高中数学全称量词与存在量词课件新人教A选修

第一章常用逻辑用语1．4全称量词与存在量词1．4.1全称量词1．4.2存在量词1.理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的概念．2．能准确地使用全称量词和存在量词符号(即∀，∃)来表述相关的数学内容．3．掌握判断全称命题和特称命题的真假的基本原则和方法.新知视界1．全称量词和全称命题(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)全称命题：①定义：含有全称量词的命题，叫做全称命题．②一般形式：全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．其中M为给定的集合，p(x)是一个关于x的命题．2．存在量词和特称命题(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并且符号“∃”表示．(2)特称命题：①定义：含有存在量词的命题，叫做特称命题．②一般形式：特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．尝试应用1．“a∥α，则a平行于α内任一条直线”是(

)A．真命题B．全称命题C．特称命题D．不含量词的命题解析：命题中含有“任一”全称量词，故为全称命题．答案：B解析：如x＝0时，x2＝0，满足x2≤0.答案：B解析：当x＝0时，0∈N，但0<1.故“∀x∈N，x≥1”是假命题．答案：B4．下列命题：①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③正四棱锥的侧棱长相等；④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形；⑥存在三角形其内角和大于180°.既是全称命题又是真命题的是________，既是特称命题又是真命题的是________(填上所有满足要求的序号)．解析笛：①是败全称筛命题贡，是矩真命带题；②是欢全称庸命题逃，是鸟真命恳题；类③是隙全称赵命题纲，即野：任坊意正抱四棱爹锥的貌侧棱渠长相桨等，柏是真值命题叔；④绒含存菜在量早词“哭有的毛”，脖是特梦称命锯题，郑是真酒命题睛；⑤考是特烦称命壮题，傅是真么命题菌；⑥役是特吐称命职题，凉是假川命题就，因界为任誉意三黄角形碗内角因和为18州0°钉.答案防：①②剑③领④⑤5．用花符号“∀”或“∃”表示液下面的的命枕题，锐并判浮断真颈假：(1宅)实数叶的平让方大邪于或封等于0；(2钉)存在至一对萄实数(x，y)，使2x－y＋1<于0成立撒；(3宵)勾股萍定理营．解：(1组)是全茎称命印题，酿隐藏却了全木称量械词“所有斩的”．∀x∈R，x2≥0.是真辟命题丹．(2神)∃x∈R，y∈R,垒2x－y＋1<子0，是岂真命葡题．如x＝0，y＝2时：2x－y＋1＝0－2＋1＝－1<乎0成立灵．(3气)这是餐全称辽命题公，所涉有直捆角三姐角形江都满艺足勾柔股定庭理．即∀Rt△AB商C，a，b为直吃角边雅长，c为斜大边长赶，a2＋b2＝c2.是真浅命题仪．[分析]首先牺判断克命题侮中含才有哪廉种量棵词，倦进而虾确定尊是哪尿种命赏题，挥然后胆正面芒推理校证明位或举锄反例圣说明逢命题士的真鸡假．[点评]1.要判丽定命坡题是贝全称六命题营还是轻特称振命题银，主匹要方抵法是载看命除题中悲是否己含有具全称宝量词梨和存域在量基词，削要注辫意的煤是有葵些全哑称命吐题的专叙述丛中并袜不含渠有全橡称量播词，狠这时件我们壳就要笑根据视命题恢涉及烦的意猾义去汽判断定．2．要川判定涌一个底全称泊命题们是真知命题享，必忙须对赠限定烦集合M中的楚每个腐元素x验证p(x)成立搁；但洁要判粮定全量称命胖题是旬假命石题，炭却只潮要能幕举出罚集合M中的姻一个x0，使状得p(x0)不成因立即封可(这就晴是通践常所致说的“举出区一个滔反例”)．3．要战判定离一个羡特称庆命题欣是真门命题沸，只榜要在坐限定碍集合M中，于能找每到一针个x0使p(x0)成立带即可胳；否使则，搁这个撇特称撑命题设就是墙假命阅题．迁移笋体验1指出盈下列裂命题幼是全外称命喘题，跑还是枝特称目命题范，并斑判断送它们级的真城假．(1赠)对任醉意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成仔立．(2强)至少译有一师个整缘瑞数，蛛它既伞能被2整除付，又邀能被5整除唯．(3滔)对数蹲函数眨都是荐单调层函数妇．(4啄)∀x∈R，x2－3x＋2＝0.解：(1顺)全称叹命题供，因埋为x＝0时，x2＋x＋1＝1≠0，故德是假笨命题壶．(2当)特称哄命题腥，是圈真命拐题，悦比如10既能迷被2整除翻，又秒能被5整除微．(3债)全称厕命题休，是辫真命烧题．(4昏)全称余命题白，是串假命钢题，激因为钟只有x＝2或x＝1时满妹足．类型裂二酒全摔称命创题与覆特称普命题孩的表参述[例2](1霞)设集彩合S＝{四边磨形}，p(x)：内乎角和考为36逼0°历.试用纪不同傲的表沾述写翠出全骂称命朱题“∀x∈S，p(x)”．(2副)设q(x)：x2＝x，试俗用不派同的秩表达创方法截写出框特称纺命题“∃x∈R，q(x)”．[分析]由题令目可够获取荣以下逝主要洗信息客：①第(1屠)小题郊是全辩称命缠题，训第(2们)小题洲是特热称命款题；②要鹊求分间别用村不同厉的方彩式表扁示各骄自的孙命题功．解答大本题柳应先沸分清山是全竹称命拥题还杜是特原称命途题，过再选讽取合道适的角量词事用不狭同的帝方式爷来表叨述．[解](1引)依题押意可绢得以携下几啊种不渡同的定表述喉：对所编有的菜四边浇形x，x的内祸角和密为36石0°；对一阻切四滔边形x，x的内伍角和瓶为36溜0°；每一色个四谎边形x的内多角和毫为36稳0°；任一岛个四桨边形x的内驼角和弊为36挽0°；凡是钩四边戚形x，它碧的内命角和揪为36诸0°酿.迁移亿体验2用全伐称量副词或哄存在垒量词河表示药下列召语句逗．(1断)n边形者的内签角和针等于(n－2)海×1有80贫°；(2要)两个膨有理曾数之嫩间，针都有片一个季有理庙数；(3轰)有一凭个实盟数乘禽以任烛意一宴个实广数都甜等于0.解：(1淡)一切n边形市的内粒角和铺都等效于(n－2)搞×1贫80彩°；(2余)任意距两个芦有理古数之肿间，事都有插一个概有理允数；(3忧)存在扰一个岛实数x，它浇乘以稍任意窝一个尝实数谦都等补于0.[分析]由题腾目可誓获取超以下革主要昏信息锤：①四沫个命堆题中泊有两根个全娃称命俱题，枣两个川特称乱命题傲；②要龟求判局断命盾题的蛛真假缠．解扶答本剑题首问先正新确理堤解命宫题的鸟含义爱，再鱼采用稿举反族例等醋方法院给予毁判断峰．[解析]①由于∀x∈R，都划有x2≥0，因而贵有x2＋2≥2>宋0，即x2＋2>羊0.所以构命题“∀x∈R，x2＋2>妻0”是真设命题诊．②由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成腔立．所以意命题“∀x∈N，x4≥1”是假庆命题沙．[答案]①③[点评]1.全称群命题沾的真核假判低断要判娇定一份个全舒称命维题是侮真命贵题，竟必须涂对限夕定集功合M中的例每个脉元素x验证p(x)成立察；但圣要判怠定全陈称命借题是眯假命篮题，净却只效要能太举出谊集合M中的符一个x＝x0，使汤得p(x0)不成洽立即哲可(这就济是通伟常所洒说的“举出赛一个万反例”)．2．特馆称命盒题的锻真假电判断要判漫定一铸个特软称命验题是定真命手题，呜只要膀在限惰定集斩合M中，纷找到毙一个x＝x0，使p(x0)成立玩即可羞；否添则，登这一夕特称负命题钟就是铲假命庄题．类型员四纺全驱称命熔题与瓶特称哑命题饱的应嫌用[例4]函数f(x)对一仰切实枣数x、y均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立南，且f(1练)＝0.(1唇)求f(0车)的值匙；(2散)在(0谱,4锦)上存交在实漆数x0，使盗得f(x0)＋6＝ax0成立绕，求门实数a的取健值范去围．[解](1绣)由已阴知等陪式f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)·x，令x＝1，y＝0，得f(1端)－f(0查)＝2，又抓因为f(1留)＝0，所骗以f(0序)＝－2.(2春)令y＝0，则f(x＋y)－f(y)＝f(x)－f(0浸)＝f(x)＋2＝(x＋2×0＋1)x＝x2＋x，∴f(x)＋6＝x2＋x＋4.[点评]全称却命题唯真，络意味是着对岗限定舞集合译中的队每一证个元债素都湖能具怜有某厉性质让，使需所给灿语句贴真．赏因此前，当旺给出枣限定钓集合轧中的庸任一隙个特抽殊的组元素铃时，市自然歪应导交出“耍这个课特殊陕元素萌具有率这个射性质肝”(这类夸似于技“代饭入”移思想)．而畏特称贺命题煤为真限，则患只需盾在给赛定的露集合剩中，渠找到莫一个视元素擦具有稼某性吹质，也使该题语句甜为真扇即可事．解决完有关伙存在铲性命坚题的椅参数钱取值亦范围拜问题器，应像尽量害分离辉参数牺，若炎得到g(a)＝f(x)成立悔，则症只需放求f(x)的值压域B，进躁而确斗定使g(a)∈B的a的值炮即可害．若g(x)>f(x)，则烫只需课确定g(a)>f(x)的最且小值别即可捞．类涂似地唤，对爽于全负称命皱题(特别阅是恒刚成立)的问荐题，勾也应炮尽量皂用分泰离参葱数法禽来求橡解．迁移勉体验4已知挪函数f(x)＝x2－2x＋5.(1朗)是否菠存在心实数m，使晋不等茶式m＋f(x)>址0对于舍任意x∈R恒成荡立，圣并说杆明理昨由．(2歼)若存款在一扫个实削数x0，使网不等波式m－f(x0)>遍0成立殃，求爽实数m的取馒值范赶围．解：(1词)不等混式m＋f(x)>成0可化铁为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于辈任意x∈R恒成屋立，反只需m>－4即可根．故存萄在实吴数m，使绞不等庭式m＋f(x)>船0对于玻任意x∈R恒成散立，趴此时绪，只苏需m>－4.(2母)不等秆式m－f(x0)>划0可化割为m>f(x0)，若惭存在冤一个甜实数x0，使裹不等嚼式m>f(x0)成立腊，只蓬需m>f(x)mi输n.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)mi么n＝4，∴m>4温.所以位，所纱求实描数m的取款值范茄围是(4，＋∞)．思悟升华1．一般赠地，思设p(x)是某腔集合M的所卫有元肌素都缸具有雷或都季不具奸有的窗性质尺，那叠么全己称命枕题就圆是形即如“对M中的径所有x有p(x)成立”的命搏题，希用符反号简吉记为∀x∈M，p(x)．2．一喘般地灶，设q(x)是某略集合M的有废些元无素x具有疼或不较具有兔