，OB＝eq\r(2)，OA＝4，∴S△OAB＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×4＝2eq\r(2)．选C．](2)[解]如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2．在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝2D1A1在过点A与x轴平行的直线上截取AB＝A1B1＝2．连接BC，便得到了原图形(如图)．由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2．所以面积为S＝eq\f(2＋3,2)×2＝5．1．本例(1)中直观图中△O′A′B′的面积与原图形面积之比是多少？[解]由(1)中直观图可得S△O′A′B′＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝1，原图形面积为S△OAB＝2eq\r(2)．所以eq\f(S△O′A′B′,S△OAB)＝eq\f(1,2\r(2))＝eq\f(\r(2),4)．2．本例(2)中的条件改为如下图的直角梯形，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，求原图形的面积．[解]如图①，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，那么在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，所以BE＝eq\f(\r(2),2)．而四边形AECD为矩形，AD＝1，所以EC＝AD＝1．所以BC＝BE＋EC＝eq\f(\r(2),2)＋1．由此可复原原图形如图②，是一个直角梯形．①②在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝eq\f(\r(2),2)＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，所以原图形的面积为S＝eq\f(1,2)(A′D′＋B′C′)·A′B′＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1＋\f(\r(2),2)))×2＝2＋eq\f(\r(2),2)．如何将直观图复原为平面图形？直观图与原图形面积之间有什么关系？[提示]1．直观图的复原技巧由直观图复原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段复原时长度不变，平行于y′轴的线段复原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．2．直观图与原图形面积之间的关系假设一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，那么有S′＝eq\f(\r(2),4)S或S＝2eq\r(2)S′．利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．eq\o([跟进训练])3．如下图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，那么原图形的周长是()A．8cm B．6cmC．2(1＋eq\r(3))cm D．2(1＋eq\r(2))cmA[依据直观图的画法，可得原几何图形如下图，四边形OABC为平行四边形，且OB＝2eq\r(2)cm，OA＝1cm，AB＝3cm，从而四边形OABC的周长为8cm．]1．利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图，正确的选项是()ABCDC[正方形的直观图应是一个内角为45°的平行四边形，且相邻的两边之比为2∶1，应选C．]2．如下图是水平放置的三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边上的一点，且D′C′<D′B′，又A′D′∥y′轴，那么原△ABC的AB，AD，AC三条线段中()A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AD，最短的是ACC[由题意得，原△ABC的平面图如下图，其中，AD⊥BC，BD>DC，∴AB>AC>AD，∴△ABC的AB，AD，AC三条线段中，最长的是AB，最短的是AD．应选C．]3．如下图，四边形OABC是上底为1，下底为3，底角为45°的等腰梯形，由斜二测画法画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，那么梯形O′A′B′C′的高为()A．eq\f(\r(2),4)B．eq\f(\r(2),3)C．eq\f(\r(2),2)