第6课时正余弦定理（解析版）

第6课时正、余弦定理编写：廖云波【回归教材】1.基本定理公式（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式；；.常见变形(1)，，；(2)，，；；；.2.面积公式：（r是三角形内切圆半径）3.解三角形多解问题在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式解的个数一解两解一解一解无解4.【常用结论】（1）边化角，角化边（2）大边对大角大角对大边：（3）合分比：（4）内角和定理：.同理（射影定理）：，.变形：..（5）斜三角形中，（6）在中，内角成等差数列.【典例讲练】题型一利用正、余弦定理解三角形【例1-1】（1）已知，，，求的外接圆半径；（2）若求；（3）若求．【答案】（1）1；（2）；（3）.【详解】（1），由正弦定理得：，所以的外接圆半径；（2）若根据正弦定理可得：，所以，（3）因为由余弦定理可得：，所以【例1-2】△中，角所对的边分别是.(1)求角；(2)若边的中线，求△面积.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）用正弦定理进行边化角得，再用三角恒等变换处理；（2）利用向量，两边平方展开即可得出结果．(1)由题意与正弦定理可得，由，可得.代入整理得：.故，可得.(2)∵，则可得：，故或.（舍去）则△面积.【例1-3】在中，，.（1）请你给出一个值，使该三角形有唯一解；（2）请你给出一个值，使该三角形有两解；（3）请你给出一个值，使该三角形无解.【答案】（1）即可；（2）即可；（3）即可.【解析】【分析】由正弦定理求得，再结合的取值范围或值，确定三角形解答个数，得到答案.【详解】在中，，，由正弦定理，可得，因为，可得.（1）当时，，即，此时由唯一的解；当时，可得，此时有唯一的解，所以时，由唯一的解.（2）当时，由且，此时可能为锐角，也可能为钝角，即角有两解，即当时，此时有两解解.（3）当时，此时，此时无解，即当时，此时无解.归纳总结：【练习1-1】知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，若只有一解，则实数x的取值范围为（）A．B．C．D．或【答案】D【解析】【分析】画出三角形，数形结合分析临界条件再判断即可【详解】如图，，为正三角形，则点在射线上.易得当在时，只有一解，此时；当在或右边时只有一解，此时.故或故选：D【练习1-2】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(1)求角A的大小；(2)若，求cosB的值．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）由正弦定理边角关系可得，再应用二倍角正弦公式化简，即可求角A的大小；（2）应用余弦定理先求出a，再求cosB的值.(1)由正定理得：，而，∴，故，∵，则，则.(2)由余弦定理得，即，解得，∴，则.题型二判断三角形的形状【例2-1】在中，若，则的形状为（）.A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理把题设中的边角关系转化为边的关系，化简后可判断三角形的形状.【详解】由正弦定理和余弦定理可得：即为，化简可得：，故或即，故为等腰三角形或直角三角形.故选：D.【例2-2】在中，角，，的对边分别是，，，已知．（1）求证：，，成等比数列；（2）若，试判断的形状．【答案】（1）证明见解析（2）等边三角形【解析】【分析】(1)利用正弦定理以及因式分解的方法证明即可.(2)利用余弦定理以及(1)中的化简求得即可.【详解】（1）由已知应用正弦定理得,即,由于,则故,,成等比数列．（2）若,则,由（1）知,则,即,所以,故为等边三角形．【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的运用,需要根据题目信息选择合适的定理进行化简分析,属于中等题型.归纳总结：【练习2-1】在中，角，，所对的边分别是，，，且(1)若，，求；(2)若，试判断的形状.【答案】(1)1(2)等边三角形【解析】【分析】（1）先求出角，然后结合已知条件，利用正弦定理求出角A，进而可得角C，从而可得答案；（2）利用余弦定理，结合已知条件可得，则有，从而即可判断的形状.(1)解：在中，由，，得，因为，，所以由正弦定理，可得，即，又，所以，所以，所以；(2)解：因为，所以，又由余弦定理有.所以，即，所以，所以，又，所以，所以是等边三角形.【练习2-2】在中，角、、所对的边分别为、、.若，试判断的形状.【答案】直角三角形或等腰三角形.【解析】根据三角形内角和定理，得到，代入已知等式，展开化简合并，得，最后讨论当时与时，分别对的形状加以判断，可以得到结论.【详解】由，所以，化简得，即，所以或，因为与都为三角形内角，所以或，所以是直角三角形或等腰三角形.题型三面积、范围问题【例3-1】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角B；(2)若为锐角三角形，且，，求的面积．【答案】(1)或；(2)．【解析】【分析】（1）根据正弦定理化简即可；（2）由余弦定理结合化简求解可得，，再根据面积公式求解即可(1)由已知及正弦定理得，∵，∴，∴．又∵，∴或．(2)∵为锐角三角形，∴．由余弦定理，得，解得，∴．∴．【例3-2】已知中，角所对边分别为，已知(1)求角的大小.(2)若为锐角三角形，，求面积的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由正弦定理得解；（2）由正弦定理及三角形面积公式化简，再根据三角函数的性质求解.【详解】解：（1）由正弦定理，得，又因为，故（2）由正弦定理因为为锐角三角形，所以【例3-3】已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．(1)求角B；(2)求面积的取值范围．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用诱导公式、二倍角的正弦公式化简，计算作答.（2）利用正弦定理将a表示为角的函数，再利用三角形面积公式结合三角恒等变换求解作答.(1)在锐角中，由正弦定理及得：，而，则，又，，因此，即，所以.(2)在锐角中，由（1）知，，有，令，则，，由正弦定理得，的面积，由得，，于是得，所以面积的取值范围是.归纳总结：【练习3-1】已知在中，，，，且，则的面积为（）A．B．3C．D．【答案】C【解析】【分析】根据余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可.【详解】因为，，，所以有，解得，或，而已知，所以，因此的面积为，故选：C【练习3-2】在中，角所对的边分别为．在①，②，③这三个条件中选择一个做条件．(1)求角的大小；(2)若，求面积的最大值．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）【答案】(1)条件选择见解析，(2)【解析】【分析】（1）分别选择条件①②③，结合正弦定理和余弦定理，以及余弦的倍角公式，化简求得的值，进而求得的大小；（2）根据余弦定理和基本不等式，求得，结合三角形的面积公式，即可求解.(1)解：选条件①：由，可得，整理得，又由余弦定理得，因为，所以．选条件②：因为，由正弦定理得，即，在中，因为，可得．因为，所以．选条件③：由，可得，在中，因为，所以．因为，所以．(2)解：由，且，根据余弦定理，可得，又由，即，所以，当且仅当时，所以，所以面积取最大值．题型四解斜三角形【例4-1】如图，在圆内接四边形ABCD中，，，，的面积为.(1)求AC；(2)求.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据面积公式可得，再根据余弦定理求解可得；（2）根据内接四边形可得，再根据正弦定理求解即可（1）因为的面积为，所以.又因为，，所以.由余弦定理得，，，所以.（2）因为ABCD为圆内接四边形，且，所以.又，由正弦定理可得，，故.因为，所以，所以.【例4-2】如图，已知在中，M为BC上一点，，且．(1)若，求的值；(2)若AM为的平分线，且，求的面积．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由求得，由可得，结合得，利用正弦定理即可求得答案；（2）由余弦定理求得，根据角平分线性质定理可求得，再求得，由三角形面积公式可得答案.（1）因为，,所以，因为，所以由正弦定理知，即，因为，所以，，在中，．（2）由题意知，设，由余弦定理得，解得或．因为，所以，因为AM为的平分线，所以（h为底边BC的高）所以，故，而由（1）知，所以．归纳总结：【练习4-1】如图，某景区拟开辟一个平面示意图为五边形ABCDE的观光步行道，BE为电瓶车专用道，，，．(1)求BE的长；(2)若，求五边形ABCDE的周长．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）由题设易得，，再在直角△中应用勾股定理求BE的长；（2）利用正弦定理求得且，结合差角正弦公式及同角平方关系求，即可求五边形ABCDE的周长．（1）由，，可得：，，而，故，在直角△中，则.（2）由（1）知：，则，，由且，则，所以.所以五边形ABCDE的周长.【完成课时作业（三十）】【课时作业（三十）】A组础题巩固1．已知的三个内角所对的三条边为，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据，确定三内角的度数，根据正弦定理即可求得答案.【详解】由题意得的三个内角，故，由正弦定理得：,故选：C2．在中，，，，则的面积等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】由正弦定理余弦定理和三角形面积公式求解即可【详解】由可得，又，解得，，又由可得，所以的面积为，故选：D3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为，，，则b=（）A．B．C．4D．【答案】C【解析】【分析】根据三角形的面积求得，再利用余弦定理即可得出答案.【详解】解：因为△ABC的面积为，，所以，所以，所以.故选：C.4．若一个三角形三边长成公差为2的等差数列，且最大角为120°，则这个三角形的面积为（）A．24B．C．D．【答案】D【解析】【分析】设三边长为x，x+2，x+4，利用余弦定理及面积公式即得．【详解】∵最大角为，且三边长成公差为2的等差数列，不妨设三边长为，则由余弦定理可得：解得或（舍去），∴三角形三边长为3,5,7，∴三角形的面积为．故选：D．5．在中，三内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且b＝2，B＝45°．若利用正弦定理解仅有唯一解，则（）A．0＜a≤2B．2＜a≤2C．0＜a≤2或a≥2D．0＜a≤2或a＝2【答案】D【解析】【分析】由正弦定理判断.【详解】解：由正弦定理得：，所以，因为，所以，因为仅有唯一解，所以A，C的值确定，当时，，仅有唯一解，此时，则0＜a≤2，当时，，仅有唯一解，此时，当，且时，有两解，不符合题意，综上：0＜a≤2或．故选：D．6．【多选题】的内角A，，的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则此三角形为等腰三角形C．若，，，则解此三角形必有两解D．若是锐角三角形，则【答案】AD【解析】【分析】由正弦定理可求A，然后可判断A；根据角的范围直接求解可判断B；正弦定理直接求解可判断C；利用诱导公式和正弦函数单调性可判断D.【详解】由正弦定理可知，又，所以，可得，因为，所以，A正确；因为，且角2A，2最多有一个大于，所以由可知，或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；由正弦定理可得，因为，所以，故此三角形有唯一解，C错误；因为是锐角三角形，所以，即，又在上单调递增，所以，同理，所以，D正确.故选：AD7．在△ABC中，，，，则△ABC的外接圆半径为________【答案】##【解析】【分析】运用正弦定理及余弦定理可得解.【详解】根据余弦定理：，得，由正弦定理△ABC的外接圆半径为.故答案为:.8．已知点P在△ABC的边BC上，AP=PC=CA=2，△ABC的面积为，则sin∠PAB=_______.【答案】【解析】【分析】根据△ABC的面积为可求BC=5，进而在中可求,然后在△ABP中，由正弦定理即可求解.【详解】∵AC=PC=AP=2，∴△APC为等边三角形，由，得BC=5，则BP=5-2=3，作AD⊥BC交BC于D，在等边△APC中，，则BD=BP+PD=3+1=4，在中，，在△ABP中，由正弦定理得：∴故答案为:9．我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．【答案】.【解析】【分析】根据题中所给的公式代值解出．【详解】因为，所以．故答案为：.10．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．(1)求的面积；(2)若，求b．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.（1）由题意得，则，即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，，则；（2）由正弦定理得：，则，则，.11．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)证明：【答案】(1)；(2)证明见解析．【解析】【分析】（1）根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．（2）由可得，，再由正弦定理可得，，然后根据余弦定理可知，，化简得：，故原等式成立．12．已知分别为的内角所对的边，且(1)求角的大小；(2)若，求面积的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）由正弦定理化角为边，再利用余弦定理及特殊角的三角函数即得；（2）由余弦定理表示出关系，再由基本不等式得出的最大值，从而可得面积最大值；或利用正弦定理边角互化，然后利用三角恒等变换及三角函数的性质即得．（1）在中，由题意及正弦定理得，整理得，由余弦定理得，因为，所以；（2）方法一：由（1）知，，又，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以；方法二：由（1）知，，又，所以由正弦定理，知，所以，所以，又因为，所以，因为，所以，所以当，即时，的面积取得最大值，最大值为.B组挑战自我1．锐角中，，则边c的可能取值为（）A．2B．C．3D．【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，求出B的范围，