中考数学二轮复习热点专题突破训练：因式分解

因式分解1．如果一个正整数能够表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．例如：因为4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，故4，12，20都是神秘数．（1）写出一个除4，12，20之外的“神秘数”：；（2）设两个连续偶数为2k和2k+2（k为非负整数），则由这两个连续偶数构造的“神秘数”能够被4整除吗？为什么？（3）两个相邻的“神秘数”之差是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．2．阅读材料：在代数式中，将一个多项式添上某些项，使添项后的多项式中的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．如果我们能将多项式通过配方，使其成为A2﹣B2的形式，那么继续利用平方差公式就能把这个多项式因式分解．例如，分解因式：x4+4．解：原式＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2+2x）（x2+2﹣2x）即原式＝（x2+2+2x）（x2+2﹣2x）请按照阅读材料提供的方法，解决下列问题．分解因式：（1）4x4+1；（2）x4+x2+1．3．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图①可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请回答下列问题：（1）写出图②中所表示的数学等式；（2）猜测（a+b+c+d）2＝．（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ca＝48，求a2+b2+c2的值；（4）在（3）的条件下，若a、b、c分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由．4．【知识再现】在研究平方差公式时，我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（如图1），把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a，b的等式①；【知识迁移】在边长为a的正方体上挖去一个边长为b的小正方体后，余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4）．根据它们的体积关系得到关于a，b的等式为②a3﹣b3＝（结果写成整式的积的形式）【知识运用】已知a﹣b＝4，ab＝3，求a3﹣b3的值．5．若一个四位数M的个位数字与十位数字的和与它们的差之积恰好是M去掉个位数字与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“和差数”．例如：M＝1514，∵（4+1）（4﹣1）＝15，∴1514是“和差数”．又如：M＝2526，∵（6+2）（6﹣2）＝32≠25，∴2526不是“和差数”．（1）判断2022，2046是否是“和差数”，并说明理由；（2）一个“和差数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记G(M)=dc，且P(M)=Mc+d．当G（M），P（6．对任意一个两位数m，如果m等于两个正整数的平方和，那么称这个两位数m为“平方和数”，若m＝a2+b2（a、b为正整数），记A（m）＝ab．例如：29＝22+52，29就是一个“平方和数”，则A（29）＝2×5＝10．（1）判断61是否是“平方和数”，若是，请计算A（61）的值；若不是，请说明理由；（2）若T是一个“平方和数”，且A（T）=T−92，求7．材料1：对于一个四位自然数A，如果A满足各数位上的数字均不为0，它的百位上的数字比千位上的数字大2，个位上的数字比十位上的数字大2，则称A为“阶梯数”．对于一个“阶梯数”A，把A的千位数字放在最右边，得到一个新的四位数B，规定：G(A)=|A−B|例如：A＝1324，因为3﹣1＝2，4﹣2＝2，所以1324是“阶梯数”；将A的千位数字1放在最右边，得到B=3241，G(1324)=|1324−3241|材料2：对于任意四位自然数N=abcd（a，b，c，d均为整数），规定：M（N）=根据以上材料，解决下列问题：（1）请判断3512、6846是不是“阶梯数”，请说明理由；如果是，请求出对应的G（A）的值；（2）已知C、D是“阶梯数”，其中C的千位数字为n（n是整数且1≤n≤7），十位数字为5；D的千位数字为4，个位数字为m（m是整数且5≤m≤9）．若M（C）+M（D）能被11整除且n＜m，求满足条件的G（D）的最大值．8．若一个四位正整数abcd若满足：a+c＝9或bd＝9，且各个数位上的数字都不为0，我们就称该数是“九天数”，如对于四位数3567，∵3+6＝9，∴3567是“九天数”，对于四位数2353，∵3×3＝9，∴2353是“九天数”，对于四位数2345，∵2+4≠9且3×5≠9，∴2345不是“九天数”．（1）判断2376，6425是不是“九天数”，并说明理由；（2）若一个“九天数”满足千位数字与百位数字的平方差是十位数字的平方，且这个“九天数”能被3整除．请求出所有满足条件的“九天数”．9．若一个四位数M的千位数字与个位数字之差为2，百位数字与十位数字之和为8，则这个四位数M为“二八数”；若四位数M的千位数字和百位数字交换顺序，十位数字和个位数字交换顺序得到一个新的四位数字N，此时称N是M的“友好数”，并规定F(M)=M−N9．例如：M＝7265，因为7﹣5＝2，2+6＝8，所以7265是“二八数”，则它的“友好数”（1）请判断3531，4713是否是“二八数”，并说明理由；如果是，请计算F（M）；（2）一个“二八数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记D(M)=a+b10，E(M)=F(M)3，当D（M），E（10．【阅读理解】一般地，如果正整数a，b，c满足a2+b2＝c2，那么a，b，c称为一组“商高数”．【问题解决】：（1）下列数组：①7，3，4；②3，4，6；③5，12，13，其中是“商高数”的有（直接填序号）；（2）“商高数”有很多的构造方法．求证：如果m，n为任意正整数，且m＞n，那么m2+n2，m2﹣n2，2mn一定是“商高数”；（3）：①若按（2）中的方法构造出的一组“商高数”中最大的数与最小的数的差为32，求n的值；②若按（2）中的方法构造出的一组“商高数”中最大数是2p2+10p+13（p是任意正整数），则这组“商高数”中的最小数为（用含p的代数式表示）．11．已知一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数M=abcd(a＞c)，以它的百位数字作为十位，个位数字作为个位，组成一个新的两位数s，若s等于M的千位数字与十位数字的平方差，则称这个数M为“平方差数”，将它的百位数字和千位数字组成两位数ba，个位数字和十位数字组成两位数dc，并记例如：6237是“平方差数”，因为62﹣32＝27，所以6237是“平方差数”；此时T（6237）＝26+73＝99．又如：5135不是“平方差数”，因为52﹣32＝16≠15，所以5135不是“平方差数”．（1）判断7425是否是“平方差数”？并说明理由；（2）若M=abcd是“平方差数”，且T（M）比M的个位数字的9倍大30，求所有满足条件的“平方差数”M12．阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题．例如：求代数式：x2﹣12x+2020的最小值．解：原式＝x2﹣12x+62﹣62+2020＝（x﹣6）2+1984∴当x＝6时，（x﹣6）2的值最小，原式最小值为1984．例如：分解因式：x2﹣120x+3456解：原式＝x2﹣2×60x+602﹣602+3456＝（x﹣60）2﹣144＝（x﹣60）2﹣122＝（x﹣60+12）（x﹣60﹣12）＝（x﹣48）（x﹣72）（1）分解因式：x2+6x﹣7＝；（2）利用配方法求代数式﹣x2+10x+33的最大值；（3）试说明：m、n取任何实数时，代数式9m2+8n2+12mn﹣24n+45的值总大于8．13．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料：阅读材料：若m2﹣2mm+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知a2+4ab+5b2+6b+9＝0，求a、b的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，求c的值．14．我们常用的多项式分解因式方法有：提公因式法，运用公式法．当不能直接运用提取公因式法或公式法时，我们可以将某些项通过适当地结合（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如：mx+nx+my+ny＝（mx+nx）+（my+ny）＝x（m+n）+y（m+n）＝（m+n）（x+y），根据上面的方法因式分解：（1）m3﹣mn2﹣m2n+n3；（2）已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2﹣ab+c2＝2ac﹣bc，判断△ABC的形状并说明理由．15．我们把“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”．（1）通过如图①中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式：；（2）“面积法”还可以作为几何证明的工具，当两个全等的直角三角形摆放成如图②所示时，其中∠DAB＝90°，借助图中辅助线用两种不同方法表示四边形ADCB的面积，易得：S△ACD+S△ABC＝；S△ADB+S△DCB＝．构建等式整理可得：a2+b2＝c2；（3）如图③，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，P为边BC上的任一点，过点P作PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分别为M、N，连接AP，利用“面积法”求PM+PN的值．

参考答案1．（1）∵82﹣62＝28，∴28是神秘数，故答案为28；（2）这两个连续偶数构造的“神秘数”能够被4整除，理由：∵（2k+2）2﹣（2k）2＝（4k+2）•2＝4（2k+1），∴这两个连续偶数构造的“神秘数”能够被4整除；（3）两个相邻的“神秘数”之差为定值，理由：因为：4[2（k+1）+1]﹣4（2k+1）＝8，所以两个相邻的“神秘数”之差是定值．2．（1）4x4+1＝4x4+4x2+1﹣4x2＝（2x2+1）2﹣4x2＝（2x2+1+2x）（2x2+1﹣2x）；（2）x4+x2+1＝x4+2x2+1﹣x2＝（x2+1）2﹣x2＝（x2+1+x）（x2+1﹣x）．3．（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）（a+b+c+d）2＝a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd，故答案为：a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd；（3）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴122＝2×48+（a2+b2+c2），∴a2+b2+c2＝144﹣96＝48；（4）∵a2+b2+c2＝48，ab+ac+bc＝48，∴a2+b2+c2＝ab+ac+bc，即a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝0，∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0，∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，（a﹣c）2≥0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，a﹣c＝0，∴a＝b＝c，∴该三角形是等边三角形．4．【知识再现】①a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；【知识迁移】②a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），故答案为：（a﹣b）（a2+ab+b2）；【知识运用】∵a﹣b＝4，ab＝3，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝16+6＝22，∴a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）＝4×（22+3）＝100．5．（1）∵（2+2）×（2﹣2）＝0≠20，∴2022不是“和差数”，∵（6+4）×（6﹣4）＝20，∴2046是“和差数”；（2）∵M是“和差数”，∴（d+c）（d﹣c）＝10a+b，∴100（d+c）（d﹣c）＝1000a+100b，∴M＝1000a+100b+10c+d＝100（d+c）（d﹣c）+10c+d，∴P(M)=Mc+d=100(d+c)(d−c)+10c+dc+d=100（∵P（M）是整数，∴9cc+d由G（M）=dc是整数可知d≥设d＝mc（m为整数且m≠0）可得：9cc+d∴91+m∴m＝2或m＝8，当m＝2时，①若c＝1，则d＝2，此时（d+c）（d﹣c）＜10，不符合题意；②若c＝2，则d＝4，a＝1，b＝2，此时M＝1224；③若c＝3，则d＝6，a＝2，b＝7，此时M＝2736；④若c＝4，则d＝8，a＝4，b＝8，此时M＝4848；⑤若c＝5，则d＝10，此时不符合题意；当m＝8时，若c＝1，则d＝8，a＝6，b＝3，此时M＝6318；若c＝2，则d＝16，此时不符合题意；综上所述，满足条件的M为1224或2736或4848或6318．6．（1）61是“平方和数”．∵61＝52+62，∴A（61）＝5×6＝30；（2）设T＝a2+b2，则A（T）＝ab，∵A（T）=T−9∴ab=a∴2ab＝a2+b2﹣9，∴a2﹣2ab+b2＝9，∴（a﹣b）2＝9，∴a﹣b＝±3，即a＝b+3或b＝a+3，∵a、b为正整数，T为两位数，∴当a＝1，b＝4或a＝4，b＝1时，T＝17；当a＝2，b＝5或a＝5，b＝2时，T＝29；当a＝3，b＝6或a＝6，b＝3时，T＝45；当a＝4，b＝7或a＝7，b＝4时，T＝65；当a＝5，b＝8或a＝8，b＝5时，T＝89；综上，T的值为：17或29或45或65或89．7．（1）A＝3512：因为2﹣1＝1≠2，所以3512不是“阶梯数”；A＝6846：因为8﹣6＝2，6﹣4＝2，所以6846是“阶梯数”，G（M）=|6846−8466|（2）∵C的千位数字为n（n是整数且1≤n≤7），十位数字为5；D的千位数字为4，个位数字为m，∴C的百位数字为n+2，个位数字为7，D的百位数字为6，十位数字为m﹣2，∴M（C）+M（D）＝10n+7+10（n+2）+5+40+m+60+m﹣2＝20n+2m+130，由题意得：20n+2m+130是11的倍数，且n是整数且1≤n≤7，m是整数且5≤m≤9，n＜m，∴当m＝5时，n＝4，此时D＝4635，G（D）＝191，当m＝6时，n＝5，此时D＝4646，G（D）＝202，当m＝7时，n＝6，此时D＝4657，G（D）＝213，当m＝8时，n＝7，此时D＝4668，G（D）＝224，∴G（D）的最大值为：224．8．（1）2376是“九天数”，6425不是“九天数”．理由：∵2+7＝9，∴2376是“九天数”；∵6+2＝8≠9且4×5＝20≠9，∴6425不是“九天数”；（2）由题意得：a2﹣b2＝c2，当a+c＝9时，a2﹣b2＝（9﹣a）2，∴18a﹣81＝b2＞0，∴a＝5，b＝3，∵“九天数”能被3整除，∴a2﹣b2＝c2，满足条件的“九天数”为：5343或5346或5349，当bd＝9时，a2﹣b2＝c2，∴a＝5，c＝4，b＝3，d＝3，∴满足条件的“九天数”为5343，∴所有满足条件的“九天数”为5343或5346或5349或5343．9．（1）∵3﹣1＝2，5+3＝8，∴3531是“二八数”，3531的“友好数“是5313，∴F（3531）=3531−5313∵4﹣3＝1≠2，∴4713不是“二八数”；（2）由题意得：d＝a﹣2，c＝8﹣b，∴M＝1000a+100b+10（8﹣b）+a﹣2＝1001a+90b+78，N＝1000b+100a+10（a﹣2）+8﹣b＝110a+999b﹣12，∴F（M）＝99a﹣101b+10，D（M）=a+b10，E（M）＝33a由题意得：a+b为10的倍数，101b﹣10是3的倍数，∴当a＝8时，b＝2，此时；M＝8266，当a＝5时，b＝5，此时；M＝5532，当a＝2时，b＝8，此时；M＝2800，10．（1）①∵32+42≠72，∴7，3，4不是“商高数”，②∵32+42≠62，∴6，3，4不是“商高数”，③∵52+122＝132，∴5，12，13是“商高数”，故答案为：③；（2）（m2﹣n2）2+（2nn）2＝（m2+n2）2，∴m2+n2，m2﹣n2，2mn一定是“商高数；（3）①∵m2+n2＞m2﹣n2，m2+n2＞2mn，∴当（m2+n2）﹣（m2﹣n2）＝32，解得：n＝4，当（m2+n2）﹣2mn＝32，解得：m﹣n＝42（不合题意，舍去）；②∵2p2+10p+13＝p2+4p+4+p2+6p+9＝（p+2）2+（p+3）2，∵p是任意正整数，∴p+2＜p+3，故答案为：p+2．11．（1）7254是“平方差数”．理由如下：∵72﹣52＝24，∴7254是“平方差数”．（2）∵M=abcd∴a2﹣c2＝10b+d，T（M）＝10b+a+10d+c，∵T（M）比M的个位数字的9倍大30，∴10b+a+10d+c＝9d+30，即a+c+10b+d＝30，∴a+c+a2﹣c2＝30，即（a+c）（a﹣c+1）＝30．∵a+c＞0，a﹣c+1＞1且均为30的正因数，∴将3（0分）解为2×15或3×10或5×6．①（a+c）（a﹣c+1）＝2×15，解得a=8c=7∵82﹣72＝15，∴M＝8175；②（a+c）（a﹣c+1）＝3×10，解得a=6c=4∵62﹣42＝20，∴M＝6240（舍）；③（a+c）（a﹣c+1）＝5×6，解得a=5c=0或a=1∵52﹣02＝25，52﹣12＝24，∴M＝5205（舍）或5214．∴M＝8175或5214．12．（1）x2+6x﹣7＝（x﹣1）（x+7）；故答案为：（x﹣1）（x+7）；（2）﹣x2+10x+33＝﹣（x2﹣10x）+33＝﹣（x2﹣2×5x+52﹣52）+