数学培优之圆(九年级)-第5讲-圆中比例线段

第5

圆中比例段知点纳角在圆中能灵活转化为寻找构造相似三角形到比例线段提供了可能而幂定理实质上反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段相关。相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理。1、相交弦定理如图①，若圆内两条弦、交点，则2、切割线定理

PD

。如图②，若从圆外一点

P

引圆的切线

TP

，和割线

PAB

，则

PT

PB

。3、割线定理如图③，若从圆外一点引圆的两条割线、，则PAPCAT

。DC

O

DB

A

O

B

CA

O

B例精【1如图已是的直径弦与AB交点过作圆的切线与CD的延长线交于点

F

，若

DE

34

CE

，

5

,

D

点为

EF

的中点，则

AB

_______.(全国初中数学联赛题)思点

设法求出

，

的长，可考虑应用相交弦定理、勾股定理等。【2如图，在平行四边形ABCD中，过、B、C三的圆交于点，与D相切，若

4,则DE的为（1

A.3B.4C.

D.5（全国初中数学联赛题）思点

连

AC

、

CE

,由条件可得许多等线段，为切割线定理的运用创造条件。【3】如图已知

是的接圆，BC是

的直径，D是弧AC的中点BD交

AC

于点

E

。（）证：

2DB

;（）

5,,求DE的长。2（泸州市中考题）思点

对于（需明

∽

BDA

。【4

图知

AC

为

的直径且

是

的一条弦，

直线交直线于D，

DBDC.DP3（）证：直线是的线；（）cosBCA的。（呼和浩特市中考题）思点对于1当线，为已知条件的运用创设条件；对于将问题转化求线段的比值。【5如图，是半圆O的直径D是弧中，四边形的角线AC、交于点。（）证：

ACCD

；2

（）

AECD求AB和径的。（天津市竞赛题）分

由条件

ABDBDC

延长BA、CD交一点，向形外作辅助线，为构造相似三角形、切割线定理的运用创造条件。寻不性【6如图，

是半圆O的径，

2,

射线

AM

、

为半圆的切。在

AM

上取一点

D

，连接

BD

交半圆于点

C

，连接

AC

。过O点

BC

的垂线

OE

，垂足为点

E

，与相交于点F,过D点作圆O的线DP，切为P，BN相交于点Q。（）证：∽；（）证：当D在

AM

上移动时（点外

始终是线段

BF

的中点。（潍坊市中考题）思点

对于（要明

FQ

12

BF

不妨从比例线段入手，能发现图中多对相似三角形是证题的关键。基练1、如图，已知、B、C、D是上四个点，

AC,AD交于E，DE则的为___________.黑江省中考题2、如图，

PAB

、

PCD

为

的两条割线，若

则AC

____________.3

3、如图，AB、CD的两条线它相交于点P，连接、，已知4,

那么

的长是__________.4、如图，在

ABC

中，

90

以

为直径作圆与斜边交于点

P

,则

的长为（A.6.4B.3.2C.3.6D.85、如图已知为的径切于，CD切D交的长线于。若

ED

则

的长为（A.2B.3C.3.5D.46、如图，

与

的斜边

切于点

D

，与直角边

AC

交于点

E

，且

DE

。已知

2,AC2,BC

则

的半径是（A.3B.4C.

43

D.

237、如图在锐角

ABC

中，

AC

是最短边以

AC

中点

为4

圆心，长半径作于EO作OD//BC交于D点AEAD、

。（）证：

D

是弧

的中点；（）证：

DAOBAD

；（）

1CEF

，且

AC

求

的长。（桂林市中考题）8、如图在内接四边形

中，

为

BCA

的外角的平分线，

F

为弧

AD

上一点，BC,

延长

DF

与

的延长线交于

E

。（）证：ABD为腰三角形；（）证：

ACAF

.(黄冈市中考题)9、如图，已知AC的直径，弦CB//OP，线交直线AC于,.（）证：直线是的线；（）究线段与之的数量关系，并加以证明；

连接OP，（）

OPA

的值。（襄阳市中考题）能拓10、图已

中，

AC

以

为圆心，

为半径作圆交

的延长线于点则AD的为__________.（太原市竞赛题）5

11、图，为的直径，若

BD4,

则

___________.（第19届苏省竞赛题）12、图，

P

是半圆

的直径

BC

延长线上一点，

切半圆于点A，BC于H，PAPC(a2)

，则PH

__________.A.

1aB.D.a213、图ABC

是

的内接正三角形

EF

经过

BC

的

中点D，//AB，若AB则的（）A.

.

32

.114、图，已知

为

的直径，

C

为

上一点，延长

BC

至

D

，使

BC

，CEAD

于

E

，

交

于

F

，

AF

交

CE

于

P

，求证：

.（太原市竞赛题）15、图知中AC边直径的交BC点D，在劣弧AD上一点E使EBC，长BE依次交AC于G，于。（）证：

ACBH

；6

（）

45

的直径等于10，求

的长。（宜宾市中考题）16、图，

、

是

的两条切线，

是一条割线，

D

是

与

PC

的交点，若求DE的长。综创17、图，圆中的三条线

PP1

、

QQ1

、

1

两两相交，交点分别为

A

、

B

、

C

，已知APBQCRBP1

，求证：

ABC

是等边三角形。（北京市竞赛题）7

18、已如以形的角线AC的点O圆心OA为半径作，经过B、两点过点作BK