2023年武陟某中学科数学试题二〕

武陟一中科数学试题（二〕

一、选择题：本大题共12小题，每题5分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符

合题目要求的.

1.设全集U是实数集R,集合M={xIf22x},N={x门Og2（Ll）W0},那么MCN

A.{1,2}B.{2}C.{1}D.[1,2]

2.i为虚数单位，假设复数;=y」，那么izi=

l+2z5

A.IB.2C.V5D.2>/5

3.双曲线f-4y2=4的离心率为

A.V6B.V5C.2D.用

22

4.某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下茎叶图所示，那么此学生该门功课考试

分数的极差与中位数之和为

A.117B.118C.118.5D.119.5

5.在AABC中，M是AB边所在直线上任意一点，假设CM=-2C4+A,那么人

A.1B.2C.3D.4

6."m=-1"是"函数f（x）=ln（mx）在（一8,。）上单调递减”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.公差不为0的等差数列{4}的前21项的和等于前8项的和.假设。8+%=0,那么k=

A.20B.21C.22D.23

11%2

8.在如下图的程序框图中，假设U=lg—•log,—,V=2',那么输出的S=

310

11

A.2B.—C.1D.一

24

9.在几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为

A.V2B.272C.—D.—

33

10.e,“分别是自然对数的底数和圆周率，那么以下不等式中不成立的是

A.4e>yj/rB.log^+loge>1

C.log.e+（log，乃）2>2D.ee—e>e”一n

11.在4ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，假设"+02=2023c?,那么

2tanA-tanB..，.„

-----------；-------的值为

tanC(tanA+tanB)

A.0B.1C.2023D.2023

12.四面体ABCD中，AD与BC互相垂直，且AB+BD=AC+CD.那么以下结论中错误

的是

A.假设分别作4BAD和4CAD的边AD上的高，那么这两条高所在直线异面

B.假设分别作ABAD和ACAD的边AD上的高，那么这两条高长度相等

C.AB=AC且DB=DC

D./DAB=/DAC

二、填空题：本大题共4小题，每题5分.

13.圆x2+y2-2x+my-2=0关于抛物线V=4y的准线对称，那么m=

x-y—W0

14.不等式组对应的平面区域为D,直线y=k(x+1)与区域D有公共点，

x+y-3W0

那么k的取值范围是.

15.函数f(x)=---,假设存在0G(―,—),使f(sin。)+f(cos^z?)=0,那么

x-a42

实数a的取值范围是.

16.设｛4｝是等差数列，他,｝是等比数列，记屹,｝的前n项和分别为S.,Tn.假

设a3=b3，a4=b4»且£~^=5,那么.

《工打+打

三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.(本小题总分值12分)

a=(2cosx+25/3sinx,1),b=(y,cosx),且。〃£>.

(I)将y表示成x的函数/(x),并求/(x)的最小正周期；

⑴)记/(x)的最大值为a、b、c分别为AABC的三个内角A、B、C对应

的边长，假设/(q)=M,且。=2,求力c的最大值.

18.(本小题总分值12分)为了参加2012省高中篮球比赛，某中学决定从四个篮球较强的

班级的篮球队员中选出12人组成男子篮球队，代表该地区参赛，四个篮球较强的班级篮球

队员人数如下表：

班级高三(7)班高三(17)班高二(31)班高二(32)班

人数12699

(I)现采取分层抽样的方法从这四个班中抽取运发动，求应分别从这四个班抽出的队员人

数；

(H)该中学篮球队奋力拼搏，获得冠军.假设要从高三年级抽

出的队员中选出两位队员作为冠军的代表发言，求选出的两名队

员来自同一班的概率.

19.(本小题总分值12分)

如图5,如图，在四棱锥P—ABC。中，底面ABCD是矩形,

24，平面48。。，E、厂分别是AB、的中点.

(I)求证：AF〃平面PEC；

(H)假设PD与平面ABCD所成角为60,且

AO=2,A8=4,求点A到平面PEO的距离.图5

20.(本小题总分值12分)

3

椭圆E的焦点在x轴上，离心率为工，对称轴为坐标轴,且经过点(1,彳).

2

(I)求椭圆E的方程;

(II)直线丁=H一2与椭圆£相交于A、B两点，。为原点，在OA、上分别存在异

于。点的点/、N,使得。在以MN为直径的圆外，求直线斜率上的取值范围.

21.(本小题总分值12分)

设m为实数，函数f(x)=-e2'+2x+m,xGR

1I)求f(x)的单调区间与极值；

111)求证：当mWl且x>0时，e2x>2x2+2mx+l.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答

22.(本小题总分值10分)选修4—1：几何证明选讲

如图，。0的半径为1,MN是。O的直径，过M点/

作。O的切线AM,C是AM的中点，AN交。O于B点，(I\\\

假设四边形BCON是平行四边形；I

(I)求AM的长；\XV\

(II)求sinZANC._____

23.(本小题总分值10分)选修4—4：坐标系与参数方程MC

曲线Ci的极坐标方程为Pcos(6=-1,曲线C2的极坐标方程为P=2返

3

cos(e以极点为坐标原点，极轴为X轴正半轴建立平面直角坐标系.

4

(I)求曲线C2的直角坐标方程；

(II)求曲线C2上的动点M到曲线Cl的距离的最大值.

24.(本小题总分值10分)选修4一5：不等式选讲

不等式2IX—3I+IX—4I<2a.

(I)假设a=l,求不等式的解集；

UI)假设不等式的解集不是空集，求a的取值范围.

武陟一中数学文科〔二〕答案

(1)B(2)A(3)D(4)B(5)C(6)A

(7)C(8)B(9)D(10)D(11)C(12)A

(13)2(14)[0,1]

，3

I22J5

17、解：⑴由a〃〃得2cos2x+26sinxcos-y=02'

即y=2cos2%+2V3sinxcos=cos2x+Gsin2x+l=2sin(2x+—)+1

6

JT

所以/(x)=2sin(2x+—)+1,4f

6

2JI2n

又T=』=』=乃

co2

所以函数/(x)的最小正周期为九6'

（II）由（I）易得M=37'

于是由7（4）=〃=3,即2sin（A+马+l=3nsin（4+马=1,

266

因为A为三角形的内角，故A=27T9'

3

由余弦定理cr-h2+c2-2/?ccosA得4=〃+C2-bc>2bc-hc=bc11'

解得。cW4

于是当且仅当"=c=2时，/?c的最大值为4.12'

18、解：

12

（I）由题，应从高三（7）班中抽出12x—=4人，

36

应从高三（17）班中抽出12x9=2人，

36

9

应从高二（31）班中抽出12x—=3人，

36

9

应从高二（32）班中抽出12*—=3人。......................................4、

36

（II）记高三⑺班抽出的4人为A、&、A3、A「高三（17）班抽出的两人为⑸、B2,

那么从这6人中抽出2人的根本领件有：（A”a）、（A，4）、（A，A）、（4,与）、（4，当）、

（&,4）、（4，4）、⑷，用）、（七层）、（&,4）、（&出）、（&，当）、（儿,用）、

（4,鱼）、（石，当）共15件，7、

记“抽出的2人来自同一班"为事件C,那么事件C含：（4，42）、（4,4）、（A，At）、

（4,4）、（4,4）、（A3,A4）>（耳出）共7件，10'

7

故P（C）=—12'

15

19、解：【法一】（I）证明：如图，取PC的中点O,连接OfOE.

由得OF//DCROF=-DC,

2

又一£是AB的中点，那么OFHAE且

OF=AE,

.'.A£0F是平行四边形，4'

：.AF//OE

又・OEu平面PEC,AEz平面PEC

〃平面PEC6'

（II）设A平面PEZ）的距离为d,

【法一】：因P4_L平面ABC。，故NPZM为PD与平

面ABCD所成角，所以NPDA=60",

lAD

所以物=A£>tan600=2g,PD==4,

cos600

又因46=4,E是AB的中点所以AE=2,

PE=^PA2+AE2=4,

DE=y/DA2+AE2=2V2.

作FHLDE于“，因PZ)=PE=4,OE=2j5,那么

DH=后,PH7PD2-DH)=«,.................................9'

那么SMDE=~XAD.AE=2,S"DE=gxPH-DE=

因^P-AED=^A-PDE

所以dJ4sm=也2=巫.....................................

SRPDE2币7

【法二】因_L平面ABCD,故ZPDA为PO与平面ABC。所成角，所以ZPDA=60",

lAn

所以Q4=AZ>tan60"=2近，PD=------=4,又因A5=4,E是AB的中点所以

cos60"

AE=2=AD,PE=VPA2+AE2=4,DE=DA2+AE2=242.

作PH上DE于H,连结A”，因PD=PE=4,那么〃为。E的中点，故AH_LO£

所以DE_L平面PAH,所以平面POE_L平面PAH,作AG_LP”于G,那么AG,平

面POE,所以线段AG的长为A平面PEO的距离。

又DH=6,PH7Pbi-DH。=9,AH7AD?-DH。=五

所以AG=^^=^1=酒...................................12,

PH履7

20、⑴依题意，可设椭圆E的方程为=+与=1(4>6>0).

CTb-

由£=工=>。=20力2-cr-c2=3c2

a2

31g

・・,椭圆经过点(1,彳)，那么彳+卷=L解得。2=1

X2y2

・・・椭圆的方程为一+匕=14'

43

y=kx-2

(II)联立方程组1/2,消去丁整理得(4%2+3)》2—16日+4=05'

——+—=1

143

•••直线与椭圆有两个交点，

△=(一16左)2_]6(4公+3)>0,解得公>J_①6

4

:原点。在以MN为直径的圆外，

:.NMON为锐角,即OM-ON>0.

而M、N分别在OA、08上且异于。点，即。4・。8>08'

设A,3两点坐标分别为A(x”y),B(x2,y2),

那么0/4・。3=（%,名>（%2，%）=%%2+X%=（”2+1）x|工2—2左（X1+々）+4

解得％2<刍，②11'

3

综合①②可知：-毡，一毡]12'

（21）解：（I）/,（%）=-2（e2v-l）,xeR,令/'（x）=0可得x=0,

易知XG(-00,0)时r(x)>0./(x)=-e2x+2x+/n为增函数，

xe(0,+oo)时/'(x)<0,/(x)=-e2'+2x+m为减函数，

所以函数/(x)有极大值，无极小值，极大值为/(0)=机一1...............................(6分)

(II)令g(x)=e2*-2x?,x>0,那么

g'(x)=2e2v—4x—2==—2(-e"+2x+——2/(x),

由(I)知，当x>0时，/(x)</(0)=m-K0,所以g'(x)=—2/(x)>0,

故g（x）在（0,+8）上为增函数,

所以g(x)>g(0)=0,故e2*>2/+2〃/+1....................................................(12分)

（22）解：（I）连接那么NMBN=90°,

因为四边形BCON是平行四边形，所以BC〃MN,

因为AV是。。的切线，所以肱VLA",可得

又因为C是AM的中点，所以防f=B4,

得NM4M=45°,故AM=2......