中学数学解题数学思想方法

中学数学解题数学思想方法赵强玉林师范学院数学与信息科学学院2013.10数学思想方法是数学知识的精髓、灵魂，它是对数学本质的理解和认识，是数学学习的根本目的。在数学教学中注重思想方法渗透，重视数学思想方法的教学，是提高个体思维品质和教学素养、发展智力的关键所在，也是现代社会对人才培养的基本要求。

数学思想是指人类对数学对象及其研究本质及规律性认识。它是在教学活动中解决问题的基本观点和根本想法，是从某些具体的教学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，并在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和运用数学工具解决问题的指导思想。一.数学思想方法及其意义一）数学思想方法及其分类

数学思想按其对认识的研究范围来划分，可分为宏观数学思想和微观数学思想。宏观数学思想是对数学整体的认识，能够运用于其他科学和数学内部的各个分支，如公理化思想、模型思想、转化思想、分类思想等。微观数学思想则是对数学内部各分支及各种体系结构中特定内容和方法的认识，如函数思想、方程思想、数形结合思想等等。数学方法是指从数学角度提出问题、解决问题（包括数学内部问题和实际问题）的过程中的概括性策略。在中小学数学中常用的基本数学方法大致可以分为三类。第一，一般的逻辑推理方法和发现方法，分析法、综合法、反证法、穷举法（分类讨论）和归纳法、类比法等，它们不仅适用于数学，而且适用于其他学科领域，而当它们运用于数学中时则具有明显的数学特色。第二，数学中的一般方法，如极限法、关系映射反演方法，数学模型方法、图像法（坐标法）、比较法、向量法、数学归纳法等。这些方法的作用范围很广，有的甚至影响着一个数学

分支和其他学科的发展方向。第三，数学

中的特殊方法，如换元法、待定系数法、

配方法、公式法、平移法、翻折法等，它

们往往和数学内容联系在一起，是解决某

些具体的数学问题的方法。

数学思想是数学中处理问题的基本观点，是对数学基础知识与基本方法本质的概括，数学方法是处理、解决、探索问题，实现数学思想的技术手段和工具。数学思想和数学方法之间既有联系又有区别：首先，两者都是以一定的数学知识为基础。其次，两者具有抽象概括程度的不同，表现出互为表里的关系。数学方法受到数学思想的指引，是数学思想在数学活动中的反映和体现，表现形式外显；而数学思想是相应数学方法的结晶和升华，表现形式内隐。数学思想往往带有理论性的特征，而数学方法具有实践性的倾向。数学中用到的解题方法都体现着一定的数学思想，一定的数学思想要靠数学方法去实现。由于人们在数学学习与研究活动中，很难把思想和方法严格区分开，所以常统称为数学思想方法。

二）数学思想方法与数学知识的关系数学知识是陈述性知识与程序性知识的统一体，它是客观的、普遍的、是以数学语言表述的概念、公理、定理、法则等及其相互关系的逻辑演绎体系，是明确的、显性的，是看得见摸得着的；数学思想方法则是由数学内容来反映的，它蕴涵于数学概念、规律等基础知识之中。除基本的数学方法以外，其他思想方法都是隐性的，渗透在学习知识和运用知识的过程之中，它是对数学对象的本质认识，是对数学知识的进一步提炼、概括。数学的发展不只是一些知识的简单堆砌，它同时也是思想方法的沉淀、发展和演进。数学知识是数学思想方法的载体，数学思想方法隶属于数学知识。当人们遇到数学问题时，首先产生的是解决它的数学思想，然后将数学思想具体化为具体操作的数学方法，在数学思想与方法的运作下产生出数学概念，所以数学思想方法是以一定的数学概念形式表现出来。数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分，它蕴涵于数学知识中，又相对超脱于我们所学的数学知识。没有游离于数学知识之外的数学思想方法，也没有不包括任何数学思想方法的数学知识，这两者是相辅相成的。正像一个人的存在必须有肉体和灵魂的统一一样，数学概念、原理是肉体而数学思想方法是灵魂，它们共同组成了数学的知识体系。实际上，中学数学教材的教学内容始终贯彻两条主线，即数学的基础知识、基本技能和数学思想方法。数学基础知识、基本技能，即通常讲的“双基”，这是一条明线，是用文字形式明明白白写在教材里的，反映着知识间的纵向联系；而数学思想方法是一条暗线，同时还包含着情感、态度、能力诸多因素，反映着知识间的横向联系，常常隐含在知识的背后，需要人们加以分析、挖掘、提炼才能显露出来，这是老师的工作和责任。只有这样，教师才能讲得清楚明白、生动活泼，入木三分，你这个老师才有水平。学生才能学有所思、学有所悟、学有所得。三）数学思想方法的主要特点

1、概括性

数学知识的学习离不开概括，数学知识较其他学科的知识更具抽象性、更具概括性。而数学思想方法又是不断地从数学概念、命题和数学理论中提炼和概括的产物。例如，数学归纳法是在皮亚诺自然数公理基础上的提炼、概括。正是由于数学对象本身的概括性及数学思想方法又是对数学知识的提炼和再概括，这就使得数学思想方法具有高度概括性的特点，数学思想方法因此而具有广泛的实用性。2、隶属性数学思想方法所具有的高度概括性，使它不同于具体的数学知识，而以元知识的形态与数学知识浑然一体地存在着，成为数学科学体系中两个不可分割的部分。数学知识中蕴涵着思想方法，而数学思想方法又隶属于数学知识，数学知识是数学思想方法的载体，数学思想方法通过数学知识显化。例如在等比数列定义教学中，蕴涵了观察、类比、猜想、化归、字母表示数等数学思想方法，这些思想方法通过等比数列定义这一概念教学而体现。3、层次感数学思想方法是对数学知识的抽象概括，概括程度的高低决定了数学思想方法具有不同的层次。第一层，与某些特殊问题联系在一起的方法，它是在某些特定情况下才能发挥作用的具有赐教固定的操作程序，例如比较两个数的大小的“差值比较法”。第二层，解决一类问题采用的共同方法，这些方法的操作程序不是非常具体，其适用范围比较广。例如：待定系数法、数形结合法、构造法等。第三层，数学思想方法。数学知识和方法是形成数学思想的基础，有了知识不等于有思想，有方法没有思想指导，只是机械操作，思想是对知识融会贯通的理解与升华，有思想的知识才是具有自我生成能力的知识。只是掌握了深层次的数学思想方法才算掌握了数学知识的核心。第四层，数学观念。这是数学思想方法的最高境界，是一种认识客观世界的哲学思想。4、结歉意选性学习有迁移与即一驰种学凶习对经另一应种学沃习的饶影响萍。任腔何一骄种学济习都槽要受剖到学副习者页已有睬知识季经验娇、技佳能、申态度酱等的梁影响循，只装要有惧学习落，就窜有迁孤移。堪数学企思想宜方法铜是对萌数学及抽象拿概括护的结彼果，鼠它也蒸具有棋迁移罗性特感点，袖对数努学知捉识的额深刻牙理解益有利阀于学钱生领攻会其规中蕴兼涵的售数学还思想私方法贪，同抛时，排理解侮并掌垫握数仗学思算想方浸法对吐进一舒步学低习数脑学乃左至从嘉事其重他工咱作会萍产生速积极敏的影历响。由于短思想结和方托法的半不同蚀层次柱，数善学思废想方狼法还韵具有偷其他哪不同素特点惕，数拌学思社想应很呈现汇它的死本质颠性、移向导仿性、昂内隐模性，琴而数医学方急法更涂多表智现出兽程序窑性、邻操作骑性、污外显阳性。四）慢数推学思狂想方络法的艳意义从数接学思争想方饲法发稿展与逼演进呀史看瞧，数叶学上慢每一水项重族大成剂果的殊取得陪无不称与数云学思迹想方御法的猾突破指创新搜有关上。如铲坐标秘法的海创立鸦，解啊决了她数、碎形沟至通及母互相殃转化慌的问怨题，桥不仅股直接杂导致泥产生测了解命析几宋何这炮门学铁科，爷而且信数学咏从此核进入了变谋量数慢学时漂期。够许多须数学乒家之灶所以模在数请学领尸域取挠得巨乓大成肠就，横除了患具有车超人糖的智征慧外遵，对忙数学改思想树方法小的深帅邃的睁洞察烛也是锻一项夏十分启重要毁的原选因。的如，枯欧拉办在众逃多的岂数学鞋领域统以及娘自然影科学俱作出亿了巨象大贡禾献，插一个桐重要更原因制就是册他即坊精通困微观数女学方架法论滚，又城精通谈宏观如数学费方法成论，查既有却深刻付的数驱学思豆想，垄又具翼有运蛾用数锡学知汪识和资方法殿的卓葛越才具能。晒正是坚新的饰思想疲方法踩的不馒断开毯拓，奇促进现着数枕学事仁实的拳发现阴和繁测衍，高因此金可以认说数脚学思温想方筛法是必数学哈发展辉的内笼在动掏力。数学菌思想啄方法卧对人及的素偶质的愁发展舒具有衫重要愧影响扮。从使人的旧素质昨发展湾的角皆度看氧，数渣学思凶想方江法比猜形式秩化的锣数学龟知识企更重红要，始因为鼓前者畏更具别有普扁遍性炎。社芦会各塘行业盘、各仪部门年对数自学知打识要擦求的阳深度牛与广纠度的盗差是祸很大的，挡但对察人的牌素质够的要伯求是桨具有眼共性漂的。潜例如竭要求角一个陷人要敲具备案严谨裳的工僻作态娃度、歇具有贺善于触分析迟情况缸、归泪纳总庆结、够综合柏比较耐、分晃类评南析、贸概括刮判断禽的工下作方祝法，匙这些捉素质昏的形叛成和休提高愉与他梁所受稳到的滋数学尝思想营方法筋的参岸透、倚训练悲紧密区相连晨。日牌本著氧名数量学教递育家飘米山济国藏唐指出露：“喂学生肌所学它的数贱学知相识，盏如果甚在进谊入社胀会后镇没有肯机会逝应用历，这做种作笛为知虫识的侦数学浙，通端常在咳走出誓校门册后不强到一锅两年妹就忘锅掉了陡。然坝而不戒管他意们从惧事什牛么工渗作，送唯有味深深谅铭刻旁于心挡的数命学的粱精神足、数学饥思想期和方积法等著随时我随地狐发生尼作用井，使曲他们颤受益量终身秋。”数学番思想耳方法纲对于五数学丹学习激也具踢有十疏分重梢要的苗意义治。数蚁学教蝇学的巷根本嘴目的签就是吉使学筝生通偶过具绕体的流数学冒认知案活动状去发子现、斩领会吩蕴涵腔其中舟的数侍学思润想方利法。袄反之创，“监懂得盐基本蝇原理酸使得态学科铲更容朝易理崭解”丢（布写鲁纳禾），动形成视良好娇的知破识结丑构和烂思维弱品质王，提萝高学课生的叔洞察砖能力止和问亿题解雀决能减力，有有利掩于学拦生形娱成全伍面的豪、正窑确的缘瑞数学炕观。二、察中小悼学常查用基垄本数旋学思乞想方让法中小邪学数映学中贫蕴涵代着许专多思卸想方稻法，央一些径重要相的数吊学思服想方吧法在圆教材鼓中反腰复出则现，螺贯穿览在中泽小学李整个件数学摩知识掩体系姓之中研。《数学宅课程哈标准》明确敢提出秤了对宏数学气思想共方法贼的要崭求，望将数异学思抱想方雾法的苹要求溉，将糟数学练思想亡方法吐作为挠基础牵知识筐和基笨本技酸能的掌成分倚，几善乎参狗透到乓每一痒个模辩块和明专题哥。提速高学修生“至数学护地提新出、泽分析躬和解玻决问咬题的愁能力巷”，沟“力医求对粱现实克世界礼中蕴烤涵的钢一些伙数学观模式袄进行草思考宇和做秧出判渡断”牌，就弱意味违着数痒学学荐习不邀仅是隆对知慌识和鹿技能闲的掌港握以救及具趁体的解题锄技巧财和方丛法的刘掌握惜，还琴应该铺对所贵学的鉴知识还在充贷分理段解的爽基础换上进来行升疯华，时达到搜对更习一般戏的思赖想和炊方法损的理纸解和珍应用掏。在义秧务教士育和剂普通邮高中初数学搬课程值标准床中，宅包含案的数闹学思撕想方紧法又撤观察吩、实本验、竭归纳齐、类准比、臣分析环、综膊合、拦抽象调、概株括、升逻辑无推理合、证腿明，供以及龙化归务、递骑推、感等价疼转换透、推旗广与备限定溉等常嫩用的漂一般倡数学灭思想钢方法泪。此砖外还珠有着课也行扇数学板学科清特有啊的数讨学思腐想方盯法，掉如用预字母脸表示容数、每集合湖与对巷应的肤思想傅方法辱、函改数与米方程馅的思纵想方桨法、而数形冠结合思散想方遇法、需数学脖模型丈思想柜方法床、最贫优化律思想童方法反、统仗计思苍想和满数据驳处理梅方法当、分咬类思胃想方哄法、婶参数摘代数彩学方卵法等犬。下报面对监几种问常用航的基稼本的樱数学优思想乌方法浊加以伙介绍忠。一）帽、瓜用字台母代却替数尿的思沟想方系法用字觉母代破替数涝的思册想方怜法中请学数柿学中或最基顷本的舱思想豆方法龙之一辉。也裳是代尝数的挂基本请特征修，它叉可以应把数漏或数怜量关艰系简凤明而主普遍叮地表叫现出圣来，端也可希以使性一些键复杂同的运知算变捡得简留单，烤这是军发展蒙符号诵意识寄，进允行量桨化刻宴画的锹基础蜓，也咏是从巨常量鹿研究五过渡集到变块量研浅究的基美础。艘从用适字母留表示无数到睬用字伤母表屡示未塑知元物、表断示待冷定系必数、追表示纠函数y=f(甜x)、表颗示字卵母变腔换等先，这贱一整筝套的剃代数该方法其都离足不开肌字母量代替穷数的众思想森方法讽。在巴具体剧解题引中，陈引进腹辅助缘瑞元法患、待盛定系根数法增、换闭元法牛等都地体现边了用亦字母警代替磨数的霸思想递方法块。二）莲、集宽合与熟对应悉的思承想方梨法集合原论是拍现代卧数学遵的基猾础，葛它为望数学树的公星理化瞎、结锅构化涨、形界式化漫、统源一化夺提供化了语怀言基翻础与之组织各形式拆。中遍学数从学中限，集绵合是丹一种瓦基本烟数学而语言婚和一荒种基告本数亭学工蹈具，卧数学途名词屠的描紧述（端包括延概念财的内堆涵与拴外延疑的表弯现）竖，数碑学关御系的凤表达素，都未可以蜡借助腾集合芒而获免得清虹晰、初准确突和一幻玉致的脱刻画野。用锐集合枣表示阳数系畅或代炎数式靠、用樱集合绘表示脉空间判的线萌面关引系、摆用集愿合表病示平闸面轨皮迹及墙其关评系、并用集坏合表晒示方盏程（梅组）总或不岸等式狐（组笛）的献解、英用集合表萄示排丙列组汉合计阅数、基用集柱合表淡示基幕本逻食辑关寄系与椒推理肺格式泼等，甲都是叶集合捞思想晋的具齿体方怒法。总解题烛中的构分类猪讨论尊法、阔容斥宅原理咬都与氧集合迹的分填拆或主交并划运算职有关伐，与歪集合诞思想灭紧密闻联系车。集合翁之间隶的对写应，归则为喝研究晚相依炮关系蔬、运谷动变唯化提碗供了且工具踏，使写得能葵力方祝便地蹈由一态种状岂态确以定地家刻画精另一贞种状恨态，卖由研爪究状厨态过轰过渡悟到研冲究变宰化过川程。豪数轴喷与坐甘标系粪的建饶立，档函数菜概念肾的描雅述，RM卵I原理驼的精神实起质等域，都梯体现饰着集麦合之造间的支对应器。三）柴、函规数与衬方程须的思瓶想方宴法函数滩与方绑程是护从用天字母浙表示义数的稼思想方法意、集暖合与圣对应扎的思揪想方擦法这伸两种债思想赴方法君衍生绿的一断种思汇想方续法方程糠是初讲中数转学的冒一项翻主体填内容纷，并在高陶中数将学中触延续猴。函呜数从姨初中蛮就开梦始研毒究，念并成稿为高爹中数段学的轨主体娘内容跌（基债本初贿等函暑数）旗，可单以说大，函倒数与德方程颠是中宾学数后学中右最重匀要的漠组成字部分颗。方程部，可滋以表歇示两存个不跪同事合物具踢有相揪同的体数量福关系适，也仔可以溉表示宁同一贿事物具绩有不粮同的筝表达厌方式缎。方先程的挤内在易本质腐是在许已知件数和研未知浮数之逆间建宝立一灭种等嗓式关重系。翻“方践程思苗想”泻的本旋质就柜在于策建立相关系留。运督用方瓦程观貌点可坊以解刷决大殃量的斤应用波问题况（建流模）狼、求秋值问象题、傻曲线讲问题禽的确区定及况其位燃置关掌系的英讨论赔问题猛等。函数说的许堪多性按质也承可以哪通过猫方程投来研胜究。专函数侍概念站是客设观事妥物运估动变丑化和刃相依围关系敲在数滤学上认的反毙应，饮本质堪上市涂集合亮间的强对应品。它生是中育学数繁学从索常量挂到变膊量的漠一个锁认识良上的弱飞跃惜。数尊学中和关系糟式、销方程窗、不甚等式定、排软列组悠合、赚数列乓等重烦要内甘容都孕可以臂通过柔函数极来表条达、于沟通紫与研殿究。（一福）、怖函数运的思们想方舰法函数招思想穴的最培大特刷点就润时从枣变化菠、动果态的胡观点阶来认递识数绒学对歌象和愤它们磁的性议质之公间的闲关系具，这赤能够友更全首面、浪深入馅地认笑识事容物的碧本质搭，从缘瑞上图插我们乞可以虹发现壳，函蒸数思至想在说中数坟学解糠题中院的应情用主膀要表尿现在损两个稠方面亚：一帝是根候据题缺目条姐件，虎构造漫有关晒初等零函数思，借真助其景性质革，解瞒决有销关求翻值，组不等算式，追方程排以及安讨论各参数构的取尺值范副围等侦问题催，二尺是在猜问题罢的研弟究中够，通醉过建插立函峰数关甩系式仍或构张造中卧间函皇数，尊把所注研究钻的问添题转这化为枣讨论务函数近的有关关问绕题。1、在谈方程列问题茧中的孕应用函数椅与方颈程有赴密切驻的联咬系，落函数溪思想最是解绿决不箱定方卷程基蓬础上沾萌芽窗并发吸展的少，可秒以说馅方程陕是函瓶数的惭局部妙，而锯函数钥则包闪括方揪程的乱全部吓内涵恭，在术一定直范围辅内它品们可配以相得互转飘换，爬因此棵用函忙数的国思想既方法抽解决去方程冲问题角往往陆是一尘种很轿有效扁的方解法。2、存电在性感问题伏中的洪应用初等楚函数伙均属旁于连跨续函努数，汗对某吹些初挥等函俊数的耳存在态性问市题利弦用其干连续嫁性，接可以磁达到夜很好篇的效恋果。（二森）、丛方程胖的思索想方女法很多码具有栗数量共关系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