中考复习专项训练：新定义问题

中考复习专项训练：新定义问题1.定义：平面直角坐标系xOy中，若点M绕原点顺时针旋转90°，恰好落在函数图象W上，则称点M为函数图象W的“直旋点”.例如，点(−13,1(1)在①(3,0)，②(−1,0)，③(0,3)三点中，是一次函数y=−13x+1图象的“直旋点”的有______((2)若点N(3,1)为反比例函数y=kx图象的“直旋点”，求(3)二次函数y=−x2+2x+3与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，点D是二次函数y=−x2

2.在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y)和Q(x,y′

)，如果y′=y(x≥0),−y(x<0),那么称点Q为点P的“共振点”.例如：点(5,6)的“共振点”为点(5,6)，点(−5,6)的“共振点”为点(−5,−6)(1)在点A(0,0)，B(1,1)，C(−2,−5)，D(−1,3)中，点________(填字母)的“共振点”在函数y=2x−1的图象上．(2)已知直线l：y=−x+4．①直线l上所有点的“共振点”构成的图象的表达式为________________．②若点M在①中“共振点”构成的图象上，且点M的纵坐标yM满足−6<yM≤2，求点3.若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点在一次函数y=kx+t(k≠0)的图象上，则称y=ax2+bx+c(a≠0)为y=kx+t(k≠0)的伴随函数，如：y=x2+1是y=x+1的伴随函数．

(1)若函数y=x2(2)若函数y1=mx−3(m≠0)的伴随函数y2=x2+2x+n

4.定义：若函数G1的图象上至少存在一个点，该点关于x轴的对称点落在函数G2的图象上，则称函数G1，G2为关联函数，这两个点称为函数G1，G2的一对关联点.例如，函数y=2x与函数y=x−3为关联函数，点(1)判断函数y=x+2与函数y=−3(2)若对于任意实数k，函数y=2x+b与始终为关联函数，求b的值；(3)若函数与函数为常数)为关联函数，且只存在一对关联点，求的取值范围．

5.定义：如果在给定的自变量取值范围内，函数既有最大值，又有最小值，则称该函数在此范围内有界，函数的最大值与最小值的差叫做该函数在此范围内的界值．(1)当−2≤x≤1时，下列函数有界的是

(只要填序号); ①y=2x−1; ②y=−2(2)当m≤x≤m+2时，一次函数y=(k+1)x−2的界值不大于2，求k的取值范围;(3)当a≤x≤a+2时，二次函数y=x2+2ax−3的界值为96.我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线x=n(n为常数)对称，则把该函数称之为“X(n)函数”．(1)在下列关于x的函数中，是“X(n)函数”的是__(填序号)；①y=6x；②y=|4x|；(2)若关于x的函数y=|x−ℎ|(ℎ为常数)是“X(3)函数”，与y=mx(m为常数，m>0)相交于AxA,yA、Bx(3)若关于x的“X(n)函数”y=ax2+bx+4(a,b为常数)经过点(−1,1)，且n=1，当t−1≤x≤t时，函数的最大值为y1，最小值为y2

7.定义：在平面直角坐标系中，点M(x1,y1)，N(x2,y2)，若x1−x2=y1−y2，则称点M，N(1)判断反比例函数y=2x(x<0)的图象上是否存在点A的正等距点?若存在，求出该点的坐标(2)若与点A的正等距等于4的点恰好落在直线y=kx+2上，求k的值;(3)若抛物线y=−14(x−a)(x−a−6)上存在点A的正等距点B，且点A，B的正等距不超过1

8.对于平面直角坐标系xOy中的图形W和点P，给出如下定义：F为图形W上任意一点，将P，F两点间距离的最小值记为m，最大值记为M，称M与m的差为点P到图形W的“差距离”，记作d(P,W)，即d(P,W)=M−m，已知点A(2,1)，B(−2,1)

(1)求d(O,AB)；

(2)点C为直线y=1上的一个动点，当d(C,AB)=1时，点C的横坐标是______；

(3)点D为函数y=x+b(−2≤x≤2)图象上的任意一点，当d(D,AB)≤2时，直接写出b的取值范围．

9.定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函数值互为相反数：当x<0时，它们对应的函数值相等，我们称这两个函数互为相关函数，例如：正比例函数y=x，它的相关函数为y=−x(x≥0)x(x<0)(1)已知点A(−1,3)在一次函数y=ax−2的相关函数的图象上，求a的值；(2)已知二次函数y=−2x①当点B(m,−4)在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；②当−2≤x≤3时，求函数y=−2x

10.规定：P(x1,y1)，Q(x2(1)函数①y1=|x|，②y2=2x+1，③(2)若点C(−5,y1)，D(1,y2)为二次函数y=ax2+bx+c(3)若点F(1,m)，G(3,n)在函数y=ax2+bx+c(a>0)图象上，且m<n≤c，设该函数图象上点F的“平行点”H的横坐标为x

11.我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”.根据该约定，完成下列各题．

(1)若点A(1,r)与点B(s,4)是关于x的“T函数”y=−4x(x<0)tx2(x≥0,t≠0,t是常数)的图象上的一对“T点”，则r=______，s=______，t=______(将正确答案填在相应的横线上)；

(2)关于x的函数y=kx+p(k,p是常数)是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”如果不是，请说明理由；

(3)若关于x的“T函数”y=ax2+bx+c(a>0，且a，b，c是常数)经过坐标原点O，且与直线l：y=mx+n(m≠0,n>0，且m，n是常数)交于M(x1,y1)，N(x2,y2)两点，当x1，x2满足(1−x1(1)在①(1,3)；②(0,1)；③(−14,12)三点中，是一次函数y=2x+1图象的“1(2)若y关于x的反比例函数y=kx(x>0)图象的“2(3)若y关于x的二次函数y=−x2+2nx−n2

13.在平面直角坐标系xOy中，对于点P，C，Q(点P与点C不重合)，给出如下定义：若∠PCQ=90°，且CQCP=1k，则称点Q为点P关于点C的“k−关联点”．

已知点A(3,0)，点，⊙O的半径为r．

(1)①在点D(0,3)，E(0,−1.5)，F(3,3)中，是点A关于点O的“1−关联点”的为______；

②点B关于点O的“3−关联点”的坐标为______；

(2)点P为线段AB上的任意一点，点C为线段OB上任意一点(不与点B重合)．

①若⊙O上存在点P关于点O的“3−关联点”，直接写出r的最大值及最小值；

②当r=321时，⊙O上不存在点P关于点C的“k−关联点”，直接写出k的取值范围：______．14.对于二次函数给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)的图象顶点为P(不与坐标原点重合)，以OP为边构造正方形OPMN，则称正方形OPMN为二次函数y=ax2+bx+c的关联正方形，称二次函数y=ax2+bx+c为正方形OPMN的关联二次函数．若关联正方形的顶点落在二次函数图象上，则称此点为伴随点．

(1)如图，直接写出二次函数y=(x+1)2−2的关联正方形OPMN顶点N的坐标______，并验证点N是否为伴随点______(填“是“或“否“)：

(2)当二次函数y=−x2+4x+c的关联正方形OPMN的顶点P与N位于x轴的两侧时，请解答下列问题：

①若关联正方形OPMN的顶点M、N在x轴的异侧时，求c的取值范围：

②当关联正方形OPMN的顶点M是伴随点时，求关联函数y=−x2+4x+c

15.定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n(n≥0)的点叫做这个函数图象的“n阶方点”.例如，点(13,13)是函数y=x图象的“12阶方点”；点(2,1)是函数y=2x图象的“2阶方点”．

(1)在①(−2,−12)；②(−1,−1)；③(1,1)三点中，是反比例函数y=1x图象的“1阶方点”的有______(填序号)；

(2)若y关于x的一次函数y=ax−3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；

(3)若16.问题情境：

在平面直角坐标系xOy中有不重合的两点A(x1,y1)和点B(x2,y2)，小明在学习中发现，若x1=x2，则AB/​/y轴，且线段AB的长度为|y1−y2|；若y1=y2，则AB/​/x轴，且线段AB的长度为|x1−x2|；

【应用】

(1)若点A(−1,1)，B(2,1)，则AB/​/x轴，AB的长度为______；

(2)若点C(1,0)，CD//y轴，且CD=2，则点D的坐标为______．

【拓展】

我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点M(x1,y1)，N(x2,y2)之间的折线距离为d(M,N)=|x1−x2|+|y1−y2|.例如：图1中，点M(−1,1)17.定义：对于一次函数y1=ax+b、y2=cx+d，我们称函数y=m(ax+b)+n(cx+d)(ma+nc≠0)为函数y1、y2的“组合函数”．

(1)若m=3，n=1，试判断函数y=5x+2是否为函数y1=x+1、y2=2x−1的“组合函数”，并说明理由；

(2)设函数y1=x−p−2与y2=−x+3p的图象相交于点P．

①若m+n>1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，求p的取值范围；

②若p≠1，函数y1、y2的“组合函数”图象经过点P