第8讲任意角和弧度制及任意角的三角函数

r180π22x个性化教学计r180π22x编制：_______________审_______________基本信息课时安排

学员姓名课题名称

学科课时计划

第)时

年级班级上课时间

年月日共)时

时间：教学目标

教学重点教学难点个性化问题教学过程模一任角弧制任角三函1解任意角的概念了解弧度制的概念进行弧度与角度的互化解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。知识梳理1．角的概念的推广定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．转方向不同分为正角、负角、零角分类边位置不同分为象限角和轴线角终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S＝{βα＋，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad.公式：角α的弧度数公式角度与弧度的换算弧长公式

lα|＝(弧长用l表示π①1°＝②rad＝弧长l|α|r扇形面积公式3.任意角的三角函数

11S＝lr＝α|r

三角函数

正弦

余弦

正切定义各象限符号

ⅠⅡⅢ

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，，那么yy叫做α的正弦，x叫做α的余弦，记作α叫做α的正切，记记作α＋＋＋＋－－－－＋/8

525tantan525tantanα口诀

－＋Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦

－三角函数线有向线段MP为正弦线

有向线段OM为余弦线辨析感悟

有向线段正切线1．对角的概念的认识小于90°的角是锐角．(×锐角是第一象限角，反之亦然．(×将表的分针拨快分钟，则分针转过的角度是×)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．×)2．任意角的三角函数定义的理解(5)(教材练习改编)已知角α的终边经过点(－1,2)，则sinα＝

2＝.(√)(6)(2013·济南模拟改编)α，α)在第三象限，则角α的终边在第二象限．

√)(7)(2011·新课标全国卷改编)已知角θ的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线5＝2上，则cosθ＝.(×)考点

象限角与三角函数值的符号判断cos【例1】若sinα·tanα＜0，且＜0，则角α是)．A．第一限角

B．第二象限角

C．第三象限角

D．第四象限角(2)sin2·cos4值()．A．小于0B．大于0．等于0D．不存在解析

cosα由sinα·tanα0知sinαα号，从而α第二或第三象限的角，由＜0可知cos，α号．从而第三或第四象限角．综上，第三象限角．∵sin2030tan40∴sin2·cos3·tan40.答案

(1)C(2)A/8

22cosα22222规律方法熟记各个三角函数在每个象限内的符号是判断的关键，对于已知三角函数式符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定各三角函数值的符号，再判断角所在象限．22cosα22222★★★块、角角数基关式诱公[习目标]sin1．理解同三角函数的基本关系式：sinα＋cosα＝1，＝απ2．能利用位圆中的三角函数线推导出±，π±α的正、余弦、正切的诱导公式知识梳理1．同角三角函数的基本关系平方关系：

2

α＋cos

2

＝1.商数关系：

sinαcos

＝tan.2．三角函数的诱导公式角正弦余弦

一2k＋α(∈Zsinαcos

二π＋α－sinα－α

三－α－sinα

四π－αsinα－α

五π－ααsin

六π＋αα－sinα正切

tanα

tan

－α－tan口诀3.特殊角的三角函数值

函数名不变，符号看象限

函数名改变，符号看象限角α

0°30°

120°150°角α的弧度数0

π6

π4

π3

π2π5π26

πsin

12

22

32

1

32

12

0cosα1

32

12

130－－－12tan

0

33

1

3

－

－

33

0辨析感悟1．对三角函数关系式的理解若，β为锐角，sinα＋cosβ＝1.(×)/8

cosα25523325522282222224cosα25523325522282222224若∈R，则tanα＝恒成立．

×)4(3)(教材练习改编)已知sin＝，α∈πcos.(×)2．对诱导公式的认识六组诱导公式中的角可以是任意．

√)π(5)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．(√)角＋和α终边关于轴对称．×)3．诱导公式的应用11若cos(n－θ)＝n∈Z，则cosθ

×)11(8)(2013·广东卷改编)已知＋，则cos＝－×)[悟·提升]π1．一点提醒平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中≠＋k，∈Z2两个防范

一是利用平方关系式解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据α的范围确定，如3)二是利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去—脱周化锐，特别注意函数名称和符号的确定．三角函数化简求题的基本方向:负化正大化小化到锐角为终

基本方法有：化弦、弦化等考点一

同角三角函数基本关系式的应用α－【例1】已知tan2则α－

＝___________，α3sincos－5cos＝________.1ππ(2)(2014·山东省实验中学诊断)已知sinθ·cosθ＝，且＜θ＜，则θ－sinθ的值为_解析

(1)

－3cos2tanα3×－3＝＝＝－，－9cos－9429α3sincos－5cos＝

2

α3sincos－5cossin＋cosα

2

α4tanα3tan－5×－×－＝＝＝tanα14ππ当＜θ＜时，sinθ＞θ，/8

24422515225453532222222222284346α＋cos＋α＋22224422515225453532222222222284346α＋cos＋α＋222222222

13＝12sinθθ＝1＝，∴θsinθ－答案

－1(2)－

32规律方法(1)应用公式时注意方程思想的应用，对于＋α，－α，αα这三个式子，利用(±cos＝1±2sinα可以知一求二．关于sin，齐式，往往化为关于tanα的式子()．1【训练1(1)已知α＋＝，＜α＜，则α＝已知sin＝2sin，＝β，求cos________.解析

＋cos＝，①联立方程

2

α＋cos

α＝1，②1由①得cos＝－α，将其代入②，整理得α－α－12＝0.又0＜＜，∴

α＝，

4∴tan－.(2)∵sinα＝，＝β，∴＝β„„①，tanα＝β„„②由①②得：9cosα＝β„„③，①＋③得：α＋9cosα＝4，36∵cosα＋sinα＝1，∴cosα＝，即cosα＝答案

4－考点二

利用诱导公式化简三角函数式【例2】(1)sin(－1200°)cos1＋－1020°)·sin(－1050°)＝________.设f(α)＝

23π(1＋α≠，则f________.1＋sin解析

原式＝－sin11290°1020°sin1＝－sin(3×＋×360°210°)cos(2×＋300°)sin(2×360°330°)sin120°cos210°cos300°sin330°sin(180°60°)cos(180°30°)cos(360°30°)31＝sin60°cos30°cos30°×＋×＝1.∵f(α)＝

ααcos＋2sinα1＝＝＝，1sinαα－cosααsinαtan/8

2316tan3π－2136π＋α36632316tan3π－2136π＋α3663π336232π＋απ＋α.∵－6666632363432111212322cosx222246答案

(1)1(2)规律方法(1)诱导公式应用的原则负化、大化，化锐角为了．诱导公式应用的步骤：任意负角的三角函数→任意角的三角函数→0～π的角的三角函锐角三角函数注意：诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号．【训练2(1)sin(－199°＋－－261°)＋－1－＝化简：

tan＝________.π考点三

利用诱导公式求值【例3】已知sin－则＋已知－，则解析∵－αα＋αtan答案

1(1)(2)－πππππ规律方法巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有－α与＋α；＋与－α；＋ππ2ππ3π与－α等，常见的互补关系＋θ与－θ；＋θ与－θ等．总的思路是“加加减减找系”【训练3(1)已知＋，则；1若tan(π＋)＝－，则－α)＝________.1同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．2．三角求、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有(1)弦切互化法：主要利用公sin式tanx＝化成正弦、余弦函数和积转换法：如利(sinθθ＝θcosθ的关系进行π变形、转化；(3)巧用1的变换：＝θ＋cosθ＝cosθ＋tanθ)＝tan＝„/8

32229π2925π36455222ππ32229π2925π36455222ππ2254122＋，则α＋________．12123121232基础巩固题组建议用时：分钟)一、选择题π1．已知αβ的终边关于直线＝对称，且＝－，则sinα等于(．A．－

32

B.

32

C．－

11D.2．临川一中一调)sin＋＝()．A．0B.

12

C．1D．－

123．郑州模拟)－2sin)．A．sin2－2B2＋2．±(sin2－D．2－sin24．石家庄模拟)知

sin＋3cos－sinα

＝5，则

2

α－αcosα的值是)．22B．－C．－2D．25．若α5－7－6＝0的根，则

πsin－α－α＋

＝(